Eletromagnetismo, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Ei ELETRO 1) i Joseph A. Edminister Professor Associado de Engenharia Elétrica da Universidade de Akron Tradutor: Jos Fabiano Rocha Mestra em Ciências pela PUCRI Ex-Professor Pesquisedor do CETUCIPUCRS Professor de Transmissão e Propagação da Universidade Senta Úrsula Auxiliar de Pesquisas da Escola Naval do Rio de Janeiro Revisor Técnico: Resdrigo Araês Caldas Faria M, Se, pela COPPE — UFRJ Professor de Eletromagnetismo e Lab. de Princípios de Comu- nicação na Escóla de Engenharia FAAP Professor Assistente da Escola de Engenharia Mauá Professor Assistente da Faculdade de Tecnologia CEETS-UNESP MeGraw-Biil São Paulo Rua T: vã. 1.105. Iramo-Bibi CEP 04533 (011) 881-8605 e (011) 881-8528 Rio de Janeiro O Lisboa & Porto & Bogotá * Buenos Aires 8 Guatemala & Madrid e México 9 ilem York * Panamá O San Jum * Santiago Auckland & Hamburg 6 Kuala Lumpur 2 London & Milan e Montreal 8 New Delhi Paris & Singapore 9 Sydney é Tokyo s Toronto Do original Schaum"s Outline of Theory and Problems of ELECTROMAGNETICS Copyright O 1979 by McGraw-Hill. Inc. Copyright O 1980 da Editora McGraw-Hill do Brasil CIP-Brasil. Catalogacão-na-Fonte Câmara Brasileira do Livro, SP EZ6e Bo-0859 Edminister. Joseph A Eletromagnctismo / Joseph A. Edminister : tradutor José Fabiano Rocha ; revisor técnico Rodrigo Araês Caldas Faria São Paulo : MeGraw-Hill do Brasil. 1980 (Coleção Schaumi 1 Etstromagnetismo 2. Eletromapnetismo — Problemas, exercicios «te, T Título. IL. Série CDD-537 -537.076 indices para catálogo sistemático: 1. Eletromagnctismo : Fisica 537 a 53 Prohiemas : Eletromagaetismo : Física 537.076 to SUMÁR Capítulo 1 ANÁLISE VETORIAL 1 1.1 Notação Vetorial 1.2 Álgebra Vetorial 1.3 Sistemas de Coordenadas 1.4 Elementos Diferenciais Relativos a Volumes, Superfícies e Linhas 1.5 Campos Vetoriais 1.6 Trans- formações Capítulo 2 FORÇAS DE COULOMB E CAMPO BLÉTRICO 15 2.1 Lei de Coulomb 2.2 Campo Elétrico 2.3 Distribuições de Carga 2.4 Configurações Padronizadas de Cargas Capítulo 3 LEI DEGAUSS E FLUXO ELÉTRICO: 32 3.1 Carga Total de uma Região 3.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Elétrico 3.3 Lei de Gauss 3.4 Relação entre Densidade de Fluxo Elétrico e Campo Elétrico 3.5 Superff- cies Gaussianas Especiais Capítuio 4 DIVERGÊNCIA E TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 46 4.1 Divergência 4.2 Divergência em Coordenadas Cartesianas 4.3 A Divergência de D 4.4 O Operador Nabla 4.5 O Teorema da Divergência Capitulo ENERGIA E POTENCIAL ELÉTRICO DE CONJUNTOS DE CARGAS 59 5.1 Trabalho Necessário para Movimentar uma Carga Pontual 5.2 Potencial Elétrico entre Dois Pontos 5.3 Potencia! de uma Carga Pontual 5.4 Potencial de uma Distri- buição de Cargas 5.5 O Gradiente 5.6 Relação entre E e V 5.7 Energia Associada à Campos Eletrostáticos Capítulo CORRENTE, DENSIDADE DE CORRENTE E CONDUTORES 76 6.1 Introdução 6.2 Cargas em Movimento 6.3 Densidade de Corrente de Convecção 3 64 Densidade de Corrente de Condução ] 6.5 A Condutividade o 6.6 A Corrente 167 4 Resistência R 6.8 Película de Corrente com Densidade K 6.9 Continuidade de Coxente 6.10 Condições de Contomo entre Meios Dielétricos e Condutores Gspítulo E MATERIAIS DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 