Eletromagnetismo, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Universidade Federal de Santa Maria

ELETROMAGNETISMO

para Engenharia El´etrica

Prof. Luiz Antˆonio Righi

www.ufsm.br/righi

Eletromagnetismo

Eng. El´etrica UFSM / Prof. Luiz Antˆonio Righi

Dispon´ıvel em: www.ufsm.br/righi

• I Campos em meios condutores ´Indice
  • I-A Resistˆencia e lei de Ohm
    • I-A.1 A descoberta da carga el´etrica
    • I-A.2 Densidades de carga
    • I-A.3 Corrente e tens˜ao el´etrica
    • I-A.4 Conserva¸c˜ao da energia
    • I-A.5 Lei de Ohm
    • I-A.6 Exerc´ıcios - 1a semana
  • I-B Corrente = fluxo de carga nos condutores
    • I-B.1 A nota¸c˜ao vetorial
    • I-B.2 Fun¸c˜oes ‘densidade de fluxo’
    • I-B.3 Densidade de corrente el´etrica
    • I-B.4 Continuidade do fluxo
    • I-B.5 Exerc´ıcios - 2a semana
  • I-C Campo el´etrico e diferen¸ca de potencial
    • I-C.1 Potencial e seu ‘co-vetor gradiente’
    • I-C.2 Circula¸c˜ao de um vetor
    • I-C.3 Forma local da Lei de Ohm
    • I-C.4 Refra¸c˜ao da corrente el´etrica
    • I-C.5 Exerc´ıcios - 3a semana
• II Eletrost´atica
  • II-A Campo e potencial eletrost´atico
    • II-A.1 Importˆancia da eletrost´atica
    • II-A.2 Lei de Coulomb
    • II-A.3 Campo eletrost´atico E~
    • II-A.4 Potencial el´etrico V
    • II-A.5 Campo conservativo
    • II-A.6 Exerc´ıcios - 4a semana
  • II-B Lei de Gauss da eletrost´atica
    • II-B.1 Polariza¸c˜ao
    • II-B.2 Indu¸c˜ao el´etrica D~
    • II-B.3 Divergˆencia de D~
    • II-B.4 Exerc´ıcios - 5a semana
  • II-C Capacitˆancia e diel´etricos
    • II-C.1 Capacitˆancias simples
    • II-C.2 Diel´etricos
    • II-C.3 Permissividade el´etrica 
    • II-C.4 Energia no capacitor
    • II-C.5 Refra¸c˜ao dos campos da eletrost´atica
    • II-C.6 Energia eletrost´atica
    • II-C.7 Exerc´ıcios - 6a semana
• III Magnetost´atica
  • III-ACampo magn´etico H~
    • III-A.1 Hist´oria do magnetismo
    • III-A.2 Lei de Biot-Savart
    • III-A.3 Lei de Amp´ere
    • III-A.4 Rotacional de H~
    • III-A.5 Exerc´ıcios - 7a semana
  • III-B Indu¸c˜ao e for¸ca magn´etica
    • III-B.1 Magnetiza¸c˜ao
    • III-B.2 Indu¸c˜ao e permeabilidade magn´etica
    • III-B.3 For¸ca magn´etica - III-B.4 Lei de Gauss do magnetismo L. A. Righi, DESP-CT-UFSM, Santa Maria, RS, 97105-900, Brasil - III-B.5 Refra¸c˜ao magn´etica - III-B.6 ´Im˜as - III-B.7 Efeito Hall - III-B.8 Potencial escalar magn´etico - III-B.9 Exerc´ıcios - 8a semana - III-C Circuitos magn´eticos - III-C.1 Relutˆancia magn´etica - III-C.2 Indutˆancia - III-C.3 Exerc´ıcios - 9a semana
      • IV Quase-est´atica
        • IV-A Lei de Faraday
          • IV-A.1 Michael Faraday
          • IV-A.2 Campo el´etrico induzido
          • IV-A.3 Princ´ıpio dos geradores
          • IV-A.4 Indutˆancia m´utua
          • IV-A.5 Transformador ideal
          • IV-A.6 Exerc´ıcios - 10a semana
        • IV-B Correntes alternadas
          • IV-B.1 Circuito RLC s´erie
          • IV-B.2 Fasores
          • IV-B.3 Exerc´ıcios - 11a semana
        • IV-C Correntes induzidas
          • IV-C.1 Campos vari´aveis em condutores
          • IV-C.2 Efeito pelicular ou efeito Skin
          • IV-C.3 R, L e C reais
          • IV-C.4 Correntes de Foucault em chapas
          • IV-C.5 Transformador com perdas
          • IV-C.6 Exerc´ıcios - 12a semana
      • V Campos eletromagn´eticos em alta freq¨uˆencia
        • V-A Equa¸c˜oes de Maxwell
          • V-A.1 Cavidades ressonantes
          • V-A.2 Vetor de Poynting
            • deslocamento V-A.3 Equa¸c˜oes de Maxwell com corrente de
          • V-A.4 Constante absoluta 
          • V-A.5 Exerc´ıcios - 13a semana
        • V-B Forma¸c˜ao das ondas eletromagn´eticas
          • V-B.1 Ondas planas
          • V-B.2 Reflex˜ao de ondas entre dois meios
          • V-B.3 Irradia¸c˜ao de ondas eletromagn´eticas
          • V-B.4 Exerc´ıcios - 14a semana
        • V-C Propaga¸c˜ao das ondas eletromagn´eticas
          • V-C.1 Os meios de propaga¸c˜ao
          • V-C.2 Reflex˜ao polariza¸c˜ao de EM
          • V-C.3 Sistemas de transmiss˜ao
          • V-C.4 Propaga¸c˜ao guiada por L.T.
          • V-C.5 Casamento de impedˆancias
          • V-C.6 Exerc´ıcios - 15a semana
      • VI Resumo de f´ormulas, gr´aficos e tabelas

as convuls˜oes podiam ser obtidas mesmo sem a interven¸c˜ao de qualquer arco met´alico. Volta, no entanto, considerou esse fenˆomeno como uma simples decorrˆencia de um est´ımulo mecˆanico e rebateu a hip´otese do m´edico de Bolonha, ex- pondo o princ´ıpio dos trˆes condutores - um eletrol´ıtico e dois met´alicos. Eram esses os ´unicos elementos necess´arios para originar o fluido el´etrico (como era chamada na ´epoca a cor- rente el´etrica). Em 1800, Volta construiu a primeira pilha el´etrica, hoje chamada pilha galvˆanica ou voltaica.

Ao mesmo tempo que realizava seus estudos sobre a qu´ımica dos gases, Henry Cavendish (1731-1810) dedicava-se a muitos outros assuntos: magnetismo ter- restre, Eletricidade, Dinˆamica, Astronomia, Meteorologia, Matem´atica. Cavendish ´e um exemplo do que se chamava “Fil´osofo Natural” no s´eculo XVIII homens que se ocu- pavam com os assuntos que mais lhes interessavam, nos v´arios dom´ınios do conhecimento. Em seu primeiro artigo sobre Eletricidade, publicado em 1771, Cavendish estabele- ceu claramente, e pela primeira vez, a diferen¸ca entre carga (ou quantidade de eletricidade armazenada em um corpo) e tens˜ao (ou for¸ca com que esta eletricidade tende a deslocar- se). Se uma mesma quantidade de eletricidade ´e colocada em dois corpos semelhantes, mas de volumes diferentes, no menor deles a tens˜ao el´etrica ser´a maior do que no outro. Da mesma forma, se em dois corpos semelhantes a tens˜ao el´etrica for igual, o maior deles conter´a mais eletricidade. Quando dois corpos eletrizados s˜ao unidos por um condutor, eles acabam ficando com a mesma tens˜ao el´etrica, qualquer que seja o ponto ou a forma pela qual se faz a uni˜ao: as cargas se distribuir˜ao neles conforme suas respectivas capacidades el´etricas. Al´em de estabelecer essas ocorrˆencias e desenvolver um tratamento matem´atico adequado aos fenˆomenos el´etricos, Cavendish tamb´em foi o primeiro a medir experimental- mente as capacidades el´etricas de corpos de diversos ma- teriais, formas e tamanhos. Mostrou que, para corpos de formas iguais, a capacidade ´e proporcional ao comprimento do objeto: se dois corpos semelhantes s˜ao unidos por um fio, a carga que cada um armazenar´a ser´a proporcional ao seu tamanho. Mediu igualmente a diferen¸ca de capacidade entre condutores de formas diferentes e observou que, nesse caso, o material que os constitui n˜ao influi em nada. Tamb´em provou que a carga el´etrica se distribui apenas na superf´ıcie externa dos corpos met´alicos, n˜ao havendo eletricidade al- guma na superf´ıcie interna de uma esfera oca - por mais finas que sejam suas paredes e por maior que seja seu grau de eletriza¸c˜ao. A partir dessa observa¸c˜ao, constatou que a for¸ca com que as part´ıculas de eletricidade se repelem deve diminuir em propor¸c˜ao ao quadrado da distˆancia que as sep- ara. Essa foi a primeira determina¸c˜ao precisa da lei das for¸cas entre cargas el´etricas. No entanto, como o francˆes Charles Coulomb publicou antes de Cavendish o resultado de ex- periˆencias em que chegava `as mesmas conclus˜oes, a ele atribui-se a determina¸c˜ao dessa lei.

