Lista 9 C´alculo I -A- 2008-1 16
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matem´atica
GMA - Departamento de Matem´atica Aplicada
LISTA 9 - 2008-1
Fun¸c˜ao impl´ıcita
Taxas relacionadas
1. Determine a express˜ao de pelo menos duas fun¸c˜oes y=y(x) definidas implicitamente pela
equa¸c˜ao xy2+x+y= 1. Explicite seus dom´ınios.
2. Seja y=f(x) definida implicitamente pela equa¸c˜ao sec2(x+y)−cos2(x+y) = 3
2. Calcule
f0³π
4´, sabendo que f³π
4´= 0.
3. Seja y=f(x) definida implicitamente pela equa¸c˜ao x2−x√xy+2y2= 10. Encontre o coeficiente
angular da reta normal ao gr´afico da fun¸c˜ao fno ponto (4,1).
4. Considere y=f(x) definida implicitamente por x4−xy +y4= 1. Calcule f0(0) , sabendo que
f(x)>0,∀x∈R.
5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por ciss´oide de Diocles
cuja equa¸c˜ao ´e (2 −x)y2=x3.
(a) Obtenha a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da curva em (1,1);
(b) Obtenha as equa¸c˜oes das retas tangentes ao gr´afico da curva nos
pontos em que x=3
2.
y
x
–4
–2
0
2
4
–1 1 2
6. Considere a lemniscata de equa¸c˜ao ¡x2+y2¢2=x2−y2(figura ao lado).
Determine os quatro pontos da lemniscata em que as retas tangentes s˜ao
horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes s˜ao
verticais.
y
x
–1
0
1
–1 1
7. Cascallho est´a caindo e formando uma pilha cˆonica que aumenta a uma taxa de 3 m3/min, de
modo que o raio do cone ´e sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de varia¸c˜ao da altura da
pilha quando a altura ´e de 3 m.
8. Uma cˆamara de televis˜ao no n´ıvel do solo est´a filmando a subida de um ˆonibus espacial que
est´a subindo verticalmente de acordo com a equa¸c˜ao s= 15t2, sendo sa altura e to tempo. A
cˆamara est´a a 600 m do local de lan¸camento. Encontre a taxa de varia¸c˜ao da distˆancia entre a
cˆamara e a base do ˆonibus espacial, 10 seg ap´os o lan¸camento (suponha que a cˆamara e a base
do ˆonibus est˜ao no mesmo n´ıvel no tempo t= 0).
9. Num determinado instante, um controlador de tr´afego a´ereo vˆe dois
avi˜oes na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajet´orias
ortogonais que se cruzam num ponto P(veja figura). Neste instante,
um dos avi˜oes est´a a 150 milhas do ponto Pe se aproxima de P`a 450
milhas por hora, enquanto o outro est´a a 200 milhas do ponto Pe se
movendo `a 600 milhas por hora, tamb´em em dire¸c˜ao ao ponto P.
150
200
P
(a) Antes do ponto P, a distˆancia entre os avi˜oes est´a diminuindo? a que taxa?
(b) Os avi˜oes correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem
para fazer com que um dos avi˜oes mude a sua trajet´oria?