94 7.1 Vetor Polerização P e Permissividade Relativa ey 7.2 D e E sob Tensão Constante 7.3 De E sob Condições de Carga Fixa 7.4 Condições de Contorno para interface entre Dois Dielétricos 7.5 Capacitância 7.6 Capacitores com Dielétricos Múltiplos 7.7 Arma- zenamento de Energia num Capacitor Capítulo ce A EQUAÇÃO DE LAPLACE III 8.1 Introdução 8.2 As Equações de Poisson e de Laplace 8.3 Formas Explícitas da Equação de Lapiace 84 Teorema da Unicidade 8.5 Teoremas do Valor Médio e do Valor Máximo 8.6 Solução Cartesiana a uma Variável 8.7 Solução Cartesiana a duas Variáveis 8.8 Solução a três Variáveis em Coordenadas Cilínáricas 8.9 Solução duas Variáveis em Coordenadas Esféricas ANÁLISE VETORIAL 1.1 NOTAÇÃO VETORIAL Usaremos, como notação. para os vetores (grandezas; definidas por módulo, direção e sentido) letras em negrito, maiúsculas, diferenciando-os assim des quantidades escalares (que possuem apenas módulo e sinal). Para os vetores unitórios (que têm módulo 1) empregaremos minúsculas, também em negrito. Para calcular o vetor unitário (ou versor) associado a À basta dividir 4 por seu valor absoluto: A A = É o É al A onde ja] =A=VA-&A (vejaasSeçãol2) Usaremos os vetores unitários (a,, 3y, 2,) para o sistema de coosdenadas retangulares. De modo que o vetor À, escrito segundo suas componentes cartesianas, será do tipo: &, A=4,8,+A,8,1 4,8, 12 ALGEBRA VETORIAL 1, Os vetores podem ser somados ou subtraídos. Ou seja: ALB=(Ag,+4,a,+ 4,4) + (Ba, + Ba, + B,a,) At Boa, + (A, £ Ba, (A, + Boa, 2. As leis associativa, distributiva e comutativa são válidas, Isto é: A+(B+O)=(A+B)+C k(A + B)= kh kB (E +Hh)A=kA+kà A+B=B+rA 3. O produto escalar de dois vetores é, por definição: A-B=ABcos0 (lê-se “A escalar B”) onde 6 é o menor ângulo entre À e B. Usando os vetores expressos por suas compo- nentes retangulares, pode-se demmonsirar que: A B=A.B,+A,B,+ 4,5, Em particular. Ach=JA|I= AZ+ A+ A? 2 ELETROMAGNETISMO 4. Define-se o produto vetorial de dois vetores como: AxB=(ABsnoe, (lê-se “A vetorial B”), onde 8 é o menor ângulo entre A e B,e En O versor normal 20 plano definido por À e B. Todo plano possui duas direções orientadas normais, a partir de um deter- minado ponto. Sendo assim, há que se especificar com maior de- talhe a definição anterior. Escolhe-se a normal correspondente à aplicação da “regra da mão direita”, ou sentido de giro de um parafuso universal, rodando-se A em direção:a B (Fig. 1.1). Devido a isto, não é válido aplicar a lei da comutatividade ao produto vetorial. Ou seja: AxB=-BxA Usando os vetores segundo suas componentes cartesianas: AxB=(Aa+A4a+Aa)x(B.e,+Ba+Ba, =(4,5.-4,B)a +(4.B,- A, Ba, + (A Expressão esta que podemos tornar mais compacta através do emprego da noção de determinante: & 8 8,| AxB=|4, A, 4, B. B, B, 1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS Se um dado problema apresentar simetria esférica ou cilíndrica, poder-se-á empregar o sistema carte- siano. Há casos, entretanto, onde as soluções não mostram simetria no sistema cartesiano, assumindo, in- clusive, caracierísticas complicadas se o mesmo for empregado. Sendo assim, sempre que surgir um pro- blema onde seja evidente a simetria esférica, usaremos 6 sistema de coordenadas esféricas, o mesmo ocor- tendo para 6 