Outro importante trabalho do cientista inglˆes nesse campo foi a realiza¸c˜ao da primeira compara¸c˜ao experimental da facilidade de v´arias substˆancias em conduzir eletricidade. Nessa investiga¸c˜ao, ele fez v´arias descargas el´etricas, de mesma intensidade e for¸ca, atravessarem tubos contendo substˆancias diferentes. Recebendo os choques causados por essas descargas, foi modificando o comprimento ocupado por cada substˆancia dentro do tubo, at´e receber choques iguais de todas elas. Concluiu-se, ent˜ao, que suas resistˆencias de-

veriam ser iguais mas que, naquele momento, o material que conseguisse proporcionar um mesmo choque atrav´es de uma maior quantidade de mat´eria seria, proporcionalmente, o melhor condutor. Os resultados obtidos por Cavendish nessas experiˆencias s˜ao incrivelmente precisos. Ele se adi- antava alguns decˆenios em rela¸c˜ao a Ohm, a quem se atribui comumente a descoberta de que a rapidez com que a eletrici- dade atravessa um condutor ´e proporcional a tens˜ao el´etrica que a impulsiona. Al´em disso, em seu estudo sobre o tor- pedo, Cavendish provou que quando v´arios condutores s˜ao ligados, ao mesmo tempo, a um corpo eletrizado, a descarga n˜ao passa apenas pelo que apresenta menor resistˆencia, mas se distribui entre os v´arios condutores; entretanto, a fra¸c˜ao que passa em cada um deles ´e tanto maior quanto menor for sua resistˆencia. De todas as experiˆencias realizadas por Cavendish, no en- tanto, a que lhe trouxe maior fama foi a determina¸c˜ao da densidade da Terra. **A estrutura da mat´eria Durante muitos s´eculos, a humanidade interrogou-se sobre a estrutura da mat´eria. A possibilidade que a eletricidade n˜ao consista de um uniforme e cont´ınuo fluido provavelmente ocorreu a muitos cientistas. Mesmo Franklin, uma vez, es- creveu que o “fluido” consiste de “part´ıculas extremamente sutis”. Todavia, uma grande quantidade de evidˆencias tinham se acumulado antes da eletricidade ser aceita como formada por min´usculas part´ıculas, quantidades discretas, e n˜ao mais como um fluido, quando vista microscopicamente. James Clerk Maxwell se opˆosa teoria corpuscular. Por volta do fim do s´eculo XIX, entretanto, o trabalho de Sir Joseph John Thompson (1856-1940) e outros provaram a existˆencia do el´etron. Thompson tinha medido a propor¸c˜ao da carga do el´etron para a sua massa. Ent˜ao em 1899 ele deduziu um valor para a carga eletrˆonica pela observa¸c˜ao do comportamento de uma nuvem de min´usculas part´ıculas de ´agua carregadas em um campo el´etrico. Essa observa¸c˜ao conduziu ao Experimento da Gota de Oleo de Millikan.´ Robert Millikan, um fisicista da Universidade de Chicago, com a assistˆencia de um estudante Harvey Fletcher, procu- raram medir a carga de um ´unico el´etron, um objetivo am- bicioso em 1906. Uma min´uscula gotinha com um pequeno excesso de el´etrons foi formada for¸cando o l´ıquido atrav´es de um dispositivo especial. A gota foi ent˜ao, em verdade, sus- pendida, com um campo el´etrico atraindo para cima e a for¸ca gravitacional puxando para baixo. Para a determina¸c˜ao da massa da gota de ´oleo e do valor do campo el´etrico, a carga na gota foi calculada. O resultado: a carga do el´etron e ´e negativa e tem como m´odulo o valor

e = 1, 6021917 × 10 −^19 Coulomb.

Millikan tamb´em determinou que as cargas sempre apare- cem com um valor de mais ou menos e, em outras palavras, a carga ´e quantizada. Outras part´ıculas elementares descober- tas depois tiveram tamb´em suas cargas determinadas e foi poss´ıvel notar que seguiam esta mesma caracter´ıstica. Por exemplo, o Positron, descoberto em 1932 por Carl David Anderson do Instituto de Tecnologia da Calif´ornia, ´e exata- mente a mesma do el´etron, exceto que esta ´e positiva. **Os ´atomos A maior parte da mat´eria, em geral, ´e neutra. A tendˆencia ´e que para cada pr´oton (carga positiva) no ´atomo, para este

ser eletricamente neutro, deve existir um el´etron (carga neg- ativa), e a soma das cargas deve ser nula. Em 1911, Ernest Rutherford propˆos um modelo para o ´atomo. Ele sugeriu que os el´etrons orbitavam um n´ucleo carregado, com um diˆametro de 10−^14 metros, da mesma forma que os planetas orbitavam o Sol. Rutherford tamb´em sugeriu que o n´ucleo era formado por pr´otons, sendo que cada um teria uma carga de +e. Essa vis˜ao da mat´eria, ainda considerada correta em muitos casos, estabilizou a for¸ca el´etrica que mant´em um ´atomo unido. Depois que Rutherford apresentou seu modelo atˆomico, o fisicista dinamarquˆes Niels Bohr propˆos que os el´etrons ocupam apenas certas ´orbitas em torno do n´ucleo, e que outras ´orbitas s˜ao imposs´ıveis.

Hoje sabemos que a mat´eria ´e constitu´ıda por ´atomos. Existem mais de cem tipos de ´atomos diferentes na natureza ou produzidos em laborat´orio pelos cientistas. Cada tipo de ´atomo constitui o que se chama de Elemento Qu´ımico. O oxigˆenio ´e um elemento, o cloro tamb´em, assim como o hidrogˆenio.

Se pud´essemos ver um ´atomo, constatar´ıamos que ele ´e formado por um n´ucleo e v´arias part´ıculas girando ao redor dele: os el´etrons. De certa maneira, lembra o nosso sistema solar, com o sol no centro e os planetas girando em sua volta. Se bem que essa semelhan¸ca seja apenas formal, permite compreendermos como se forma a eletricidade.

Os cientistas observaram que as for¸cas atˆomicas de atra¸c˜ao entre o n´ucleo e os el´etrons s˜ao distintas das for¸cas gravita- cionais, presentes no sistema solar. Elas foram denominadas de for¸cas el´etricas, e associadas a cargas el´etricas. Por con- ven¸c˜ao, os el´etrons foram denominados de carga negativa e o n´ucleo de carga positiva. Assim, os el´etrons s˜ao pequenas part´ıculas, dotadas de carga negativa, que giram em torno do n´ucleo, que ´e formado por pr´otons, com carga el´etrica positiva, e nˆeutrons, com carga el´etrica neutra.

Podemos concluir, de imediato, uma coisa muito impor- tante: para que o ´atomo esteja em equil´ıbrio, isto ´e, seja neutro, a carga positiva deve ser igual `a carga negativa. Re- sulta que o n´umero de pr´otons que est˜ao no n´ucleo ´e igual ao n´umero de el´etrons que giram ao redor. Existem ´atomos que tˆem 1 pr´oton e 1 el´etron (hidrogˆenio), ´atomos que possuem 13 pr´otons e 13 el´etrons (alum´ınio), e assim por diante.

Os cientistas j´a comprovaram que o nˆeutron ´e muito mais pesado que o el´etron (pesa 1836 vezes mais). A t´ıtulo de compara¸c˜ao, podemos imaginar o ´atomo de ferro com 26 el´etrons. Se cada el´etron fosse do tamanho de uma bola de gude, o n´ucleo do ´atomo de ferro pesaria tanto quanto uma locomotiva de 10 toneladas. Pode-se perceber que, pratica- mente toda a massa do ´atomo est´a no seu n´ucleo.

Entretanto, a compara¸c˜ao que acabamos de fazer n˜ao pode ser feita em termos de carga el´etrica. Os cientistas denomi- naram for¸ca eletrost´atica a atra¸c˜ao entre el´etrons (carga neg- ativa) e pr´otons (carga positiva). Como o pr´oton ´e muito mais pesado, ele quase n˜ao sai do lugar; e o el´etron ‘cam- inha’ ao seu encontro.

TABELA I Principais elementos constituintes dos ´atomos

Part´ıcula S´ımbolo Carga e Massa me Momento El´etron e -1,0 1 1/ Pr´oton p +1,0 1836,15 1/ Nˆeutron n 0,0 1838,68 1/

Quando se estuda eletricidade, s˜ao os el´etrons que mais interessam. O n´ucleo n˜ao tem muita importˆancia. Mesmo assim, n˜ao s˜ao todos os el´etrons que interessam. H´a al- guns el´etrons que est˜ao fortemente presos ao n´ucleo: s˜ao os el´etrons que est˜ao pr´oximos a ele. Por´em, outros el´etrons, que giram mais afastados de um ´atomo e pulam de um para outro ´atomo vizinho. S˜ao chamados, por isso, de el´etrons livres. Estes el´etrons ´e que interessam para os circuitos el´etricos. Quando os el´etrons livres passam de um ´atomo para o outro, temos uma corrente de el´etrons. E a pr´´ opria corrente el´etrica dos circuitos e dos condutores. **Eletr´olise da ´agua Vamos resumir uma rea¸c˜ao qu´ımica muito conhecida: a eletr´olise. A Eletr´olise acontece quando se p˜oem dois eletro- dos (um positivo e um negativo) dentro do recipiente com ´agua e faz-se passar uma corrente el´etrica entre eles. A´ı, como eles se polarizam, eles acabam atraindo O 2 para um dos eletrodos (o positivo - dado que o ´ıon oxigˆenio ´e negativo: O- ) e H 2 (porque o ´ıon hidrogˆenio ´e positivo: H+) para o outro (o eletrodo negativo). Pela passagem da corrente el´etrica numa solu¸c˜ao aquosa de Na 2 SO 4 h´a decomposi¸c˜ao da ´agua, dando hidrogˆenio no c´atodo (p´olo negativo) e oxigˆenio no ˆanodo (p´olo positivo). O volume do hidrogˆenio produzido ´e o dobro do volume de oxigˆenio. Dessa forma, pode-se separar o hidrogˆenio do oxigˆenio. A eletr´olise ´e o processo pelo qual uma corrente el´etrica cont´ınua (como aquela que prov´em de pilhas e baterias), passa entre dois eletrodos fixados em um recipiente, que cont´em o material a dissociar. Em seu percurso a eletrici- dade provoca a quebra das liga¸c˜oes qu´ımicas das mol´eculas, liberando assim seus ´atomos constituintes. Atualmente a eletr´olise da ´agua ´e o principal processo industrial para a obten¸c˜ao de oxigˆenio! Michael Faraday (1791-1867) foi o respons´avel pela in- trodu¸c˜ao no Conselho de Whewell (1833) de uma nova ter- minologia na qu´ımica, que ´e empregada at´e hoje, como eletr´olise, ´ıons, ˆanion, anodo, c´ation, catodo, etc. Formulou as leis da eletr´olise (1834) e, por isso, denominou-se fara- day a quantidade de eletricidade necess´aria para libertar um equivalente-grama de qualquer substˆancia. Definiu corrente el´etrica como resultado da vibra¸c˜ao provocada pelas r´apidas alternˆancias de tens˜ao nas mol´eculas dos bons condutores (1838). A primeira evidˆencia experimental sobre a estrutura do ´atomo foi verificada pelo f´ısico e qu´ımico inglˆes Michel Fara- day (1791-1867) ao descobrir o fenˆomeno da eletr´olise, isto ´e, a a¸c˜ao qu´ımica da eletricidade. Em sua experiˆencia, Fara- day observou que a passagem da corrente el´etrica atrav´es de solu¸c˜oes qu´ımicas, por exemplo nitrato de prata, fazia com que os metais de tais solu¸c˜oes se depositassem nas bar- ras met´alicas (eletrodos: catodo e anodo) introduzidas nes- sas solu¸c˜oes. Essa evidˆencia sobre a estrutura atˆomica foi corroborada com a teoria iˆonica desenvolvida pelo qu´ımico sueco Svante August Arrhenius (1859-1903), segundo a qual os ´ıons que constitu´ıam a corrente el´etrica atrav´es da solu¸c˜ao, no fenˆomeno da eletr´olise, nada mais eram que ´atomos car- regados de eletricidade.

