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Elementos de Matem´atica
Roteiro no.2 para as atividades did´aticas de 2007
Vers˜ao compilada no dia 27 de Abril de 2007.
Departamento de Matem´atica - UEL
Prof. Ulysses Sodr´e E-mail: [email protected] Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro para as aulas e n˜ao espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em portuguˆes, h´a pouco material de dom´ınio p´ublico, mas em inglˆes existe muito material que pode ser obtido na Internet. Sugiro que o leitor pesquise para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘ No princ´ıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princ´ıpio com Deus. Todas as coisas foram feitas por interm´edio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas n˜ao prevaleceram contra ela. (...) Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por interm´edio dele, e o mundo n˜ao o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus n˜ao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crˆeem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais n˜ao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do var˜ao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre n´os (...)’ A B´ıblia Sagrada, Jo˜ao 1:1-
Conte´udo
- 1 Rela¸c˜oes e Fun¸c˜oes
- 1.1 Rela¸c˜oes e Fun¸c˜oes
- 1.2 Imagem direta e Imagem inversa
- 1.3 Trabalho sobre alguns tipos de fun¸c˜oes reais
- 1.4 Rela¸c˜oes e classes de equivalˆencia
- 1.5 Rela¸c˜ao de ordem
- 2 Seq¨uˆencias reais
- 2.1 Seq¨uˆencias reais
- 2.2 M´edias: aritm´etica, geom´etrica e harmˆonica
- 2.3 M´edias versus progress˜oes
- 2.4 Harmˆonico global e suas aplica¸c˜oes
- 2.5 Desigualdades envolvendo as m´edias
- 2.6 Aplica¸c˜oes geom´etricas das desigualdades
- 3 Seq¨uˆencias Aritm´eticas
- 3.1 Seq¨uˆencias aritm´eticas e PA
- 3.2 Aplica¸c˜oes `a Matem´atica Financeira: juros simples
- 4 Seq¨uˆencias Geom´etricas
- 4.1 Seq¨uˆencias geom´etricas e PG
- 4.2 Aplica¸c˜oes `a Matem´atica Financeira: juros compostos
- Bibliografia
1.1. RELAC¸ ˜OES E FUNC¸ ˜OES 2
Defini¸c˜ao 4 (Rela¸c˜ao). Sejam A e B dois conjuntos n˜ao vazios. Uma rela¸c˜ao R no produto cartesiano A × B, ´e qualquer subconjunto de A × B, isto ´e, um conjunto R tal que R ⊂ A × B. Defini¸c˜ao 5 (Aplica¸c˜ao). Sejam A e B dois conjuntos n˜ao vazios. Uma aplica¸c˜ao F no produto cartesiano A × B, ´e uma rela¸c˜ao em A × B, que satisfaz `as duas propriedades:
- Para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ F. Todo elemento de A deve estar associado a algum elemento de B.
- Se (x, y 1 ) ∈ F e (x, y 2 ) ∈ F , ent˜ao y 1 = y 2. Cada elemento de A, s´o pode estar associado a um elemento de B.
Na literatura em geral, uma aplica¸c˜ao f em A×B ´e denotada por f : A → B. Observa¸c˜ao 1 (Rela¸c˜ao que n˜ao ´e aplica¸c˜ao). R = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 +y^2 = 1} ´e uma rela¸c˜ao em R^2 que n˜ao ´e uma aplica¸c˜ao, pois para um mesmo elemento x = 0, existem dois correspondentes y = − 1 e y = 1 tal que x^2 + y^2 = 1. Observa¸c˜ao 2 (Fun¸c˜ao). Comumente, a palavra aplica¸c˜ao ´e substitu´ıda pela palavra fun¸c˜ao de modo livre, mas na literatura recente observamos que esta modifica¸c˜ao deve ser usada se B ⊂ R. Observa¸c˜ao 3. O nome da fun¸c˜ao ´e tomado do contradom´ınio Y.
- Se Y ´e um conjunto de n´umeros reais, temos uma fun¸c˜ao real.
- Se Y ´e um conjunto de vetores, temos uma fun¸c˜ao vetorial.