caso de haver simetria cilíndrica. Examinemos, então, estas três formas de sistemas de coor- denadas. (a) cartesiano (b) cilíndrico fc) esférico Fig. 1-2 4 ELETROMAGNETISMO A Fig. 1-4 mostra os três versores de cada sistema, aplicados em P. Os vetores unitários do sistema “retangular apresentam direções fixas, independentemente do ponto P de interesse, o que não ocorre para os dois outros (exceto quanto a a,). onde cada vetor unitário é normal à sua superfície coordenada, em sen- tido coerente com o crescimento da coordenada à quai se associa. Cumpre também notar que: axa-—a, axa=a, a xm= (ou seja, possuem “orientação dexirógira”). A decomposição de um vetor genérico, A, segundo as coordenadas desses três sistemas resulta nas seguintes expressões: A=Aa,+Aa,+A a. (cartesiano) ÀÁ=4,8,+ 4,4, + 48. (cilíndrico) A=A 9, + Açã + Açãa (esférico) Nem sempre as componentes 4,, 4,. Ag ete., são constantes, mas quase sempre são funções das coordena- das do sistema correspondente. 14 ELEMENTOS DIFERENCIAIS RELATIVOS A VOLUMES, SUPERFICIESE LINHAS Analisemos, então, o que se usa chamar de volume incremental (ou diferencial). Incrementando as coordenadas .dos três sistemas para (x + dx, y + dr cz +d),lW+ar, 4 +dgz+adelr+dr 9 + dê, & + dg), os volumes assim gerados constituem, em primeira ordem, qualquer que seja o sistema, uma caixa retangular. À Fig. 1-5 apresenta esses três casos, indicando o d» correspondente a cada um. Nessa mesma figura também se pode ler as áreas superficiais incrementais, limitado os volumes men- cionados. Para, por exempio, as coordenadas esféricas, o elemento de área normal à a, vele; as rdorsend dd) = r? send do do do = dx dy ds du=rdrdde: do = rÍseng dr de do (2) Cartesiano (b) Cilíndrico tc) Esférico Fig. 1.5 Quanto aos elementos incrementais de linha, di, diagonal ligada a P. temos: dx + dy? + do (cartesiano) d+ rap! 4 dr? (cilíndrico) “pr de? 4 sen? Dag? (esférico) ANÁLISE VETORIAL 5 15 CAMPOS VETORIAIS É comum aparecerem expressões, no Eletromagnetismo, onde os coeficientes dos vetores unitários contêm variáveis, de modo que tais expressões variam, de ponto a ponto, em módulo, direção e sentido, nas tegiões de nosso interesse. Como exemplo, seja o vetor: E= xa +ya, Ou seja, para obter o valor real de E, em y cada ponto, deve-se substituir as coorde- nadas desic em x e y. Após calcular para um certo conjunto de pontos, obtém-se uma configuração semelhante à indicada na Fig. 1-6. Além disso, um campo vetorial pode, também, variar com o tempo. Exprimindo, assim, o campo vetorial bidimensional acima em função do tempo, podemos obter uma expressão do tipo: E=(-—xa, + ya, )senot =(—xa, + ya je” Os campos elétricos s magnéticos dos últimos capítulos serão todos variáveis À no tempo, potendo, como era de se es- perar, ser diferenciados e integrados em relação ao tempo. Operações que apare- Fig 16 cerão naturalmente e não ocasionarão grandes dificuidades. gem et 15 TRANSFORMAÇÕES O campo ou campos vetoriais que surgem nos diversos problemas existem na realidade física, e o sis- iema de coordenadas empregado para expressálos é uma mera questão de referencial. Quanto mais apro- priada for a escolha do sistema coordenadas, mais direta será a solução e a expressão final, mais compacta, evidenciará à possível simetria presente no problema. Às vezes, entretanto, torna-se necessário transformar um campo vetorial de um sistema a outro. EXEMPLO 1 Seja o campo: A = Srs, + 2senda, + 2cos6e, expresso em coordenadas esféricas. Pode-se transformar as coordenadas r, O e q nas cartesianas, x, ) € Z, usando a Fig. !