Exemplo I.1: Considerando que num peda¸co de ferro Fe, cada ´atomo possua um el´etron livre. Se desejarmos ter a carga acumulada de -1C neste peda¸co de ferro, qual a sua massa?

Exemplo I.5: Carga de uma figura bidimensional - Cal- cular a carga compreendida na superf´ıcie delimitada pelas curvas y = x/2 e y =

x, desde x = 2 a x = 4, quando a carga superficial ρs = xy μC/m^2. Solu¸c˜ao: Vamos encontrar inicialmente a densidade de carga linear para cada valor de x, que denominaremos q(x). Assim:

q(x) =

∫ √x

x/ 2

xy dy =

x^2 2

x^3 8 μC/m

Agora, podemos calcular a carga total, fazendo a integral em x.

Q =

∫ (^) x 2

x 1

q(x) dx =

2

x^2 2

x^3 8

) dx =

μC. ♦

Fig. 1 Exemplo de c´alculo da integral dupla.

A.3 Corrente e tens˜ao el´etrica

Diz-se existir uma corrente el´etrica sempre que houver o deslocamento ordenado de cargas el´etricas dentro de um con- dutor, deslocamento este que se d´a em determinado sentido. Os ´atomos da mat´eria contˆem el´etrons livres, capazes de se deslocarem ordenadamente de um ´atomo para o seguinte, formando uma corrente el´etrica. A unidade de corrente ´e o Amp´ere. A intensidade de corrente de 1 Amp´ere, ou ‘A’, ´e a quantidade de carga de 1 Coulomb que passa na se¸c˜ao de um fio durante o inter- valo de tempo de 1 segundo. Assim: 1 Amp´ere ´e igual a 1 Coulomb/s. A corrente el´etrica ´e medida com um amper´ımetro, cujo funcionamento se baseia nos efeitos desta corrente (anal´ogi- cos) ou por queda de tens˜ao num resistor deriva¸c˜ao (digitais). Atualmente, um moderno amper´ımetro pode detectar cor- rentes muitos baixas da ordem de 10−^17 amperes, que ´e apenas 63 el´etrons por segundo. A corrente em um im- pulso nervoso ´e aproximadamente de 1/100.000 amperes, um relˆampago atinge uma corrente de 20.000 amp´eres, e uma bomba nuclear chega a 10.000.000 de amp´eres com 115V. O amper´ımetro ´e ligado em s´erie com o circuito. A corrente el´etrica, ou os el´etrons, passam pelo instrumento - entram no terminal comum e saem no terminal correspon- dente ao m´aximo valor que poder´a passar pelo instrumento (final de escala). Na maioria dos casos pr´aticos, os el´etrons s˜ao os re- spons´aveis pela existˆencia da corrente el´etrica. No entanto, existem situa¸c˜oes em que a condu¸c˜ao se d´a atrav´es de ´ıons positivos, como no caso de solu¸c˜oes eletrol´ıticas; em disposi- tivos semicondutores os portadores de corrente tanto podem ser cargas negativas quanto positivas.

A fim de evitar confus˜oes sobre qual tipo de carga se movimenta em determinado condutor, convencionou-se (por raz˜oes hist´oricas) que as cargas positivas s˜ao as portadoras de corrente, indicado por uma pequena seta ao lado do con- dutor. Al´em do sentido, a corrente ´e caracterizada por sua in- tensidade ou m´odulo, dado pela raz˜ao entre a varia¸c˜ao da quantidade de carga ∆q que passa por uma se¸c˜ao reta do condutor durante o intervalo de tempo ∆t, isto ´e

i =

∆q ∆t Se a varia¸c˜ao de carga que passa pela se¸c˜ao durante 1 se- gundo for igual a 1 Coulomb, diz-se que o m´odulo da cor- rente ´e de 1 Ampere (s´ımbolo A). Muito comum s˜ao algumas subunidades de Ampere, como

1 miliampere (1mA)=0,001 A=10−^3 A 1 microampere (1μ A)=0,000001 A=10−^6 A 1 kiloampere (1kA)=1000 A=10^3 A J´a vimos como ocorre a corrente el´etrica nos circuitos con- dutores. Os el´etrons que est˜ao fracamente presos ao n´ucleo ou ao ´atomo podem escapar e saltar para um ´atomo vizinho (da direita, por exemplo), liberando espa¸co para um outro el´etron que vem de outro ´atomo vizinho (da esquerda). Em conseq¨uˆencia disso, temos possibilidade de obter um n´umero muito grande de el´etrons ‘caminhando’. Os el´etrons livres saltam de um ´atomo para outro ´atomo e podem continuar o seu movimento para mais outro ´atomo, formando a corrente el´etrica. Por´em, surgem duas perguntas: O que faz os el´etrons an- darem? E de onde vˆem e para onde v˜ao os el´etrons nas extremidades dos condutores ou dos circuitos? Na se¸c˜ao seguinte, vamos tratar um pouco sobre esta for¸ca. Antes de mais nada, lembremo-nos da lei de Lavoisier: Na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se transforma. E assim tamb´em acontece com os el´etrons. Os el´etrons n˜ao saem e n˜ao retornam ao nada. Eles tˆem uma origem e um destino: o gerador. Os geradores n˜ao s˜ao m´aquinas de el´etrons, mas apenas trocadores de el´etrons com o circuito. Impulsionam el´etrons num terminal e retiram no outro. A tens˜ao el´etrica ´e universalmente medida em Volts e rep- resentada pelo s´ımbolo ‘V’.

A.4 Conserva¸c˜ao da energia Olhando de realce a maneira como o homem e a mul- her tˆem aprendido a melhorar suas rela¸c˜oes com o mundo, ressaltam duas facetas relevantes: a diversifica¸c˜ao das fontes de energia - a partir da Revolu¸c˜ao Agr´ıcola - e a intensifica¸c˜ao da utiliza¸c˜ao da energia - a partir da Revolu¸c˜ao Industrial. Logo nos surgem quest˜oes como: O que ´e energia? Qual a primeira lei da natureza? A energia se conserva? Con- siderando a energia solar incidente, a energia acumulada no planeta terra aumenta ou diminui ao longo dos anos? Vamos retornar `a lei de Lavoisier: Na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se transforma. Esta ´e a lei b´asica de todo e Eletromagnetismo. Um sistema eletromagn´etico ´e definido como uma quan- tidade de potenciais, cargas e materiais, sobre a qual nossa aten¸c˜ao ´e dirigida para o estudo. Tudo o que ´e externo ao sistema ´e chamado de fronteiras do sistema. Como veremos posteriormente, algumas condi¸c˜oes podem ser impostas nas fronteiras, tais como os potenciais ou o fluxo de energia. Um sistema isolado ´e aquele que n˜ao ´e influenciado, de forma

alguma pelo meio. Isso significa, nesse caso, que calor e tra- balho n˜ao cruzam a fronteira do sistema. Uma investiga¸c˜ao sobre o comportamento de um sistema, pode ser vista do aspecto eletromagn´etico de duas formas: a) do ponto de vista local ou ‘microsc´opico’ - consiste em conhecer os campos e as for¸cas (ou potenciais) em todo o sistema de estudo, utilizando geralmente m´etodos num´ericos e computadores. b) usando componentes discretos e as t´ecnicas de circuitos el´etricos - reduz o n´umero de vari´aveis e permite uma com- preens˜ao das entradas e sa´ıdas de cada elemento. Neste aspecto, nos preocupamos com os efeitos totais ou m´edios de muitas part´ıculas. Al´em disso, esses efeitos podem ser percebidos por nossos sentidos e medidos por instrumentos. Por exemplo, quando medimos a intensidade de corrente de um condutor, medimos na realidade a quantidade total de el´etrons que passam por um condutor. O trabalho W ´e definido como uma for¸ca F~ agindo atrav´es de um deslocamento infinitesimal d~x, onde o deslo- camento ´e aplicado na dire¸c˜ao da for¸ca.