- Se Y ´e um conjunto de matrizes, temos uma fun¸c˜ao matricial.
- Se Y ´e um conjunto de n´umeros complexos, a fun¸c˜ao ´e complexa. Defini¸c˜ao 6 (Dom´ınio, Contradom´ınio e Imagem de uma aplica¸c˜ao). Seja f uma aplica¸c˜ao em A × B. Em geral, a aplica¸c˜ao f ´e pensada em fun¸c˜ao do seu gr´afico, que ´e o desenho da curva representativa de f , raz˜ao pela qual ´e conhecida como o gr´afico de f , denotada por G(f ) = {(x, y) ∈ A × B : x ∈ A, y ∈ B, y = f (x)}
sendo que f associa a cada x ∈ A um ´unico y ∈ B tal que y = f (x). O dom´ınio de f , denotado por Dom(f ) ´e o conjunto A, o contradom´ınio de f ,
1.1. RELAC¸ ˜OES E FUNC¸ ˜OES 3
denotado por Codom(f ) ´e o conjunto B e a imagem de f , denotada por Im(f ) ´e definida por
f (A) = {y ∈ B, existe x ∈ A : y = f (x)} Exemplo 2. A fun¸c˜ao quadr´atica f : R → [0, ∞) pode ser escrita como: G(f ) = {(x, y) ∈ R^2 : x ∈ R, y ∈ R, y = x^2 } ou na forma f : R → R definida por f (x) = x^2 sendo Dom(f ) = R, Codom(f ) = [0, ∞) e Im(f ) = [0, ∞). Defini¸c˜ao 7 (Restri¸c˜ao de uma aplica¸c˜ao). Seja f : A → B uma aplica¸c˜ao e S ´e um subconjunto de A. A restri¸c˜ao de f ao conjunto S, denotado por f |S : S → B, ´e a fun¸c˜ao que coincide com a fun¸c˜ao f sobre o conjunto S, isto ´e: f |S (x) = f (x), x ∈ S Exemplo 3. A fun¸c˜ao f : R → R, definida por f (x) = x^2 pode ter a sua defini¸c˜ao restrita ao conjunto [0, ∞) de modo que f |[0,∞) : [0, ∞) → R, f (x) = x^2 Defini¸c˜ao 8 (Extens˜ao de uma fun¸c˜ao). Podemos estender uma aplica¸c˜ao f : A → B a um conjunto M ⊃ A tal que a aplica¸c˜ao estendida f : M → B coincida com a fun¸c˜ao original sobre o conjunto A, isto ´e: f (x) = f (x), x ∈ A
Exemplo 4. A fun¸c˜ao f : R − { 0 } → R definida por f (x) =
sin(x) x
n˜ao tem sentido para x = 0, mas f pode ser estendida `a fun¸c˜ao sinc sobre todo o conjunto R definindo f (0) = 1. Esta forma ´e muito usada em An´alise.
sinc(x) =
sin(x) x
se x 6 = 0 1 se x = 0 A fun¸c˜ao sinc ´e utilizada em transmiss˜ao digital de sinais. Defini¸c˜ao 9 (Aplica¸c˜ao injetiva). Uma aplica¸c˜ao f : A → B ´e injetiva, injetora, un´ıvoca ou 1-1, se: f (x 1 ) = f (x 2 ) implica que x 1 = x 2 ou equivalentemente, x 1 6 = x 2 implica que f (x 1 ) 6 = f (x 2 )
1.1. RELAC¸ ˜OES E FUNC¸ ˜OES 5
- A aplica¸c˜ao f tem g como inversa se, g ´e uma inversa
a esquerda e tamb´ema direita para f , isto ´e, (f ◦ g)(a) = IA(a) e (g ◦ f )(b) = IB(b). - Nem sempre existe a inversa de uma aplica¸c˜ao f , mas quando isto ocorre, ela ´e denotada por f −^1.
- Se a inversa f −^1 existe, ela ´e ´unica e a inversa da inversa de f ´e a pr´opria f , isto ´e, (f −^1 )−^1 = f.