-2 e as noções clementares de Trigonometria. Ássim, 13 ié4 16 1.7 ANÁLISE VETORIAL 7 Calcule a distância entre (5,37/2, 0) e (5, m/2, 10), em coordenadas cilíndricas. Solução. Obtêm-se, primeiramente, os vetores posi- ção (em coordenadas cartesianas) À e B: z | (5,2/2,10) A=-5Sa, B=52,+10, Deonde: E — B = 103, + 102, E, sendo assim, a distância pedida entre os dois pontos será a seguin- te: jE-Aj= 10,2 Não é possível usar os pontos em coordenadas cilíndricas para calcular a distância entre ambos, tal como se fez para coordenadas cartesianas, no Pro- . blema 11 Fig. 16 Mostre =4,B, + AB, + AB Solução. pressando o produto escalar em termos das componentes desses vetores, obtemos: A-B=(A,8,+4,0,+4,8,)'(B,2, + B,9, + B.9,) =(4,2,)"(B.85) + (4za,) ' (B,8,) + (Aços) (3.2) 4,8) (Bru) + (Aa) (Bm) + (4,8): (B.2,) +(4.8,) (8,85) + (4a) (8,05) + (4,05) (Br8,) Entretanto:a, 1 a, =2, ca =a, «a = 1.devido zo fato de o co-seno do ângulo entre quais- quer desses versores. agrupados em par, ser “unitário, pois os mesmos são paralelos (ou seja, os ângulos entre a, e2,,2,€ Ap. 08, CA são nulos). Mas, quando 4 = 90º, seu co-seno vale O. de maneira que são nulos todos os produtos cruzados, ou seja, todos os demais produtos entre os vetores unitários. Portanto: AB-A,B,+4,B,+4.B, Dados: À « e B=a, - ay calcule À - BcA x B Soiução. = (XI) + (4K= 1) + (3x0) = —2 a, a, AxB=|2 4 -3|=-3a,-3a,— 6a, ji—-1 0| Mostre que À = 43, — 2a, —a e B=-a + 4a, — 4a, são perpendiculares. Solução: Corno o produto escalar envolve o fator cos EM para que seja nulo, sendo os vetores diferentes de zero, o ângulo entre os mesmos deverá ser de 90º. Portanto, como verificação: -B=(D)+ (2X 4(-IK-48=0 Dados A =22, + 4a, eB=6a, da, calcule o menor ângulo entre ambos, usando (a) o produto vetorial entre eles e (b) o produto escalar. 8 ELETROMAGNETISMO Solução. (2) Para o produto vetorial: lã & & AxB=|2 4 O|=-lón.+8,+ 12, | 0 6 —4 tal=/BE+ (+ 0 = 447 IBl=0P + (6P +47 =721 já xBl= 167 + (8P+ (2 =2154 Logo, como: |A x B/=IA| [8 | seno: sen 6 = 0,668 ou 8=419º (b) Por outro lado, para o produto escalar: A-B= (20) + (a)(6) + (0X 4) = 24 A-B 24 ê= — É =a9 0 = tj tan 8 ou B=41,9 1.8 Dados F=(p-— Da, + 2xa,,, calcule o valor desse vetor aplicado ao ponto (2,2,1), bem como sua projeção sobre B, dado por:B = Sa, — a, + 2a, Solução. FEL =(0 1a, + CX, =a+4a, A ça Como mostra a Fig. 1-9, pode-se obter a projeção de um Sano A vetor sobre outro calculando o vetor unitário da direção 2» os B deste último e efetuando um produto escalar, entre o vetor : ' dra ias . Proj. de A sobre E unitário e o primeiro vetor. Ou seja: Fig 8 AB Proi. de AsobreB = A-as= BI Desse modo, em (2, 2, 1): Proj. de F sobre B = Fi” (D+ AD +, + 5 = 1.9 Dados: À a, + apB=a +2a e C= 2a, + a,, calcule: (A x B) x € e compare-este resultado com 0 de À x (Bx o. Solução. je & a] AxB=|1 1 0 [=28.