W =

1

F^ ~ · d~x (1)

Esta ´e uma rela¸c˜ao muito ´util, porque permite-nos deter- minar o trabalho necess´ario para levantar um peso, esticar um fio, ou mover uma part´ıcula carregada atrav´es de um campo eletromagn´etico. Entretanto, tendo em vista o fato de lidarmos com sis- temas, definimos trabalho como: o trabalho ´e positivo quando um sistema movimenta um peso ou cede energia. Em geral, falamos do trabalho como uma forma de energia. Mas afinal, o que ´e energia? Um outro conceito a que importa fazer referˆencia ´e a potˆencia, que mede a rapidez com que a energia ´e trans- ferida entre sistemas. A potˆencia ´e uma grandeza que mede a velocidade com que um esfor¸co ´e realizado. Por exemplo, quando um motor ´e usado para elevar uma carga, ele real- iza um trabalho conta a a¸c˜ao da gravidade, e quanto mais r´apido subir esta carga, maior ser´a a potˆencia desprendida pelo motor. As equa¸c˜oes da potˆencia s˜ao:

P =

W

t = F v = C ω

onde W ´e o trabalho realizado em Joules, t ´e o intervalo de tempo em segundos, F a for¸ca em Newton, v a velocidade em m/s, C o conjugado em Nm, e ω a velocidade angular em rad/s. Quando se trata da potˆencia em um circuito el´etrico, a equa¸c˜ao da potˆencia mecˆanica pode ser escrita como

p = v i

A unidade de potˆencia ´e o Watt (s´ımbolo W), sendo tamb´em usados m´ultiplos e subm´ultiplos. S˜ao tamb´em usadas as seguintes unidades de potˆencia:

Cavalo-vapor (cv) = 736 W Horse-power (hp) = 745,7 W

A potˆencia pode assumir valores positivos e negativos. Nos sistemas el´etricos, e melhor dizendo, eletromagn´eticos, exis- tem elementos que fornecem potˆencia e outros que absorvem potˆencia. A potˆencia absorvida ´e positiva enquanto que a potˆencia fornecida ´e negativa. Para que se saiba o sinal da potˆencia associada a um elemento, basta observar a corrente

e a tens˜ao no mesmo. Se, por exemplo, a potˆencia de uma resistˆencia (ver resistˆencia el´etrica) for negativa, a solu¸c˜ao do sistema est´a errada. Uma lˆampada incandescente, por exemplo, ligada a uma rede el´etrica absorve potˆencia e converte em luz (efeito dese- jado) e calor (perda). O rendimento, simbolizado pela letra grega η, ´e uma grandeza adimensional que mede a eficiˆencia de um elemento ou sistema. O rendimento percentual ´e dado pela rela¸c˜ao entre a potˆencia de sa´ıda (luz da lˆampada) pela potˆencia de entrada (potˆencia el´etrica absorvida da rede), ent˜ao η(%) =

PS

PE

Exemplo I.6: Um motor de corrente cont´ınua de 10 CV solicita uma corrente de 40 A quando operado `a plena carga ligado a uma rede de 220 V em corrente cont´ınua (CC). De- terminar: (a) o rendimento deste motor; (b) qual a potˆencia perdida. Solu¸c˜ao: (a) Com o motor operando a plena carga (potˆencia nom- inal), a potˆencia na sa´ıda (no eixo do motor) ´e PS = 10 × 736 = 7360W. A potˆencia na entrada (fornecida pela rede) ´e PE = 220×40 = 8800W. O rendimento ´e η = 83, 64%. (b) As perdas no motor s˜ao: PP ERDA = PE − PS = 1140W. ♦ Em sistemas de corrente alternada, existem trˆes tipos de potˆencia: a) Potˆencia aparente, em VA ou kVA - corresponde ao produto da tens˜ao V pela corrente A. b) Potˆencia ativa, em W ou kW - potˆencia que realiza trabalho ou ´e transformada em calor. c) Potˆencia reativa, em VAr ou kVAr - potˆencia do capac- itor ou indutor, que ´e armazenada e devolvida ao circuito el´etrico durante um mesmo per´ıodo de tempo. A energia de um sistema pode ser vista de v´arias formas:

• a energia liberada ou absorvida durante um intervalo de tempo;
• o trabalho exercido ou recebido;
• a capacidade de realizar, ou a necessidade de receber um trabalho. Se a potˆencia associada a um elemento ´e p, a energia as- sociada ao mesmo intervalo de tempo ∆ t = t 2 − t 1 ´e dada por

W =

∫ (^) t 2

t 1

p dt

A unidade de energia no sistema MKS ´e o Joule (s´ımbolo J). Em muitos casos, costuma-se exprimir a energia em quilowatt-hora (kWh), sendo

1kWh = 1000W × 3600s = 3 600 000 Ws = 3, 6 × 106 J

Vamos ilustrar a defini¸c˜ao de trabalho com alguns exem- plos. Consideremos como um sistema a bateria e um motor, que movimenta um peso, atrav´es de uma polia. Atrav´es da equa¸c˜ao (1), verifica-se que h´a um fluxo de trabalho do mo- tor para a polia. Ent˜ao, podemos dizer que, quando h´a um fluxo de eletricidade atrav´es de um sistema (fios que ligam a bateria ao motor) h´a um fluxo de trabalho. A unidade de trabalho, no Sistema Internacional, ´e o Joule, onde 1 Joule = 1 N m Outra defini¸c˜ao importante ´e a de calor. E definido como´ sendo a forma de energia transferida, atrav´es da fronteira

de 1 grama de gasolina resulta 48000 joules de energia. A equa¸c˜ao de Einstein nos informa que, nesse caso, deve ter havido uma diminui¸c˜ao (desaparecimento) de massa dada por:

m = E/c^2 = 4, 8. 104 / 9. 1016 = 5, 3. 10 −^13 kg.

Por´em, quando se explode uma bomba de hidrogˆenio a massa que se converte em energia ´e da ordem dos v´arios gramas, e inclusive do quilograma. Nos processos de convers˜ao direta n˜ao temos que nos preocupar com todas essas convers˜oes de massas, por´em devemos assegurar a todo momento de onde vem a energia produzida, por pequena que seja. Por exem- plo, no espa¸co ultraterrestre toda a energia liberada pelos combust´ıveis (inclusive pelos alimentos) deve ser irradiada para o espa¸co porque, do contr´ario, a temperatura do ve´ıculo espacial aumentaria continuamente at´e sua completa fus˜ao. ♦ Em 1842, Julius Mayer j´a havia proposto uma lei geral da conserva¸c˜ao da energia. Este cientista n˜ao tinha feito experiˆencias quantitativas, mas havia observado processos fisiol´ogicos, envolvendo calor e respira¸c˜ao, que o levaram a intuir a conclus˜ao importante a que chegou. Em 1847, Her- mann von Helmholtz lan¸cou a id´eia de que a energia pode mudar v´arias vezes de forma, mas que, nos processos de con- vers˜ao da energia, nada se cria ou se destr´oi, isto ´e, a quanti- dade de energia mant´em-se constante, num sistema isolado. A lei da conserva¸c˜ao da energia ficou, pois, estabelecida em meados do s´eculo 19, tendo-se tornado num “ponto de apoio” fundamental para o progresso cient´ıfico. E importante notar que a energia n˜´ ao pode ser produzida ou consumida. O que ´e poss´ıvel ´e converter formas de ener- gia umas nas outras, de maneira a tirar partido das fontes de energia para efeitos da sua distribui¸c˜ao e utiliza¸c˜ao. As transforma¸c˜oes de energia s˜ao de dois tipos:

1. liberta¸c˜ao de energia armazenada ou, inversamente, armazenagem de energia livre;
2. passagem de uma forma de energia livre para outra. No esquema da Fig. 2, indicam-se as transforma¸c˜oes poss´ıveis de energia livre. E importante referir que, em qual-´ quer transforma¸c˜ao, h´a perdas sob a forma de calor. Por exemplo, numa lˆampada de incandescˆencia, nem toda a elet- ricidade ´e transformada em radia¸c˜ao luminosa; uma parte manifesta-se atrav´es do aquecimento da pr´opria lˆampada.

Fig. 2 Representac¸˜ao das transformac¸˜oes poss´ıveis de energia livre.

A Lei da conserva¸c˜ao da massa e da energia tamb´em recebe a denomina¸c˜ao de Primeira Lei da Termodinˆamica e guarda estreita rela¸c˜ao com a Segunda Lei da Termodinˆamica, a qual tamb´em regula as transforma¸c˜oes energ´eticas. Em vir- tude da Segunda Lei ´e inevit´avel que se perca algo de calor

em toda convers˜ao energ´etica. As duas primeiras leis da Ter- modinˆamica podem ser enunciadas, de um modo coloquial, assim: (1) E imposs´´ ıvel ganhar; e, (2) N˜ao h´a outro rem´edio sen˜ao perder algo.

A.5 Lei de Ohm Os elementos b´asicos dos circuitos el´etricos s˜ao os fios con- dutores, considerados ideais, pois intuitivamente supomos duas coisas: a. Todo o fluxo de carga ou corrente acontece nos fios, e n˜ao existe corrente el´etrica sem um condutor; e, b. Num fio n˜ao existe queda de tens˜ao, ou dissipa¸c˜ao de calor. Um elemento de circuito (resistˆencia, indutˆancia ou ca- pacitˆancia), tem a finalidade de concentrar os fenˆomenos eletromagn´eticos na forma de um circuito, que permitem melhor entendimento dos fenˆomenos e facilitam a sua res- olu¸c˜ao. Chamaremos de resistˆencia el´etrica R, a um el- emento de circuito que tem uma densidade de corrente el´etrica, campo el´etrico dissipativo, e uma condutividade. Agora, consideraremos um fio percorrido por corrente I, com integral de linha do campo el´etrico chamada tens˜ao V. Consideraremos que toda a perda de energia seja con- centrada num elemento de um circuito el´etrico. A rela¸c˜ao matem´atica de proporcionalidade entre a tens˜ao e a corrente nos terminais de um elemento de um circuito ´e denominada resistˆencia el´etrica R:

R =

V

I

No sistema MKS, a unidade de resistˆencia ´e o Ohm (s´ımbolo Ω). Na pr´atica s˜ao comuns os m´ultiplos do Ohm. Nenhuma restri¸c˜ao existe para o valor de R. No in´ıcio do s´eculo XIX, o f´ısico alem˜ao Georg Ohm realizou cuida- dosas experiˆencias com diversos materiais e concluiu que a rela¸c˜ao entre a tens˜ao aplicada a um corpo e a corrente que por ele circula ´e praticamente constante. Esta constata¸c˜ao foi chamada Lei de Ohm. Entretanto, existem elementos n˜ao-lineares ou n˜ao-ˆohmicos, como ´e o caso de dispositivos eletrˆonicos criados justamente para apresentar determinada caracter´ıstica tens˜ao-corrente. Em algumas situa¸c˜oes, costuma-se trabalhar com o rec´ı- proco da resistˆencia, a grandeza denominada condutˆancia, que ´e o inverso da resistˆencia, e simbolizada por G.

G =

R

A unidade de condutˆancia ´e o Siemen (s´ımbolo S).

Exemplo I.9: Qual ´e a f.e.m. induzida numa espira circu- lar com 20cm de raio, onde cada ponto do fio est´a submetido a um campo el´etrico induzido E~M de 4,5 V/m. Solu¸c˜ao: O per´ımetro vale 2 π 0 , 2 = 1 , 256m, e a f.e.m.=4, 5 × 1 , 256 = 5, 655 volts. ♦

A.6 Exerc´ıcios - 1a^ semana P I-A.1: O que ´e Efeito Joule? Qual a equa¸c˜ao para a potˆencia e a energia?