Teorema 1 (Propriedades das aplica¸c˜oes compostas). Sejam as aplica¸c˜oes f : A → B, g : B → C e h : C → D. Ent˜ao, a composta dessas aplica¸c˜oes
- ´e associativa, isto ´e (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h);
- possui elemento neutro, isto ´e, f ◦ I = I ◦ f = f.
Exerc´ıcio: Sejam as aplica¸c˜oes f : A → B e g : B → C e g ◦ f : A → C.
- Mostrar que a composta de duas aplica¸c˜oes nem sempre ´e comutativa, isto ´e, em geral vale a rela¸c˜ao f ◦ g 6 = g ◦ f.
- Mostrar que se f e g s˜ao injetivas, ent˜ao a composta g ◦ f tamb´em ´e injetiva.
- Mostrar que se f e g s˜ao sobrejetivas, ent˜ao a composta g ◦ f tamb´em ´e sobrejetiva.
- Mostrar que se f e g s˜ao bijetivas, ent˜ao a composta g ◦ f tamb´em ´e bijetiva.
- Mostrar que se g ◦ f ´e injetiva, ent˜ao f ´e injetiva.
- Mostrar que se g ◦ f ´e ´e sobrejetiva, ent˜ao g ´e sobrejetiva.
- Mostrar que se g ◦ f ´e injetiva e f ´e injetiva, ent˜ao g ´e injetiva.
- ´E verdade que a afirma¸c˜ao abaixo ´e verdadeira? “Se g ◦ f ´e injetiva e g ´e sobrejetiva, ent˜ao f ´e sobrejetiva.” Em caso positivo, demonstre a afirma¸c˜ao. Em caso negativo, apresente um contra-exemplo.
1.2. IMAGEM DIRETA E IMAGEM INVERSA 6
1.2 Imagem direta e Imagem inversa
No que segue, usaremos uma aplica¸c˜ao f : X → Y para a qual X ´e o dom´ınio de f e Y ´e o contradom´ınio de f.
Defini¸c˜ao 15 (Imagem de um conjunto). Sejam A ⊂ X e B ⊂ X. Define-se a imagem (direta) do conjunto A pela aplica¸c˜ao f por
f (A) = {f (a) : a ∈ A}
Exemplo 9. Seja f : R → R definida por f (x) = x^2 e A = {− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }. A imagem de A pela aplica¸c˜ao f ´e dada por f (A) = { 0 , 1 , 4 }.
Teorema 2. S˜ao v´alidas as seguintes afirma¸c˜oes:
- Para todo x ∈ X, tem-se que f ({x}) = {f (x)}.
- Se A 6 = ∅ ent˜ao f (A) 6 = ∅
- Se A ⊂ B ent˜ao f (A) ⊂ f (B)
- f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
- f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
Defini¸c˜ao 16 (Imagem inversa de um conjunto). Sejam U ⊂ Y e V ⊂ Y. Definimos a imagem inversa do conjunto U pela aplica¸c˜ao f por
f −^1 (U ) = {x ∈ X : f (x) ∈ U }
Exemplo 10. Seja f : R → R definida por f (x) = x^2 e B = { 0 , 1 , 9 }. A imagem inversa de B pela aplica¸c˜ao f ´e dada por f −^1 (B) = { 0 , − 1 , 1 , − 3 , 3 }.
Teorema 3. S˜ao v´alidas as seguintes afirma¸c˜oes:
- f −^1 (∅) = ∅
- Se U ⊂ V ent˜ao f −^1 (U ) ⊂ f −^1 (V )
- f −^1 (U ∪ V ) = f −^1 (U ) ∪ f −^1 (V )
- f −^1 (U ∩ V ) = f −^1 (U ) ∩ f −^1 (V )
- f −^1 (V c) = [f −^1 (V )]c
- Se U ⊂ V ent˜ao f −^1 (V − U ) = f −^1 (V ) − f −^1 (U )
Teorema 4. Se f : X → Y ´e uma aplica¸c˜ao, ent˜ao
- se A ⊂ X, ent˜ao A ⊂ f −^1 (f (A)).
