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Elementos de Matem´atica
Roteiro no.3 para as atividades did´aticas de 2007
Vers˜ao compilada no dia 27 de Abril de 2007.
Departamento de Matem´atica - UEL
Prof. Ulysses Sodr´e E-mail: [email protected] Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro para as aulas e n˜ao espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns con- ceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em portuguˆes, h´a pouco material de dom´ınio p´ublico, mas em inglˆes existe muito material que pode ser obtido na In- ternet. Sugiro que o leitor pesquise para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘Quem deu cr´edito `a nossa prega¸c˜ao? E a quem se manifestou o bra¸co do Senhor? Pois foi crescendo como renovo perante ele, e como raiz que sai duma terra seca; n˜ao tinha formosura nem beleza; e quando olh´avamos para ele, nenhuma beleza v´ıamos, para que o desej´assemos. Era desprezado, e rejeitado dos homens; homem de dores, e experimen- tado nos sofrimentos; e, como um de quem os homens escondiam o rosto, era desprezado, e n˜ao fizemos dele caso algum. Verdadeiramente ele to- mou sobre si as nossas enfermidades, e carregou com as nossas dores; e n´os o reput´avamos por aflito, ferido de Deus, e oprimido. Mas ele foi ferido por causa das nossas transgress˜oes, e esmagado por causa das nos- sas iniq¨uidades; o castigo que nos traz a paz estava sobre ele, e pelas suas pisaduras fomos sarados.’ A B´ıblia Sagrada, Isa´ıas 53:1-
Indu¸c˜ao Matem´atica
Teorema 1 (Primeiro Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica). Se para cada n ∈ N podemos definir uma proposi¸c˜ao P (n) tal que valham as duas situa¸c˜oes:
- P (1) ´e verdadeira;
- Se P (k) ´e verdadeira, ent˜ao P (k + 1) ´e verdadeira, onde k ∈ N.
ent˜ao P (n) ´e verdadeira para todo n ∈ N.
Observa¸c˜ao 1 (Importˆancia do PIM). O princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica serve para demonstrar propriedades dos n´umeros naturais, bem como definir conceitos envolvendo os n´umeros naturais. Por exemplo, se m ∈ N e n ∈ N ent˜ao m + n ∈ N e m.n ∈ N. Na Matem´atica, o uso de recursividade faz intenso uso deste princ´ıpio.
Exemplo 1. A soma dos n primeiros n´umeros naturais pode ser definida, de um modo recursivo, por S 1 = 1 e Sn+1 = Sn + n + 1, para cada n ∈ N. Logo:
S 1 = 1, S 2 = 3, S 3 = 6, S 4 = 10, S 5 = 15, S 6 = 21, S 7 = 28, ...
Usando o PIM, ´e poss´ıvel demonstrar que para todo n ∈ N :
Sn =
n(n + 1) 2
Exerc´ıcios usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica
- Mostrar que o produto de dois n´umeros naturais consecutivos ´e par, isto ´e, se n ∈ N ent˜ao, o produto f (n) = n(n + 1) ´e divis´ıvel por 2.
Demonstra¸c˜ao. Tomaremos a proposi¸c˜ao P = P (n)), definida por P (n) : f (n) = n(n + 1) ´e divis´ıvel por 2
A proposi¸c˜ao P (1) ´e verdadeira, pois se n = 1, ent˜ao f (1) = 0 que ´e divis´ıvel por 24. Tomando como verdadeira a Hip´otese de Indu¸c˜ao P (n), mostraremos que P (n + 1) tamb´em ´e verdadeira, ou seja, que f (n + 1) ´e divis´ıvel por
f (n + 1) − f (n) = n(n + 1)(n + 2)(3n + 5) − (n − 1)n(n + 1)(3n + 2) = n(n + 1)[(n + 2)(3n + 5) − (n − 1)(3n + 2)] = n(n + 1)[(3n^2 + 11n + 10) − (3n^2 − n − 2)] = n(n + 1)(12n + 12) = 12 n(n + 1)(n + 1) = 12. 2 k.(n + 1) = 24k(n + 1) A ´ultima passagem foi poss´ıvel pois o produto n(n + 1) ´e par, isto ´e, n(n + 1) = 2k para algum k inteiro. A Hip´otese de Indu¸c˜ao garante que existe m ∈ N tal que f (n) = 24m, logo f (n + 1) = f (n) + 24k(n + 1) = 24m + 24k(n + 1) = 24[m + k(n + 1)] e garantimos que P (n + 1) ´e verdadeira.
