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ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO

ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO

MATEMÁTICA

1996 - 2017

ESPECEX 1996

1. Sendo: R+, o conjunto dos números reais não negativos, Q, o conjunto dos números racionais, Z, o con- junto dos números inteiros e N, o conjunto dos números naturais. A interseção dos conjuntos R+, Q ∪ (N ∩ Z) e (Z ∩ Q) ∪ N é igual a: a) ∅ b) R + c) Q^ d) N e) Z+
2. Sejam os conjuntos A com dois elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos. O número de ele- mentos do conjunto C - [(A ∩ B) ∩ C] pode variar entre: a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 0 e 4 d) 0 e 3 e) 0 e 2
3. Numa pesquisa feita junto a 200 universitários sobre o hábito de leitura de dois jornais (A e B), chegou- se às seguintes conclusões: (1) 80 universitários lêem apenas um jornal; (2) o número dos que não lêem nenhum dos jornais é o dobro do número dos que lêem ambos os jornais; (3) o número dos que lêem o jornal A é o mesmo dos que lêem apenas o jornal B. Com base nesses dados, podemos afirmar que o número de universitários que lêem o jornal B é: a) 160 b) 140 c) 120 d) 100 e) 80
4. Sejam o conjunto A = {x ∈ Z*^ / |x| ≤ 5} e a função f: A → Z, definida por f(x) = x^2. Se B é o conjunto imagem da função f(x), o número de elementos do conjunto B ∪ A é: a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
5. Na função f(x) = 3x - 2 sabemos que f(a) = b - 2 e f(b) = 2b + a. O valor de f(f(a)) é:

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -

6. Sabendo que a função y = ax + b, pode-se afirmar que:

a) O gráfico da função passa sempre pela origem. d) A função é crescente para a < 0. b) O gráfico da função corta sempre o eixo das ordenadas. e) O gráfico da função nunca passa pela origem.

c) O zero da função é a

b .

7. Dada a função f: R → R definida por f(x) = x^2 + ax - b, onde {a, b} ⊂ R *+ , pode-se concluir que o gráfi-

co que mais se assemelha ao de f(x) é: a) b) c) d) e)

8. Seja f: R → R uma função tal que -2 ≤ f(x) < 5 e g: R → R dada por g(x) = 1 - f(x). Então o conjunto imagem da função g(x) é: a) ]-4, 3] b) [-4, 3] c) ]-4, 3[ d) [-3, 4[ e) ]-3, 4]
9. Um número real x é solução da inequação -5 < x^2 - 3 < 1 se, e somente se:

a) x < -5 b) x > 1 c) x ≠ 2 d) 0 < x < 1 e) -2 < x < 2

10. Considere o trinômio do 2º grau f(x) = ax^2 + bx + c, cujos zeros são 2 e -3. Se f(1) = -12, então o valor de f(3) é: a) -36 b) -6 c) 12 d) 18 e) 20
11. O conjunto solução da inequação |x^2 + x + 1| ≤ |x^2 + 2x - 3| é:

a) 

 (^) ∈ − ≤x≤ 2 oux≥ 4 2

x R/ c) 

 (^) ∈ <− ou 2 ≤x≤ 4 2

x R/x e) 

 (^) ∈ − ≤x≤ 4 2

x R/

b) 

∈ − ≤ ≤ oux≥ 4 2

x R/ 2 x d) 

∈ ≤− ≤x≤ 4 2

x R/x 2 ou

24. O valor de m para que o sistema  

4 x my 10 z 0

2 x y 4 z 0

x 2 y 3 z 0 admita soluções além da solução trivial, é:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

25. A soma das raízes da equação (^)  

cosx 1  

, onde 0 < x < 2π, é:

a) 0 b) 2

π c) π d) 2

3 π e) 2π

26. Considere as seguintes proposições:

I- Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse plano. II- Uma reta e um ponto determinam sempre um único plano. III- Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular a esse plano. Pode-se afirmar que: a) Só I é verdadeira. c) Só I e III são verdadeiras. e) Só I e III são falsas. b) Só III é verdadeira. d) Só III é falsa.

27. O volume, em cm^3 , da esfera inscrita em um cone de revolução, cujo raio da base é 5cm e cuja altura é 12cm, é:

a) 162

1000 π b) 27

2000 π c) 108

3000 π d) 81

4000 π e) 9

5000 π

28. O coeficiente de x^5 no desenvolvimento de (x + 2)^9 é:

a) 64 b) 126 c) 524 d) 1024 e) 2016

29. A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é 36m^2. Se a altura da pirâmide mede 4m, sua área total, em m^2 , é igual a: a) 48 b) 54 c) 96 d) 120 e) 144
30. Um trapézio isósceles, cujas bases medem 2cm e 4cm e cuja altura é 1cm, sofre uma rotação de 180º em torno do eixo que passa pelos pontos médios das bases. O volume, em cm^3 , do sólido gerado por essa rotação é:

a) 3

4 π (^) b) 3

5 π (^) c) 2π d) 3

7 π (^) e) 3

8 π

ESPECEX 1997

1. Seja a função f(x) = 

− 1 ,sexéracional

1 , sexéirracional

. O valor da expressão 3 f(^2 )

f (π) −f( 0 )−f( 1 , 333 ...) é:

a) 3

(^1) b) - 3

(^1) c) -1 d) 1 e) 3

2. O crescimento de um vegetal, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, segue a função do gráfico dado. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no 12º dia (em cm) são, respecti- vamente:

a) h(t) = 2

t - 5 e h = 15

c) h(t) = 5

t + 1 e h = 5

e) h(t) = 5

t − 5 e h = 15

b) h(t) = 3

t - 3

e h = 5

d) h(t) = 4

t + 1 e h = 5

3. O domínio da função real y = x 3

5 x

é:

a) ]-3; 5[ b) ]-3; +∞[ c) ]-5; 3[ d) ]-∞; -3[ ∪ ]5; +∞[ e) ]-∞; 5[

4. O número de elementos do conjunto A = 

x

x N*^ /x 5 , é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

5. Dados os conjuntos A = (^)  

1 − 2 ;π , B = 

log 4 ; 3 2

1 e C =^ 

 (^) π − 2

. Pode-se afirmar que:

a) existem seis números reais em A ∪ B ∪ C d) 0 ∈ A ∩ B ∩ C

b) o menor valor de B ∩ C é - 2

π e) 2

∈ A ∩ B ∩ C

c) não existem números inteiros em C - A

6. Se a função linear f, dada por f(x) = ax + b, satisfaz a condição f(5x + 2) = 5f(x) + 2, pode-se afirmar então que: a) a = 2b b) a = b + 2 c) a = 2(b + 2) d) a = 2(b + 1) e) a = 2b + 1
7. Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m e n são ímpares consecutivos, com m.n = 483. Nestas condições, o valor de m + n é igual a: a) 64 b) 52 c) 46 d) 44 e) 32
8. Para que a equação do 2º grau mx^2 - (2m - 1)x + (m - 2) = 0 admita raízes reais positivas, os valores re- ais de m devem ser:

a) - 4

< m < 0 ou m ≥ 2 c) 0 < m ≤ 4

ou m > 2 e) - 4

≤ m < 0 ou m ≤ -

b) - 4

≤ m < 0 ou m > 2 d) - 4

≤ m < 0 ou m > -

9. A equação senx = m^2 - m - 1 admite solução se, e somente se:

a) m ≤ 0 ou m ≥ 1 b) -1 ≤ m ≤ 2 c) 0 ≤ m ≤ 2 d) m ≥ 0 ou m ≤ 1 e) -1 ≤ m ≤ 0 ou 1 ≤ m ≤ 2

10. Um míssil, cuja trajetória plana segue o gráfico da equação y = - 100

x^2 + 2 3 x, com medidas em km,

foi lançado acidentalmente e deverá ser interceptado por outro, lançado do mesmo ponto e em trajetó- ria retilínea. Tomados como referência o ponto de lançamento e o plano horizontal que o contém, para que o contato se faça na maior altura possível, a inclinação do segundo míssil e a altura, em km, de contato são respectivamente: a) 30º e 200 3 b) 60º e 200 3 c) 60º e 100 3 d) 60º e 200 3 e) 30º e 100 3

h(cm)

t(dias)

1

2

3

5 10

0

22. A soma das raízes da equação sen^2 x - 4

= 0, onde 0º < x < 360º, é:

a) 60º b) 240º c) 180º d) 720º e) 300º

23. Considere as seguintes proposições:

I- A função f(x) = tg (^)  

 (^) + π 6

2 x é periódica, de período 2

π .

II- A equação senx = 2

têm infinitas soluções.

III- Sendo tgx = 4

e π < x < 2

3 π , temos senx = - 5

e cotgx = 3

Sobre as proposições acima, pode-se afirmar que: a) todas são verdadeiras c) apenas I e II são verdadeiras e) apenas II e III são verdadeiras b) todas são falsas d) apenas I e III são verdadeiras

24. A soma dos valores de x, y e z que tornam o sistema  

x y 0

3 x 2 y z 2

2 x y z 5 verdadeiro é:

a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

25. Dado o sistema linear 

x y a

a 2 x y 1 , onde a é uma constante real, pode-se afirmar que:

a) o sistema é possível e determinado para a = -1. b) existe um único valor de a que torna o sistema possível e indeterminado. c) o sistema é possível e determinado somente se a ≠ -1. d) o sistema é possível e determinado ∀a ∈ R. e) o sistema é impossível ∀a ∈ R.