- se V ⊂ Y , ent˜ao f (f −^1 (V )) ⊂ V.
1.3. TRABALHO SOBRE ALGUNS TIPOS DE FUNC¸ ˜OES REAIS 8
tal que X − Y = {x 1 }, garantindo que f (X − Y ) = {f (x 1 } mas f (X) − f (Y ) = {y} − {y} = ∅, contr´ario `a hip´otese. Conclu´ımos que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
- f ´e injetiva se, e somente se, para quaisquer A, B ⊂ X tem-se
f (A − B) = f (A) − f (B)
Demonstra¸c˜ao. Caso particular do ´ıtem anterior com X = A e Y = B.
- f ´e injetiva se, e somente se, para todo A ⊂ X tem-se f −^1 (f (A)) = A.
Demonstra¸c˜ao. Para qualquer fun¸c˜ao f , tem-se que f −^1 (f (A)) ⊂ A. Basta demonstrar que se f ´e injetiva ent˜ao f −^1 (f (A)) ⊂ A. Tomando x ∈ f −^1 (f (A)), segue que f (x) ∈ f (A). Como f (x) est´a na imagem f (A), existe x 1 ∈ A tal que f (x) = f (x 1 ). Como f ´e injetiva, segue que x = x 1 , assim x ∈ A. Conclu´ımos assim que, se f ´e injetiva, ent˜ao f −^1 (f (A)) = A.
- f ´e sobrejetiva se, e somente se, V ⊂ Y tem-se f (f −^1 (V )) = V.
- f ´e bijetiva se, e somente se, para todo A ⊂ X e para todo V ⊂ Y , tem-se que f −^1 (f (A)) = A e f (f −^1 (V )) = V.
1.3 Trabalho sobre alguns tipos de fun¸c˜oes reais
Identificar o dom´ınio, contradom´ınio, imagem e gr´afico para cada tipo de fun¸c˜ao: constantes, lineares, quadr´aticas, polinomiais e racionais.
1.4 Rela¸c˜ao de equivalˆencia: classe de equivalˆencia e
conjunto quociente
Observa¸c˜ao 5 (Elementos relacionados). Para indicar que dois elementos x, y ∈ U est˜ao relacionados por uma rela¸c˜ao R, denotamos por: xRy ou (x, y) ∈ R ou x ≡ y (mod R).
1.4. RELAC¸ ˜OES E CLASSES DE EQUIVALˆENCIA 9
Defini¸c˜ao 17 (Rela¸c˜ao de equivalˆencia). Uma rela¸c˜ao R definida sobre um conjunto U ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia se ´e:
R Reflexiva: Qualquer que seja x ∈ U , tem-se que xRx.
S Sim´etrica: Se xRy ent˜ao yRx.
T Transitiva: Se xRy e yRz, ent˜ao xRz.
Exemplo 11. (Rela¸c˜ao de paridade). Seja o conjunto Z dos n´umeros inteiros e a rela¸c˜ao sobre Z definida por, xRy se, e somente se, x−y ´e um n´umero par. Mostramos que esta ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia, pois valem as propriedades:
R Qualquer que seja x ∈ Z, tem-se que x − x = 0 ´e par, logo xRx.
S Se xRy ent˜ao x − y ´e par, logo y − x tamb´em ´e par, assim yRx.
T Se xRy e yRz, ent˜ao x − y ´e par e y − z ´e par. Dessa maneira, a soma (x − y) + (y − z) = x − z ´e par, garantindo que xRz. Exemplo 12. (Congruˆencia m´odulo p). Seja Z o conjunto dos n´umeros in- teiros e a rela¸c˜ao sobre Z definida por: x ≡ y mod (p) se, e somente se, x−y ´e um m´ultiplo inteiro de p. E poss´´ ıvel mostrar que valem as trˆes propriedades:
R Qualquer que seja x ∈ Z, tem-se que x − x = 0 ´e m´ultiplo de p, logo x ≡ x mod (p).
S Se x ≡ y mod (p) ent˜ao x − y ´e m´ultiplo de p, logo y − x tamb´em ´e m´ultiplo de p, assim y ≡ x mod (p).