—2a, -a, 10 2) Sendo assim: fa a al (AxBjxC=i2 -2 id lo 19 1,14 ELETROMAGNETISMO Solução. O elemento diferencial de área é o seguinte [veja a Fig. 1-5 (0)]: ds = rsend do dp A “7 Desse modo: + 32 8 = = 2, 7 4= [5 | 0sendavas A = 2ma?fcosa — cos f) — Quando = 068 =4,4 =4ma?,ouseja, a área super. Fig 2-12 ficial de uma esfera de raio a. Obtenha a equação correspondente ao volume de uma esfera de raio a, a partir do elemento diferen- cial de volume. Solução, Usando a Fig. 1-5 (c), obtemos que o elemento diferencial de volume vale: dy =? sen 6 dr do dp . Portanto, 2x Es 4 | | send dr de db =; no? o dot 3 Utilize o sistema cilíndrico de coordenadas para calcular a área la- teral de um cilindro circular reto com r=2m, h=5me 30º < 6 < 120º (veja a Fig. 1-13). Solução. Usando o elemento diferencial de área ds = r do dz, obtemos, pois: 5 ,2w3 A=[ | 249dz 0 “ai6 Transforme o vetor: A=ya +xa, + vx + do sistema cartesiano ao cilíndrico. Solução. Usando a Fig. 1-2 (b), x=rcosg y=rseng refe +y Portanto: A=rsenga, + reosga, +rcosiga, Calculando, agora, as projeções dos versores cartesianos sobre a, , age 2, obtemos: Sendo assim: Lit RE 1419 126 1.23 1.24 ANÁLISE VETORIAL “ e, portanto: A = sengcosga, + (reos? p — rserf dja, + eos! pa, Um vetor com módulo 10 vai do ponto (5,57/4.0) até a origem de um sistema coordenado cilíndrico (Fig. 1-14). Expresse-o em coordenadas cartesianas. Solução. Em coordenadas cilíndricas pode-se representar esse vetor por 102,, com 6 = x/4. Sendo assim: 19 A, = 10sen: A,=10cosã=— z so “A y 4 A, “als de tal maneira que: A 10 4 10 a = s,+— 20 42º Note que o valor da componente radial, 5, pouca importância tem Fig. 114 sobre o resultado final. não influenciando o mesmo. PROBLEMAS PROPOSTOS Dados: A = 4, + 10a, e B = 2a, + 3a,, calcule a projeção de Asobre B, Resposta. 12h/13 Dedos À = (10N/Da, + 2,)e B = 3a, + a,), expresse a projeção de B sobre à, segundo a direção de A. Resposta. 1,50 (a, + à) Calcule o ângulo entre À = 102, +24, e B= —4a, + 0,52,, usando as definições de produto escalar e de produto vetorial. Resposta. 161,5º Repita o problema amerior para: A = 58a, + 1,55a, e B = —6,93a, + 4,0. Resposta. 135º 2 Ache o vetor unitário normal ao plano 4, + 3, + 2, = 12 (para direção afastando-se da origem). Resposte. (4a, + 3a, + 2e,))/ 29 Mostre que, para que os campos vetoriais A e B sejam perpendiculares em qualquer ponto, A By + +AA, + AB, = 0. Obtenha as relações que devem ser satisfeitas entre as componentes cartesianas de dois campos vetoriais À e B para que sejam paralelos em todos os pontos do espaço. Resposta. Calcule o vetor unitário que vai de um ponto genérico da retax = 0,» = 3,atéa origem. — 28, Resposta a 140 142 1.46 1.48 -ANÁLISEVETORIAL 13 Calcule a área da superfície curva de um cilindro circular reto de raio q e altura À usando coordena- das cilíndricas. Resposta, Zúeh j Use coordenadas cilíndricas para obter o volume do cilindro circular reto do Problema 1.40. Resposta. na?h Use coordenadas esféricas para Obter as áreas diferen- ciais, ds; e ds,, integrando-as depois para calcular as áreas superficiais da Fig. 1-15, marcadas com 1 e 2, respectivamente. Resposta. n/4: 1/6 Calcule o volume de uma casca hemisférica de raio in- temo 2,00 m e raio extemo 2,02:m, usando coorde- nadas esféricas. Fig 1-15 Respostas. 0 162mm” + Calcule o elemento diferencial de volume inerente ao volume definido por 1