Teorema 2 (Segundo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica). Se para cada n ∈ N podemos definir uma proposi¸c˜ao P (n) tal que valham as duas situa¸c˜oes:
- P (m) ´e verdadeira;
- Se P (k) ´e verdadeira, ent˜ao P (k+1) ´e verdadeira, onde k ∈ N e k > m.
ent˜ao P (n) ´e verdadeira para todo n natural tal que n ≥ m.
Defini¸ ∑ c˜ao 1 (Somat´orios ou Somas). Usamos a letra grega sigma mai´uscula para somas. Em geral, a palavra somat´orio (masculino) ´e usada no lugar de soma (feminino).
∑^ n
k=
f (k) = f (1) + f (2) + ... + f (n)
No futuro usaremos muitas vezes a soma infinita ∑^ ∞
k=
f (k) = f (1) + f (2) + ... + f (n) + ...
Exerc´ıcio especial: A seq¨uˆencia de Fibonacci pode ser definida por f 1 = 1, f 2 = 1 e fn+2 = fn + fn+1 para n ∈ N. Obter uma regra geral para esta importante seq¨uˆencia que aparece abaixo na forma de um conjunto:
F = { 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ...}
Dica:
- Suponhamos que existem n´umeros reais x 6 = 0 tal que fn = xn.
- Substituamos esta express˜ao na equa¸c˜ao recursiva fn+2 = fn + fn+1.
- Obteremos dois n´umeros reais r e s satisfazendo a equa¸c˜ao do segundo grau que ir´a aparecer.
- Escrevamos depois a combina¸c˜ao fn = Arn^ + Bsn^ e obtenha as con- stantes A e B satisfazendo as condi¸c˜oes f 1 = 1 e f 2 = 1.
- Depois de algum trabalho, vocˆe obter´a a f´ormula de Binet.
Exerc´ıcios: Utilizando os Princ´ıpios de Indu¸c˜ao Matem´atica e as propriedades b´asicas dos n´umeros reais, resolva cada exerc´ıcio.
- Mostrar que para todo n ∈ N vale a desigualdade: n < 2 n.
- Defina n! = 1. 2. 3 ...n e mostre que, se n ∈ N com n ≥ 4 , ent˜ao 2 n^ < n!.
- Mostrar que para todo n ∈ N com n > 9 , vale: n^3 < 2 n.
- A seq¨uˆencia: s 1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1) para n ∈ N , fornece as somas dos n primeiros n´umeros naturais de modo recursivo. Mostrar que sn =
n(n + 1) 2
- A seq¨uˆencia: s 1 = 1 e sn+1 = sn + (n + 1)^2 para n ∈ N , fornece as so- mas dos quadrados dos n primeiros n´umeros naturais de modo recursivo. Mostrar que vale a forma geral: sn =
n(n + 1)(2n + 1) 6
- A seq¨uˆencia: s 1 = 1 e sn+1 = sn +(n+1)^3 para n ∈ N , fornece as somas dos cubos dos n primeiros n´umeros naturais de uma forma recursiva. Demonstrar que para todo n ∈ N , vale a forma geral: sn = n^2 (n + 1)^2 4
- Propriedade da soma ∑^ n
k=
[f (k) + g(k)] =
∑^ n
k=
f (k) +
∑^ n
k=
g(k)
- Propriedade da homogeneidade ∑^ n
k=
cf (k) = c
∑^ n
k=
f (k)
- Propriedade telesc´opica ∑^ n
k=
[f (k + 1) − f (k)] = f (n + 1) − f (1)
Exerc´ıcio: Usando propriedades telesc´opicas e a fun¸c˜ao dada, mostre que:
- se f (n) = n^2 , ent˜ao a soma dos n primeiros n´umeros naturais ´e: ∑^ n
k=
k = n(n + 1) 2
- se f (n) = n^3 , ent˜ao a soma dos n primeiros n´umeros ´ımpares ´e: ∑^ n
k=
(2k − 1) = n^2
- se f (n) = n^3 , a soma dos quadrados dos n primeiros n´umeros naturais ´e: (^) n ∑
k=
k^2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6
- se f (n) = n^4 , ent˜ao a soma dos cubos dos n primeiros n´umeros naturais ´e: (^) n ∑
k=
k^3 =
n^2 (n + 1)^2 4
- se f (n) = n^5 , ent˜ao a soma dos qu´articos dos n primeiros n´umeros naturais ´e: ∑^ n
k=
k^4 =
n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n − 1) 30
- se f (n) = n^6 , ent˜ao a soma dos qu´ınticos dos n primeiros n´umeros naturais ´e: ∑^ n
k=
k^5 = Exiba a express˜ao da soma e demonstre