P I-A.2: O que s˜ao campos el´etricos conservativos e n˜ao conservativos?

P I-A.3: Quais s˜ao as unidades de resistˆencia, diferen¸ca de potencial e intensidade de corrente? Como elas se relacionam com as grandezas da mecˆanica?

P I-A.4: Fazer a analogia entre circuitos el´etricos e hi- dr´aulicos, citando as grandezas fundamentais de potencial e fluxo.

P I-A.5: Utilizando os dados dispon´ıveis em tabelas, cal- cule a resistˆencia de 1 m de um fio de ferro envolto com alum´ınio, se o diˆametro do n´ucleo de ferro ´e 0.25 pol e o diˆametro externo ´e 0.50 pol. Se o condutor transporta uma corrente cont´ınua de 50 A, determine a potˆencia dissipada por polegada quadrada de superf´ıcie do condutor externo.

P I-A.6: O elemento de aquecimento de uma certa tor- radeira el´etrica consiste de uma tira de certa qualidade de Nicromo, cujo comprimento ´e 1.5 m e a se¸c˜ao reta mede 0. m por 0.8 mm, com uma resistividade de 1.1E-4Ω.cm. En- contre a corrente que circula no elemento quando ligamos entre os seus terminais, uma fonte de 120 Vcc. Determine tamb´em a potˆencia dissipada.

P I-A.7: Em uma casa, abastecida com tens˜ao de 110 V, seus moradores utilizam um chuveiro com duas temperat- uras: inverno e ver˜ao. Quando a chave est´a acionada, o chuveiro trabalha com 5600 W. No ver˜ao, opera com 3000 W. Qual ´e a diferen¸ca de resistˆencia entre as duas faixas de temperatura? (R: 1,873 Ω)

P I-A.8: Um chuveiro el´etrico possui trˆes op¸c˜oes de con- figura¸c˜ao: quente, morno e desligado. Na op¸c˜ao A, o aquec- imento d’´agua se d´a por meio de uma resistˆencia de se¸c˜ao 1 mm^2 e comprimento de 2 m. Na op¸c˜ao B utiliza-se a mesma se¸c˜ao, por´em com 1 m de comprimento. Considerando a re- sistividade de 1 Ω mm^2 /m, pergunta-se: a) Qual a resistˆencia el´etrica do chuveiro nas trˆes configura¸c˜oes? (R: 1 Ω e 2 Ω e infinito (circuito aberto). b) Qual a potˆencia de cada op¸c˜ao, sabendo que o chuveiro est´a ligado em 110 V? (R:12100 W e 6050 W).

P I-A.9: Um chuveiro el´etrico aquece insuficientemente a ´agua. Como corrigir isto?

P I-A.10: Qual ´e a resistˆencia de uma lˆampada em cujo bulbo se lˆe 60 W - 110 V?

P I-A.11: Por que as linhas de transmiss˜ao de energia a longas distˆancias operam sob altas tens˜oes?

P I-A.12: Um chuveiro el´etrico submetido `a tens˜ao con- stante, pode ser regulado para fornecer ´agua a maior ou menor temperatura (inverno e ver˜ao respectivamente). A re- sistˆencia el´etrica do chuveiro ´e maior quando se deseja ´agua mais aquecida (inverno)? Por que?

P I-A.13: Eletricidade est´atica pode ser transformada em corrente direta?

P I-A.14: Um chuveiro el´etrico foi constru´ıdo para operar sob a tens˜ao de 110 V. Para oper´a-lo a uma tens˜ao de 220 V , sem modificar a potˆencia de aquecimento, de quanto deve-se alterar a sua resistˆencia?

P I-A.15: Suponhamos que se necessita construir uma re- sistˆencia el´etrica de 500 ohm com um condutor de compri- mento 100 m. Qual o valor da queda de tens˜ao em cada espira, sabendo-se que a corrente total ´e 2 A e que cada espira possui 1 cm de diˆametro?

P I-A.16: Ao realizar um experimento em laborat´orio, um

estudante submeteu um resistor a diversas diferen¸cas de po- tencial V , e para cada caso mediu a corrente el´etrica i. Com esses dados tra¸cou um gr´afico de V em fun¸c˜ao de i, onde os pontos lidos foram: Qual a resistˆencia el´etrica desse resistor? V(Volt) i(Ampere) 5 0, 10 0, 20 0, 30 0,

P I-A.17: A quando por uma resistˆencia passa uma cor- rente el´etrica, o choque entre os el´etrons provoca calor. E o´ que faz a resistˆencia esquentar. Esse fenˆomeno ´e chamado de...

P I-A.18: Quantos el´etrons livres tˆem numa superf´ıcie de 1m^2 , quando a densidade de carga superficial vale 5μC/m^2?

B. Corrente = fluxo de carga nos condutores Caro leitor, ap´os vermos as fronteiras do eletromag- netismo, chegou o momento de entender melhor como fun- cionam os equipamentos e os sistemas eletromagn´eticos; quais s˜ao as principais leis que representam os seus fenˆome- nos; e, conhecer as t´ecnicas b´asicas para projeto e an´alise. De vez em quando ouve-se algu´em dizer: “... tal disciplina ´e um monte de f´ormulas que n˜ao entendo nada”. Dir´ıamos que ´e uma pena termos chegado a tal situa¸c˜ao. Veremos que n˜ao deveria ter acontecido assim, mas que este problema tem causas bem definidas, que descobriremos durante este curso.

B.1 A nota¸c˜ao vetorial Veremos agora como representa-se um potencial na forma matem´atica. Mas, para fazer isto precisamos primeiro consolidar a nota¸c˜ao vetorial, e os conceitos de gra- diente e circula¸c˜ao. O ponto chave de todo o eletro- magnetismo ´e ter capacidade de distinguir os campos escalares e vetoriais. Precisamos distinguir V e I, E~C e J^ ~, E~D e D~, e H~ e B~. Eles podem ser basicamente de dois tipos: campos escalares (com seu vetor gradiente) ou vetores densidade de fluxo (e seu fluxo). Os “limites” ou “leis” do Eletromagnetismo est˜ao rela- cionados com a linguagem ou vari´aveis adotadas ao longo dos ´ultimos s´eculos. Antes de iniciar nosso estudo, vamos questionar: ´e poss´ıvel estudar eletromagnetismo sem usar vetores? Na esteira dos grandes descobrimentos cient´ıficos est˜ao os algarismos indo-ar´abicos, que substitu´ıram os algarismos ro- manos, por volta do s´eculo XVI. A vit´oria do sistema indo- ar´abico foi t˜ao gradativa, que n˜ao se pode cita-la como ocor- rida numa d´ecada qualquer, ou mesmo na mais longa das vidas. O processo ´e t˜ao lento, que ainda hoje temos nossos n´umeros decimais expressos com v´ırgula, enquanto o sinal anglo-americano ´e um ponto. O processo de universaliza¸c˜ao dos s´ımbolos das opera¸c˜oes matem´aticas, iniciado na Idade M´edia, ainda est´a incompleto. Os algarismos indo-ar´abicos e os s´ımbolos de opera¸c˜oes (+, -, x e /) equiparam os eu- ropeus para a manipula¸c˜ao eficiente dos n´umeros, e abriram as portas para outros avan¸cos, como por exemplo a nota¸c˜ao alg´ebrica. No in´ıcio do s´eculo XIII, Leonardo Fibonacci, num dado momento, usou uma letra em vez de um n´umero em sua ´algebra, mas deixou a inova¸c˜ao por a´ı. Um contemporˆaneo dele, Jordanus Nemorarius, usou com mais freq¨uˆencia as le- tras como s´ımbolos de valores conhecidos e inc´ognitas, mas n˜ao dispunha de nenhum sinal de opera¸c˜ao para o mais, o

6 z

@@R

rc

^1

φ

^1

φ

θ^ rs AAU

HH

Fig. 3 Sistemas de coordenadas cil´ındricas e esf´ericas

TABELA II Transformac¸˜ao de coordenadas

Cartesiana Cil´ındria Esf´erica x = x rc =

x^2 + y^2 rs =

x^2 + y^2 + z^2 y = y φ = tan−^1 yx θ = cos−^1 rzs z = z z = z φ = tan−^1 yx x = rc cos φ rc = rc rs =

r c^2 + z^2 y = rcsen φ φ = φ θ = tan−^1 r zc z = z z = z φ = φ x = rssen θ cos φ rc = rssen θ rs = rs y = rssen θsen φ φ = φ θ = θ z = rs cos θ z = rs cos θ φ = φ

para: (a) Coordenadas cil´ındricas e determine-o no ponto P (2, − 5 , 3); (b) Coordenadas esf´ericas e determine-o no ponto P. Solu¸c˜ao: Como o produto escalar entre dois vetores unit´arios de qualquer sistema de coordenadas ´e a proje¸c˜ao de um sobre o outro, para realizar a mudan¸ca dos vetores unit´arios de dois sistemas de coordenadas, realizamos os pro- dutos escalares dos vetores unit´arios, que est˜ao resumidos na tabela IV. Em coordenadas cil´ındricas:

A^ ~ = ( A~ · ~urc)~urc + ( A~ · ~uφ)~uφ

A^ ~ = xsen φ~urc + x cos φ~uφ

A^ ~ = rcsen φ cos φ~urc + rc cos^2 φ~uφ

TABELA III Deslocamentos, ´areas e volumes infinitesimais.

Cartesiana Cil´ındria Esf´erica d~` dx~i+ drc~urc + drs~urs + dy~j+ rcdφ~uφ rsdθ~uθ + dz~k +dz~k rssen θdφ~uφ dS~ dxdy~k+ rcdrcdφ~k rsdθdrs~uφ+ dydz~i+ rcdφdz~urc r s^2 sen θdθdφ~urs dzdx~j +dzdrc~uφ +rssen θdrsdφ~uθ dv dxdydz rcdrcdφdz r^2 s sen θdθdφdrs

TABELA IV Produto escalar de vetores unit´arios.