T Se x ≡ y mod (p) e y ≡ z mod (p), ent˜ao x − y ´e m´ultiplo de p e y − z ´e m´ultiplo de p, assim, a soma desses n´umeros ´e um m´ultiplo de p, logo (x − y) + (y − z) = x − z ´e m´ultiplo de p e temos ent˜ao que x ≡ z mod (p).
Exemplo 13. (Rela¸c˜ao de equivalˆencia com conjuntos). Seja a cole¸c˜ao de todos os conjuntos em um universo U e A, B ∈ U. A rela¸c˜ao R definida por, ARB se, e somente se, A = B, possui as propriedades: Reflexiva, Sim´etrica e Transitiva.
Cap´ıtulo 2
Seq¨uˆencias reais
2.1 Seq¨uˆencias reais
Defini¸c˜ao 20 (Seq¨uˆencia real). Uma seq¨uˆencia (ou sucess˜ao) real ´e uma fun¸c˜ao f : N → R que associa a cada n´umero natural n ∈ N um n´umero real f (n) ∈ R. O conjunto dos n´umeros naturais ser´a indicado por:
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...}
Observa¸c˜ao 6 (Seq¨uˆencia real). O valor num´erico f (n) ´e o termo de ordem n da seq¨uˆencia. Pela defini¸c˜ao, o dom´ınio de uma seq¨uˆencia f ´e um conjunto infinito, mas o contradom´ınio poder´a ser finito ou infinito. O dom´ınio de uma seq¨uˆencia f ´e indicado por Dom(f ) = N e a imagem de uma seq¨uˆencia f por Im(f ) = {a 1 , a 2 , a 3 , ...}. Como a imagem de f , dada por
f (N ) = {f (n) : n ∈ N }
est´a contida no conjunto dos n´umeros reais, esta seq¨uˆencia ´e dita real.
Exemplo 16 (Seq¨uˆencias reais). f (n) = 10, f (n) = n, f (n) = n^2 , f (n) = 2n e f (n) = 1/n.
Observa¸c˜ao 7. Embora n˜ao seja correto, ´e usual representar uma seq¨uˆencia pelo seu conjunto imagem, pois facilita o entendimento desse conceito por parte dos novatos no assunto. Para a seq¨uˆencia f : N → R definida por f (n) = 1/n, o conjunto imagem f (N ) desta seq¨uˆencia ´e dado por
f (N ) = { 1 ,
n
2.1. SEQ ¨UˆENCIAS REAIS 12
Como ´e mais f´acil trabalhar com conjuntos do que com fun¸c˜oes, muitos uti- lizam o conjunto imagem como sendo a pr´opria seq¨uˆencia, mas n˜ao devemos confundir uma fun¸c˜ao com as suas propriedades.
Exemplo 17. (Exemplos importantes de seq¨uˆencias reais).
- Identidade Seja f : N → R definida por f (n) = n. Esta fun¸c˜ao pode ser representada graficamente de v´arias formas, sendo que uma delas ´e o diagrama de Venn-Euler e outra ´e o gr´afico cartesiano
- N´umeros pares Seja f : N → R definida por f (n) = 2n. Neste caso, Im(f ) = { 2 , 4 , 6 , ...}.
- N´umeros ´ımpares A fun¸c˜ao f : N → R definida por f (n) = 2n − 1.
- Rec´ıprocos dos naturais A fun¸c˜ao f : N → R definida por f (n) = 1/n. Neste caso Im(f ) = { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , ..., 1 /n, ...}.
- Constante A fun¸c˜ao f : N → R definida, por exemplo, por f (n) = 3.
- Nula A fun¸c˜ao f : N → R definida por f (n) = 0. A imagem ´e o conjunto Im(f ) = { 0 }.
- Alternada f : N → R definida por f (n) = (−1)nan. os valores desta seq¨uˆencia ficam alternando o sinal, sendo um negativo e o seguinte pos- itivo, etc. Im(f ) = {−a 1 , +a 2 , −a 3 , +a 4 , −a 5 , +a 6 , ...}.