~urc ~uφ ~uz ~i cos φ −sen φ 0 ~j sen φ cos φ 0 ~k 0 0 1

~urs ~uθ ~uφ ~i sen θ cos φ cos θ cos φ −sen φ ~j sen θsen φ cos θsen φ cos φ ~k cos θ −sen θ 0

Em coordenadas esf´ericas:

A^ ~ = ( A~ · ~urs)~urs + ( A~ · ~uθ )~uθ + ( A~ · ~uφ)~uφ

A^ ~ = rssen 2 θsen φ cos φ~urs +rssen θ cos θsen φ cos φ~uθ +rssen θ cos^2 φ~uφ Agora, resta substituir as coordenadas do ponto P. ♦

Exemplo I.12: Prova da integra¸c˜ao - Demonstrar a equa¸c˜ao do volume de uma esfera de raio R. Solu¸c˜ao: Em coordenadas esf´ericas, o volume infinitesimal ´e dv = dr r dθ r sen θ dφ e a integral em dv vale

V =

∫ (^) θ 2 =π

θ 1 =

∫ (^) φ 2 =2π

φ 1 =

∫ (^) r 2 =R

r 1 =

r^2 sen θ dφ dr dθ

V =

πR^3

Observa¸c˜ao: se tivermos d´uvidas sobre os limites de inte- gra¸c˜ao, podemos calcular o volume, a ´area ou o comprimento da figura cuja resposta j´a seja conhecida. ♦ ** Opera¸c˜oes com vetores V´arias quantidades f´ısicas, tais como temperatura, vol- ume, e acelera¸c˜ao podem ser especificados por um n´umero real. Tais quantidades s˜ao chamadas de escalares.

• Vari´avel escalar: expressa uma quantidade f´ısica (intensi- dade, n´umero real), representado por um n´umero. Exemplo: Tens˜ao, massa, tempo, temperatura
• Campo escalar: cada ponto da regi˜ao corresponde a um escalar. ex: campo de temperaturas - T (x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 , de press˜oes, de potenciais - V (r, φ) = 30r cos φ... Outras quantidades, tais como a for¸ca, a velocidade, e o momento, requerem para suas especifica¸c˜oes tanto uma dire¸c˜ao e sentido como uma grandeza. Tais quantidades s˜ao chamadas de vetores.
• Grandeza vetorial ou simplesmente: vetor - expressa uma quantidade f´ısica (intensidade e dire¸c˜ao - cada dire¸c˜ao tem dois sentidos). Vamos representar um vetor por uma seta sobre uma letra. Ex: Deslocamento, for¸ca, velocidade e acel- era¸c˜ao. d~ = 40~i + 30~j.
• Campo vetorial: para cada ponto (x, y, z) corresponde a um vetor. V~ = xy~i + x^2 ~j Um vetor A~ pode ser representado matematicamente em fun¸c˜ao dos vetores unit´arios de seu sis- tema de coordenadas. Se ~i, ~j, e ~k s˜ao vetores unit´arios na dire¸c˜ao dos eixos positivos x, y e z, ent˜ao

A^ ~ = Ax~i + Ay~j + Az~k

onde Ax, Ay e Az s˜ao chamados componentes do vetor A~. M´odulo de um vetor A~ - escreve-se | A~| ou simplesmente A. A equa¸c˜ao do m´odulo ´e

| A~| =

A^2 x + A^2 y + A^2 z

Vetor unit´ario de A~ -

~uA =

A~

| A~|

O problema de encontrar a componente de um vetor em uma dire¸c˜ao desejada, transforma-se no problema de encontrar o vetor unit´ario naquela dire¸c˜ao.

Produtos escalar e vetorial entre dois vetores Estas duas opera¸c˜oes com vetores s˜ao muito usadas no eletromagnetismo, pois est˜ao presentes em todas as equa¸c˜oes de Maxwell. Sejam dois vetores A~ = A 1 ~i + A 2 ~j + A 3 ~k e B~ = B 1 ~i + B 2 ~j + B 3 ~k, defasados de um ˆangulo θ, tem-se: Produto escalar - est´a associado ao movimento de transla¸c˜ao, isto ´e, quanto um vetor contribui com o outro para modificar o seu m´odulo. O produto escalar ´e utilizado para calcular o fluxo de um vetor, ou o trabalho realizado por uma for¸ca ao longo de um percurso. O resultado ´e um escalar, que vale zero quando os vetores s˜ao ortogonais.

A^ ~ · B~ = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = | A~| | B~| cos θ (3) Produto vetorial - est´a associado ao movimento de rota¸c˜ao, isto ´e, quanto um vetor contribui com o outro para modificar o seu ˆangulo. O produto vetorial ´e usado para calcular um momento angular. O resultado ´e um vetor or- togonal ao plano formado pelos dois vetores que est˜ao sendo multiplicados. Quando os dois vetores s˜ao paralelos, o resul- tado ´e o vetor nulo.

A^ ~ × B~ =

~i ~j ~k A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

= | A~| | B~|sen θ~u (4)

onde ~u ´e um vetor ortogonal ao plano formado por A~ e B~, e sentido dado pela regra da m˜ao direita (ou do parafuso), de A^ ~ e B~. O conjugado, momento ou torque de giro de uma for¸ca em rela¸c˜ao a um determinado ponto ´e o produto vetorial do bra¸co potente pela for¸ca. O bra¸co potente ~r ´e dirigido do ponto onde o torque ´e obtido ao ponto de aplica¸c˜ao da for¸ca (ver Fig. 4). Assim M^ ~ = ~r × F~

onde: M^ ~ - vetor momento, conjugado ou torque. E conveniente´ lembrar que o momento possui a unidade Nm; ~r - vetor do bra¸co de alavanca; e, F^ ~ - for¸ca aplicada.

Exemplo I.13: Qual o trabalho realizado por uma for¸ca de 20 Newton na dire¸c˜ao 45o^ Nordeste, que movimenta um corpo por 0,3 metros na dire¸c˜ao Oeste para Leste? Solu¸c˜ao: W = 20 × 0 , 3 × cos 45o^ = 4, 24J, ou

W = F~ · δ~` = 20(cos 45~i + sen 45~j) ·~(0, 3 ~i)

W = 20 × 0 , 3(cos 45~i ·~i + sen 45~j ·~i = 4, 24) J. ♦

B

B

B

B

B

B

B

BMB

M^ ~

~r (^) :

F^ ~

B

B

B

B

Fig. 4 Momento como um produto vetorial.

Exemplo I.14: Usando a propriedade distributiva, e os produtos escalares e vetoriais entre os vetores unit´arios, efe- tuar os produtos escalar e vetorial entre os dois vetores A^ ~ = 3~i + 4~j − 1 ~k e B~ = 5~i − 2 ~j + 1~k. Respostas: A~ · B~ = 6 e A~ × B~ = 6~i − 8 ~j − 26 ~k unidades. ♦

Exemplo I.15: Usando coordenadas cartesianas, demon- strar que A~ · B~ × C~ = C~ · A~ × B~

............ ♦

Exemplo I.16: Demonstrar que A~ × ( B~ + C~) = A~ × B~ + A^ ~ × C~. Solu¸c˜ao: Em primeiro lugar, denomina-se D~ ao vetor:

D^ ~ = A~ × ( B~ + C~) − A~ × B~ − A~ × C~

e, em segundo lugar, toma-se um vetor qualquer E~, e faz-se o produto escalar com D~:

E^ ~ · D~ = E~ · [ A~ × ( B~ + C~) − A~ × B~ − A~ × C~]

E^ ~ · D~ = E~ · A~ × ( B~ + C~) − E~ · A~ × B~ − E~ · A~ × C~

E~ · D~ = ( B~ + C~) · E~ × A~ − B~ · E~ × A~ − C~ · E~ × A~ E~ · D~ = B~ · E~ × A~ + C~ · E~ × A~ − B~ · E~ × A~ − C~ · E~ × A~ = 0 Este resultado mostra que para qualquer vetor E~ o resultado ´e zero, demonstrando a igualdade. ♦

Exemplo I.17: Dado o vetor E~ = (7/rc)~urc V/m, em co- ordenadas cil´ındricas, determinar E~ em coordenadas carte- sianas. Solu¸c˜ao: As componentes de E~ s˜ao

Ex = ~i · E~ = ~i ·

rc

~urc =

7 cos φ rc

Ey = ~j · E~ = ~j ·

rc

~urc = 7sen φ rc

Ez = ~k · E~ = ~k ·

rc ~urc = 0

Substituindo os termos em φ e rc

Ex =

7 x x^2 + y^2

Ey = 7 y x^2 + y^2

E^ ~ =^7 x~i^ + 7y~j x^2 + y^2

V/m.♦

mente, S 1 pode ser escrita sob a forma:

w = g(u, v)

e o vetor normal `a superf´ıcie ´e:

S^ ~ = u~uu + v~uv + g(u, v)~uu × ~uv

e, consequentemente, para uma superf´ıcie orientada da origem para o infinito:

φ =

S 2

F^ ~ ·

∂w ∂u

~uu − ∂w ∂v

~uv + ~uu × ~uv

du dv (6)

Observa¸c˜ao: As vari´aveis u, v e w precisam ser escolhidas de forma que S 1 nunca seja ortogonal a S 2.

Exemplo I.18: Determinar o fluxo de F~ = x~i − z~j + 3~k na superf´ıcie plana 3x + 4y − 2 z = 15, delimitada no octante positivo para x, y e z. Solu¸c˜ao: Observando a Fig. 7, verificamos que podemos substituir as vari´aveis u = x, v = y e w = z em (6), tornando- se:

φ =

y

x

F^ ~ ·

∂z ∂x

~i − ∂z ∂y

~j + ~k

dx dy

Substituindo F~ e as derivadas parciais tem-se:

φ =

y

x

[x~i−(1, 5 x+2y − 7 , 5)~j +3~k]·(− 1 , 5 ~i− 2 ~j +~k) dx dy

φ =

0

∫ (^) (15− 4 y)/ 3

0

(1, 5 x + 4y − 12)dx dy

φ =

0

(− 41 , 25 − 6 y − 4 y^2 )dy = − 128 , 4375

Esta integral tamb´em pode ser feita numericamente, na seguinte seq¨uˆencia:

1. Separar S 1 em diversos triˆangulos;
2. Calular o vetor de ´area δ S~ de cada triˆangulo;
3. Calular o baricentro de cada triˆangulo;
4. Calcular os valores de F~ nos baricentros;
5. Fazer o produto escalar φi = F~ · δ S~ em todos triˆangulos;
6. Somar o somat´orio de todos os fluxos φ =

i φi. O resultado num´erico encontrado para este exemplo, com o programa............ , ´e............ ♦

Fig. 7 Exemplo de c´alculo de ´area.

Exemplo I.19: Qual ´e o fluxo do vetor F~ = x~i + y~j + z~k em uma esfera de raio R? Resposta: O vetor F~ pode ser escrito em coordenadas esf´ericas F~ = R~er e o vetor de ´area infinitesimal dS~ ´e

dS^ ~ = R^2 sinθdθdφ~er

A integral de ´area torna-se ∫ F^ ~ · dS~ = 4πR^3 ♦

B.3 Densidade de corrente el´etrica Quando a corrente se distribui uniformemente numa su- perf´ıcie, a densidade de corrente J~ ´e:

densidade de corrente = corrente ´area

Quando a corrente n˜ao se distribui uniformemente na sec¸c˜ao transversal do condutor, tem-se:

I =

J^ ~ · dS~

onde: ~S - vetor normal (ou ortogonal unit´ario) `a superf´ıcie S S~ = S~n I - intensidade de corrente el´etrica que tem dire¸c˜ao ortogonal ao plano formado pela se¸c˜ao transversal S.

Exemplo I.20: Calcular a corrente de um fio circular de 4 mm^2 , se a densidade de corrente ´e J = 10 A/mm^2 ♦.

Exemplo I.21: Realizar um trabalho de pesquisa para ve- rificar quais s˜ao as densidades de corrente usuais em trans- formadores, motores el´etricos, instala¸c˜oes el´etricas, redes el´etricas, linhas telefˆonicas,... Veremos que a densidade de corrente ´e uma grandeza fundamental para o projeto el´etrico. ♦ Tamb´em podemos demonstrar que

J vol^ ~ = Q ~v

onde Q ´e a carga deslocada com velocidade ~v num condutor.

B.4 Continuidade do fluxo Este ´e, certamente, o mais simples e mais importante princ´ıpio do Eletromagnetismo: a continuidade do fluxo. Imaginemos uma tubula¸c˜ao com fluxo de determinado flu´ıdo. Se um fluxo φ atravessa uma superf´ıcie S 1 , ent˜ao o mesmo fluxo φ atravessa uma superf´ıcie S 2. O que muda ´e a densidade de fluxo D~.

φ =

D^ ~ 1 · dS~ 1 =

D^ ~ 2 · dS~ 2

Para uma se¸c˜ao S 1 infinitesimal dydz, que est´a afastada de outra se¸c˜ao S 2 infinitesimal de uma distˆancia dx, podemos escrever: D 2 = D 1 + ∂ Dx ∂ x

dx

assim ficamos com

φ = D 1 dy dz = D 1 dy dz +

∂ Dx ∂ x

dx dy dz

e, simplificando os termos em D 1 :

∂ D ∂ x

dx dy dz = 0 (8)

Agora, fazendo um racioc´ınio an´alogo, considerando as dire¸c˜oes x e y temos

∂ Dx ∂ x

∂ Dy ∂ y

Que significa o Divergente nulo do vetor densidade de fluxo.

B.5 Exerc´ıcios - 2a^ semana

P I-B.1: Quais s˜ao as principais formas para representa- ¸c˜ao de um vetor? Citar algum(ns) motivo(s) para trabalhar com vetores no eletromagnetismo. Por que utilizamos sis- temas de coordenadas cil´ındricas e esf´ericas?

P I-B.2: Quais s˜ao os vetores de ´area e suas normais para cada face de um cubo centrado na origem com 20cm de lado? P I-B.3: Determine as coordenadas do ponto P da reta y = 3x + 1 eq¨uidistante dos pontos (0,0) e (-3,4). Resposta: P =(17/18, 23/6).

P I-B.4: Determine a constante c de modo que a reta que passa por (0,3) e (5,-2) seja tangente `a curva y = c/(x + 1). Resposta: c = 4.

P I-B.5: Calcule d^2 y/dx^2 para y^3 + y = x no ponto (2,1). Resposta: -3/32.

P I-B.6: Uma part´ıcula se move ao longo da circunferˆencia x^2 + y^2 = 1 com uma velocidade cuja componente-x ´e dx/dt = y. Calcule dy/dt. A trajet´oria da part´ıcula segue o sentido hor´ario ou anti-hor´ario? Resposta: dy/dt = −x. Sentido hor´ario.

P I-B.7: A luz girat´oria de um farol distante 1/2km da praia faz duas revolu¸c˜oes por minuto. Se a costa ´e uma reta, com que velocidade o raio luminoso passa na praia no ponto distante 1km do farol? Resposta: 480π km/h.

P I-B.8: Gira-se em torno do eixo-x a ´area delimitada pela curva y^2 = 4x e pela reta y = x. Calcule o volume gerado. Resposta: 32π/3.

P I-B.9: Uma part´ıcula de massa m parte do repouso no instante t = 0, movendo-se com acelera¸c˜ao constante, a, de x = 0 a x = h, contra uma for¸ca vari´avel F (t) = t^2. Deter- mine o trabalho realizado. Resposta: mah + (h^2 /a)

P I-B.10: Calcular a ´area delimitada pela par´abola y = 2 − x^2 e pela reta y = −x. Resposta: 4,5.

P I-B.11: Use a regra do trap´ezio para determinar a dis- tˆancia percorrida entre t = 0 e t = 2 por um m´ovel cuja velocidade ´e dada pela tabela abaixo. Determine tamb´em a velocidade m´edia no intervalo de tempo de t = 0 a t = 2. Respostas: 6,45m e 3,22m/s. v(m/s) 2,2 2,5 3,0 3,8 5, t(s) 0 0,5 1,0 1,5 2,

P I-B.12: Dados os vetores A~ = − 6 ~i + 2~j − 4 ~k e B~ = 4 ~i + 3~j − 2 ~k, ache: (a) Um vetor unit´ario na dire¸c˜ao de A^ ~ + 2 B~; (b) O m´odulo de A~ + 2 B~; (c) Um vetor C~ tal que A^ ~ + B~ + C~ = 0.

P I-B.13: Os vetores A~ = 4~i + 5~j − 2 ~k e B = 2~i + 8~j + 3~k possuem origens coincidentes com a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Determine: (a) a distˆancia entre as suas extremidades; (b) um vetor unit´ario na dire¸c˜ao de A^ ~; (c) um vetor C~ que seja paralelo ao vetor A~ e que possua m´odulo igual ao do vetor B~.

P I-B.14: Determine as componentes de um vetor B~ tal que | B~| = 2 e ~uB = 0, 5 ~i − 0 , 4 ~j + n~k, sendo n um escalar positivo. (b) Se C~ = 8~i − 3 ~j + Cz~k, determine Cz de tal modo que |C −~i − ~j − ~k| seja m´ınimo.

P I-B.15: Sendo A~ = − 2 ~i + 3~j + 5~k, B~ = ~i + 3~j − 4 ~k e C^ ~ = 4~i − 2 ~j +~k, determine: (a) o m´odulo de A~ + 3 B~, (b) um vetor unit´ario na dire¸c˜ao de B~ − C~, (c) A componente de C~ na dire¸c˜ao do vetor B~; (d) o ˆangulo entre A~ e C~.

P I-B.16: Os trˆes pontos

A(− 1 , 6 , 2), B(2, 4 , −3) e C(4, 1 , −5)

definem um plano e um triˆangulo. Sabendo-se que um triˆan- gulo ´e a metade de um paralelogramo, pede-se, determinar: (a) a ´area do triˆangulo; (b) um vetor unit´ario normal ao plano.

P I-B.17: Sejam os vetores que interligam a origem aos pontos A(4, 7 , −5) e B(2, − 3 , 6). Estes dois vetores deter- minam dois lados de um paralelogramo. (a) Especifique as coordenadas do ponto C coincidente com o quarto v´ertice. (b) Determine a ´area do paralelogramo. (c) Ache os quatro ˆangulos internos.

P I-B.18: No ponto C(2, 300 , 5) um vetor A~ ´e expresso em coordenadas cil´ındricas, como sendo 20~urc − 30 ~uφ + 10~k. Determine: (a) | A~| no ponto C; (b) a distˆancia da origem ao ponto C; (c) o ˆangulo entre A e a superf´ıcie rc = 2 no ponto C.

P I-B.19: Em um certo ponto dois vetores s˜ao dados, em coordenadas cil´ındricas, por: M~ = 5~urc − 8 ~uφ + 3~k e N~ = − 4 ~urc + 2~uφ + 10~k. Determine: (a) M~ · N~ ; (b) a componente escalar de M~ na dire¸c˜ao de N~ ; (c) a componente vetorial de M^ ~ na dire¸c˜ao de N~ ; (d) M~ × N~ ; (e) um vetor unit´ario normal a M~ e a N~.

P I-B.20: Sejam os pontos P (8, 2 , 1) e Q(− 2 , 7 , 4) expres- sos em coordenadas cartesianas. Determine: (a) as coorde- nadas cil´ındricas de cada ponto; (b) a express˜ao de um vetor no ponto P , em coordenadas cil´ındricas, sabendo que tal ve- tor une o ponto P ao ponto Q; (c) idem para um vetor no ponto Q, sabendo que tal vetor une o ponto Q ao ponto P.

P I-B.21: Dados os pontos P (4, 7 , 3) e Q(− 3 , 6 , −5), de- termine: (a) as coordenadas cil´ındricas do ponto P ; (b) as coordenadas esf´ericas do ponto P ; (c)o vetor R~P Q em coor- denadas cil´ındricas, no ponto P.

P I-B.22: O campo de velocidades em um g´as ´e dado por

~v = 5

x~i + y~j + z~k x^2 + y^2 + z^2 + 2 Para o ponto P (− 2 , 3 , 1), determine: (a) o m´odulo da ve- locidade; (b) um vetor unit´ario especificando sua dire¸c˜ao; e, (c) determine a equa¸c˜ao do lugar geom´etrico dos pontos do espa¸co para os quais a velocidade tem m´odulo unit´ario.