- Aritm´etica A fun¸c˜ao f : N → R definida por: f (n) = a 1 + (n − 1)r. Neste caso: Im(f ) = {a 1 , a 1 + r, a 1 + 2r, ..., a 1 + (n − 1)r, ...}.
- Geom´etrica f : N → R definida por: f (n) = a 1 qn−^1 .Neste caso, temos que Im(f ) = {a 1 , a 1 q, a 1 q^2 , ..., a 1 qn−^1 , ...}.
- Recursiva Uma seq¨uˆencia ´e recursiva se, o termo de ordem n ´e obtido como em fun¸c˜ao dos termos das posi¸c˜oes anteriores. As seq¨uˆencias de Fibonacci aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Ar- quitetura, Artes e Padr˜oes de beleza. O livro “A divina propor¸c˜ao: Um ensaio sobre a Beleza na Matem´atica”, H. E. Huntley, Editora Universi- dade de Bras´ılia, 1985, trata do assunto. A seq¨uˆencia de Fibonacci ´e definida por f : N → R tal que f (1) = 1 e f (2) = 1 com f (n + 2) = f (n) + f (n + 1) para n ≥ 1. O conjunto imagem ´e Im(f ) = { 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ...}.
2.2. M´EDIAS: ARITM´ETICA, GEOM´ETRICA E HARM ˆONICA 14
2.2 M´edias: aritm´etica, geom´etrica e harmˆonica
Defini¸c˜ao 1 (M´edia aritm´etica). Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a m´edia aritm´etica entre m e n por
A(m, n) = m + n 2
Se x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn s˜ao n n´umeros reais positivos, definimos a m´edia aritm´etica entre eles por
A(x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn) =
x 1 + x 2 + x 3 + ... + xn n
Defini¸c˜ao 2 (M´edia geom´etrica). Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a m´edia aritm´etica entre m e n por
G(m, n) =
mn
Se x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn s˜ao n n´umeros reais positivos, definimos a m´edia geom´etrica entre eles por
G(x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn) = n
x 1 · x 2 · x 3 · ... · xn
Defini¸c˜ao 3 (M´edia harmˆonica). Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a m´edia aritm´etica entre m e n por
2 H(m, n)
m
n
Se x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn s˜ao n n´umeros reais positivos, definimos a m´edia harmˆonica entre eles por
1 H(x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn)
x 1
x 2
x 3
xn
2.3 M´edias versus progress˜oes
Defini¸c˜ao 4 (PA,PG,PH). Trˆes n´umeros reais a, b e c, nesta ordem, formam uma progress˜ao aritm´etica (respectivamente geom´etrica e harmˆonica), se b ´e a m´edia aritm´etica (respectivamente geom´etrica e harmˆonica) entre os n´umeros a e c.
2.4. HARM ˆONICO GLOBAL E SUAS APLICAC¸ ˜OES 15
Exerc´ıcio: Pesquisar materiais de Geometria euclidiana para interpretar geo- metricamente as m´edias: aritm´etica, geom´etrica e harmˆonica.
Exerc´ıcio: Mostrar que, se a, b e c s˜ao n´umeros reais positivos que est˜ao em progress˜ao harmˆonica, ent˜ao tamb´em est˜ao em progress˜ao harmˆonica, os trˆes n´umeros: a b + c
b a + c
e c a + b
Dica: Mostrar que a m´edia harmˆonica entre
a b + c
e
c a + b
´e igual a
b a + c
usando como v´alida a rela¸c˜ao b =
2 a.c a + c
ou equivalentemente, 2 a.c = a.b+b.c.
H(
a b + c
c a + b
a b + c
c a + b a b + c
c a + b =
2 .a.c a.(a + b) + c.(b + c) = ...
2.4 Harmˆonico global e suas aplica¸c˜oes
Defini¸c˜ao 5. Se m e n s˜ao n´umeros reais positivos, definimos o harmˆonico global entre m e n, denotado por h = h(m, n) satisfazendo `a rela¸c˜ao harmˆonica:
1 h(m, n)
m
n
Como neste caso temos dois n´umeros m e n, a m´edia harmˆonica ´e o dobro do harmˆonico global entre estes n´umeros, isto ´e, H(m, n) = 2h(m, n).