Fig. 8 Temperatura T ´e um exemplo de um campo escalar. Em cada ponto (x, y, z) do espac¸o est´a associado um n´umero T (x, y, z). Todos os pontos sobre a superf´ıcie marcada (mostrada como uma curva em z = 0) possuem a mesma temperatura. As setas s˜ao exemplos de vetores gradientes de temperatura ~q = −∇~T. Se a temperatura no bloco ´e alta em um local e baixa em outro, ent˜ao haver´a um gradiente de temperatura dos locais mais quentes para os mais frios.

ou geom´etrico. ´E apenas um operador e precisa de alguma fun¸c˜ao para ter sentido. A Fig. 9 procura dar uma no¸c˜ao gr´afica do gradiente. As duas superf´ıcies representam lugares geom´etricos da fun¸c˜ao f constante, ou seja f (x, y.z) = C 1 e f (x, y, z) = C 2. Se as diferen¸cas s˜ao pequenas, temos C 2 − C 1 = df. A distˆancia entre as duas superf´ıcies em determinado ponto dn, tomada ao longo da reta normal comum as duas superf´ıcies. ~uN ´e um vetor unit´ario nesse ponto e normalas superf´ıcies. Ent˜ao o gradiente de f pode ser dado tamb´em por:

grad f = ~uN

df dn

Fig. 9 Gradiente entre duas superf´ıcies equipotenciais.

O vetor gradiente indica a m´axima varia¸c˜ao da fun¸c˜ao e o sentido que essa varia¸c˜ao tem. Coordenadas cartesianas:

∇^ ~f = ∂f ∂x

~i + ∂f ∂y

~j + ∂f ∂z

~k (10)

Coordenadas cil´ındricas:

∇^ ~f = ∂f ∂r

~ur +

r

∂f ∂φ

~uφ +

∂f ∂z

~k (11)

Coordenadas esf´ericas:

∇^ ~f = ∂f ∂r ~ur^ +^

1 r

∂f ∂θ ~uθ

• (^) rsen^1 θ∂f∂φ ~uφ

C.2 Circula¸c˜ao de um vetor Numa regi˜ao do espa¸co, consideremos uma linha fechada C dividida em um grande n´umero N de segmentos (elementos de comprimento) ∆K (K = 1, 2 , ...N ), pequenos o suficiente para que, sobre cada um deles, o campo vetorial possa ser considerado constante. A cada elemento de comprimento ∆~K associamos um vetor ∆ E~K. A grandeza:

∆VK = ∆ E~K · ∆~`K

∆VK = ∆EK ∆K cos θ onde θ ´e o ˆangulo entre ~K e E~K. O somat´orio sobre K se estende de 1 a N , e ´e chamada integral de linha do campo vetorial E~ ao longo da linha C. Denomina-se circula¸c˜ao quando se aplica essa equa¸c˜ao a uma linha fechada. No segundo grau, existe uma dificuldade enorme para entender o fluxo de um vetor, e muito mais para a circula¸c˜ao. Vejamos um coment´ario sobre circula¸c˜ao: “Pois ´e, quando ensinam Eletromagnetismo no 2o^ grau, para ensinar a Lei de Amp`ere, inventam uma papagaiada de tal de circula¸c˜ao de um vetor, que n˜ao existe, s´o para fugir dos conceitos do C´alculo Integral. Com isso, conseguem mais fundir a cuca dos alunos e fazer com que estes sintam pavor do Eletromagnetismo.” Nossa resposta poderia ser assim? “Ensinar a lei de Amp´ere no 2o^ grau tem importˆancia te´orica.Baseando-se nesta lei,verificamos o comportamento do campo magn´etico para v´arias distribui¸c˜oes de corrente, geralmente quando h´a simetria nesta distribui¸c˜ao. A im- portˆancia da lei de Amp´ere no 2o^ grau ´e unicamente te´orica, pois um entendimento matem´atico da lei requer conceitos de c´alculo integral e vetorial.”

... ou assim? “N˜ao ´e completa, mas pelo menos ´e a ´unica que rela- cionou a Lei de Amp`ere com o C´alculo Integral Vetorial. Ali´as, eu acho que se ´e para ensinar alguma coisa ‘meia- boca’ ´e melhor que n˜ao se ensine at´e que se tenha a base necess´aria.” Alguns textos eletromagn´eticos apresentam o “desloca- mento el´etrico” D~ e a “campo magn´etico” H~ que con- tam para materiais diel´etricos e magn´eticos respectivamente, como dois campos “auxiliares” adicionais. Entretanto, na en- genharia, estes campos s˜ao fundamentais e necess´arios para a maioria dos t´opicos que iremos tratar. Ent˜ao n´os os estu- daremos tanto quanto for poss´ıvel, para evitar poss´ıveis con- fus˜oes. Portanto, precisamos ter muito cuidado e aten¸c˜ao na leitura de livros, artigos e textos t´ecnicos em geral, para com- preender o que os autores est˜ao tratando: se ´e sobre campo ou densidade de fluxo. Ao mesmo tempo, observamos que a rela¸c˜ao entre os campos H~ e os fluxos B~ ´e a permeabilidade, fazer a confus˜ao entre estes vetores ´e como trocar corrente e tens˜ao num circuito. Como: a) estas quest˜oes e este assunto n˜ao ´e exclusivo do eletromagnetismo; b) veremos suas aplica¸c˜oes ao longo do curso; c) existem diversas formas de estudar e entender

este assunto (que variam de uma pessoa para outra); e, d) nosso tempo ´e limitado em sala de aula, n˜ao podemos nos deter unicamente neste ponto. Mas, deixamos a dica para o leitor estudar os exemplos e fazer os exerc´ıcios sobre vetores, basicamente dos livros Anton^2 e Thomas^3. Aqui n´os devemos parar e pensar um pouco! Temos em m˜aos uma ferramenta poderos´ıssima! Foram necess´a- rios milhares de pensadores, fil´osofos, matem´aticos, f´ısicos

... engenheiros, at´e chegar ao eletromagnetismo atual. Cer- tamente, ´e uma grande conquista da humanidade!

C.3 Forma local da Lei de Ohm

A equa¸c˜ao mais simples dos circuitos el´etricos, V = R I somente existir´a ap´os admitirmos a existˆencia do campo el´etrico n˜ao conservativo. Veremos tamb´em que a circula¸c˜ao de um campo conservativo eletrost´atico E~D ao longo de um percurso fechado ´e nula. Admitiremos, ent˜ao, que o campo el´etrico total seja a soma do campo eletrost´atico con- servativo E~D , do campo dissipativo E~C , e de outro campo n˜ao conservativo tipo fonte E~M , que pode ser uma bate- ria, um gerador, etc. Agora, trataremos apenas do campo el´etrico dissipativo no interior do condutor ou campo el´etrico n˜ao conservativo. Consideremos um fio condutor percorrido por uma cor- rente el´etrica, que aquece-se e libera uma certa quantidade de calor e/ou eleve a sua temperatura. Para sustentar esta condi¸c˜ao, precisamos de uma fonte de energia em cada ponto do fio condutor. A quantidade de energia deve ser originada por uma for¸ca el´etrica n˜ao conservativa.

P =

E^ ~C · J dvol~

pois a potˆencia dissipada ´e:

E^ ~C · J dvol~ = E~C · ~v Q = F~ · ~v

Como E~C ´e dado em V/m e J~ em A/m^2 , o valor de P ´e dado em Watts. Na forma local escreve-se simplesmente:

J^ ~ = σ E~C (13)

onde σ ´e a condutividade el´etrica, em (Ωm)−^1 ; e, E~C ´e o campo el´etrico dissipativo. Suponhamos a existˆencia de um la¸co fechado de corrente e a presen¸ca de um fio condutor de comprimento L e se¸c˜ao transversal S. A lei de Ohm diz que

E^ ~C =^1

σ

J~ = R S

L

J~

onde σ ´e a condutividade el´etrica, em (Ωm)−^1. Assim, cheg- amos na segunda Lei de Ohm:

R =

σ

L

S

Exemplo I.22: Considerando um resistor de fio com resis- tividade ρ = 1/σ, comprimento `, se¸c˜ao A, e resistˆencia R, demonstrar a lei de Ohm sob a forma local, quando ele ´e percorrido pela corrente I, e possui uma tens˜ao ou d.d.p. V nos seus terminais.

(^2) Howard Anton, it C´alculo: um novo horizonte, vol.2, Ed. Bookman. (^3) George B. Thomas, C´alculo, Livro T´ecnico, Rio de Janeiro, 1965.

Solu¸c˜ao: Partindo da lei de Ohm

R =

V

I

= ρ

`

A

e, considerando que V = E ` e I = J A, encontra-se

E ` J A

= ρ

`

A

que simplificando os termos ` e A resulta:

ρ =

E

J

ou J~ = σ E~C ♦

C.4 Refra¸c˜ao da corrente el´etrica No contorno de dois materiais com condutividades difer- entes σ 1 e σ 2 , o princ´ıpio da continuidade da corrente (a integral da densidade de corrente numa superf´ıcie fechada ´e igual a zero): (^) ∮ J^ ~ · dS~ = 0

garante a continuidade da componente normal da densidade de corrente Jn 1 = Jn 2 (14)

e o princ´ıpio da circula¸c˜ao do campo el´etrico (a integral de linha fechada ´e igual a zero): ∮ E^ ~ · d~` = 0

garante a continuidade da componente tangencial do campo

Et 1 = Et 2 (15)

ou Jt 1 σ 1

Jt 2 σ 2

Dividindo (16) por (14) temos

Jt 1 σ 1 Jn 1

Jt 2 σ 2 Jn 2 ou tan α 1 tan α 2

σ 1 σ 2

onde α ´e o ˆangulo de E~ ou J~ com a normal nos meios 1 ou

Exemplo I.23: Um problema unidimensional de valores de contorno - Dois pontos extremos de um intervalo, x = 0 e x = L, possuem valores conhecidos V (0) e V (L), respecti- vamente. A equa¸c˜ao diferencial que rege a distribui¸c˜ao da fun¸c˜ao V ao longo de x ´e

d^2 V dx^2

= AV + B

Dividir o intervalo 0 ≤ x ≤ L em n + 1 intervalos igualmente espa¸cados de ∆x = xj+1 − xj , j = 0, n + 1, e resolver o problema usando diferen¸cas finitas. Solu¸c˜ao: Substituindo a derivada d^2 V /dx^2 por diferen¸cas finitas centrais, a equa¸c˜ao diferencial para o ponto j pode ser representada por

Vj+1 − 2 Vj + Vj− 1 (∆x)^2

= AVj + B