Na P´agina Matem´atica Essencial vocˆe encontrar´a muitos materiais did´aticos contendo aplica¸c˜oes da Matem´atica. Na pasta Alegria, existem alguns pas- satempos matem´aticos e um link sobre Harmonia e Matem´atica, onde trata- mos sobre o uso do harmˆonico global em aplica¸c˜oes no c´alculo de tempos, resistˆencias, capacidades el´etricas, capacidades motivas, lentes, geometria, etc.
2.6. APLICAC¸ ˜OES GEOM´ETRICAS DAS DESIGUALDADES 17
Extraindo a raiz quadrada de cada lado da desigualdade, obtemos m + n ≥ 2
mn e assim m + n 2
mn
o que garante que A(m, n) ≤ G(m, n).
2.6 Aplica¸c˜oes geom´etricas das desigualdades
- Dentre todos os retˆangulos cuja soma de duas arestas cont´ıguas ´e igual a 16, determinar aquele que possui a maior ´area S. Dica: Se a e b s˜ao as medidas dos lados do retˆangulo, ent˜ao S(a, b) = ab indica a ´area do retˆangulo e a + b = 16. Em geral, G(a, b) ≤ A(a, b), mas o m´aximo da m´edia geom´etrica G = G(a, b) ocorre, quando G = A. Este fato garante que a = b = 8.
- Dentre todos os retˆangulos com per´ımetro 2 p, obter aquele que tem ´area m´axima. Dica: Sejam a e b as medidas de dois lados cont´ıguos do retˆangulo, S(a, b) = ab a ´area do retˆangulo e a + b = p. Temos que G(a, b) ≤ A(a, b), mas o m´aximo da m´edia geom´etrica G = G(a, b) ocorre, quando G = A, isto ´e, quando a = b, logo a = b = p/ 2.
- Dentre todos os paralelep´ıpedos cuja soma de trˆes arestas que partem de um mesmo v´ertice ´e uma constante 3 p, determinar aquele que possui o maior volume. Dica: Se a, b e c s˜ao as trˆes arestas que partem de um v´ertice do paralelep´ıpedo, ent˜ao V (a, b, c) = abc ´e o volume do paralelep´ıpedo e a + b + c = 3p. O m´aximo da m´edia geom´etrica G = G(a, b, c) ocorre quando G = A, onde A ´e a m´edia aritm´etica e este fato, faz com que a = b = c = p.
Cap´ıtulo 3
Seq¨uˆencias Aritm´eticas
3.1 Seq¨uˆencias aritm´eticas e PA
Seq¨uˆencias aritm´eticas s˜ao muito usadas em processos lineares em Matem´atica. Tais seq¨uˆencias s˜ao conhecidas no ˆambito do Ensino M´edio, como Progress˜oes Aritm´eticas infinitas, mas uma Progress˜ao Aritm´etica finita n˜ao ´e uma seq¨uˆencia, pois o dom´ınio da fun¸c˜ao que define a progress˜ao, ´e um conjunto finito { 1 , 2 , 3 , ..., m} contido no conjunto N dos n´umeros naturais.
Defini¸c˜ao 22 (Progress˜ao Aritm´etica finita). E uma cole¸´ c˜ao finita de n´umeros reais, caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, ´e obtido pela soma do anterior com um n´umero fixo r, denominado raz˜ao da PA.
Na seq¨uˆencia, apresentamos os elementos b´asicos de uma Progress˜ao Ar- itm´etica da forma:
C = {a 1 , a 2 , a 3 , ..., an, ..., am− 1 , am}
- m ´e o n´umero de termos da PA.
- n indica uma posi¸c˜ao na seq¨uˆencia e o ´ındice para a ordem do termo geral an no conjunto C.
- an ´e o n-´esimo termo da PA, que se lˆe: a ´ındice n.
- a 1 ´e o primeiro termo da PA, que se lˆe: a ´ındice 1.
- a 2 ´e o segundo termo da PA, que se lˆe: a ´ındice 2.