26. O termo independente de x no desenvolvimento de

18 4 x^2 x

 (^) − é:

a) 153 b) 261 c) 149 d) 457 e) 361

27. os valores de x e y que satisfazem a igualdade (^)  

log x 0

log 3 1 3

x (^).  

log y 1

2

são:

a) 3 e 2

b) 3 e 2 c) 9 e 2

d) 3 e 2 e) 9 e 2

28. Uma pirâmide quadrangular regular tem a por aresta da base e 2a por aresta lateral. A altura e o volume dessa pirâmide medem, respectivamente:

a) 2

a 15 e 3

a 3 15 b) 2

a 3 e 6

a 3 3 c) 2

a 14 e 6

a 3 14 d) 2

a 12 e 3

a 3 12 e) 2

a 10 e 3

a 3 10

29. Considere as proposições abaixo:

I- O volume V de um cilindro equilátero de raio r é V = 4πr^3. II- O volume de um cubo de área total 600cm^2 é 1000cm^3. III- Quando o raio de uma esfera aumenta 100%, o volume da esfera aumenta 700%. IV- Uma reta r e um plano α são perpendiculares a uma outra reta t, em pontos distintos, então r e α são paralelos. Dentre as proposições acima é/são falsa(s) a(s): a) I b) II c) I e III d) I e IV e) III e IV

30. O volume de uma lata cilíndrica é 4πcm^3. O custo de fabricação das bases é R$0,04 por cm^2 e o custo de fabricação da superfície lateral é R$0,02 por cm^2. O custo de fabricação da lata (em R$) em função do raio R (em cm) das bases é:

a) 0,04π (^)  

R

R 2 b) 0,06π (^)  

R

R 2 c) 0,06π (^)  

R

R 2 d) 0,08π (^)  

R

R 2 e) 0,08π (^)  

R

R 2

ESPECEX 1998

1. Sendo A ∪ B ∪ C = {n ∈ N / 1 ≤ n ≤ 10}; A ∩ B = {2, 3, 8}; A ∩ C = {2, 7}; B ∩ C = {2, 5, 6} e A ∪ B = {n ∈ N / 1 ≤ n ≤ 8}. Pode-se afirmar que o conjunto C é: a) {9, 10} b) {5, 6, 9, 10} c) {2, 5, 6, 7, 9, 10} d) {2, 5, 6, 7} e) A ∪ B
2. O conjunto solução da equação |x - 3| = |x - 3|^2 , em R:

a) Possui somente 4 elementos. c) Possui somente 2 elementos. e) É vazio. b) Possui somente 3 elementos. d) Possui somente 1 elemento.

3. Para todo n ∈ Z e k ∈ Z, com n < k, é sempre verdadeira a sentença:

a) n

k

b) n.k

n + k , é um número inteiro c) n < k d) 1 - n < 1 - k e) (^) n 2

< (^) k 2

4. Os gráficos dados representam duas funções reais f e g, cujas únicas raízes são -1 e 2, respectivamente.

O conjunto de todos os números reais tais que f(x).g(x) < 0 é dado por:

a) x > 0 ou x < -1 c) 0 < x < 2 e) x < -1 ou x > 2 b) -1 < x < 0 d) -1 < x < 2

5. Se f(x) = 5x, com x ∈ R, o valor de f(x + 2) - f(x + 1) é: a) 30.f(x) b) 24.f(x) c) 20.f(x) d) 9.f(x) e) 5.f(x)
6. Considere a função real f(x) = 1 − x. Dentre as proposições abaixo:

I- o maior valor de f(x) é 1. II- se f(p) existe, então o maior valor de p é 1.

III- se f(x) é igual a 3

, então x é igual a 9

IV- o gráfico de f(x) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). Pode-se afirmar que são verdadeiras apenas as proposições: a) I e II b) II e III c) I e III d) III e IV e) II, III e IV

7. Seja a função real f(x) = (m^2 - 4)x^2 - (m + 2)x + 1. Das afirmações abaixo:

I- f é função afim para m = 2. II- f é função constante para m = -2. III- f é função quadrática para m ≠ 2 e m ≠ -2. IV- f tem uma raiz igual a -1 para m = 3. Estão corretas apenas as afirmações: a) I, II e IV b) I e III c) II, III e IV d) III e IV e) I, II e III

8. O gráfico dado fornece a relação entre o custo das ligações telefônicas locais de um assinante e o núme- ro de pulsos utilizados pelo mesmo.

Considerando-se que: I- Em Maio/98 o assinante utilizou 100 pulsos. II- Em Junho/98 o valor de sua conta telefônica foi o dobro do valor de Maio/98. III- Só foram realizadas ligações locais à mesma tarifa. Pode-se afirmar que o número de pulsos utilizados por esse assinante em Junho/98 foi: a) 180 b) 260 c) 270 d) 280 e) 300

y

x

g

-1 2

f

Valor da conta ($)

Quantidade de pulsos

30

40

90 140

20. A soma das soluções da equação (^) cosx

cosx

25

2 = 1, para 0 ≤ x ≤ 2

π é:

a) 6

π b) 3

π c) 2

π d) 3

2 π e) 6

5 π

21. Dada a função f(x) = 1 senx

1 sen^2 x

e o intervalo I = [0, 2π], pode-se afirmar que:

a) f é definida para todo x ∈ I e a imagem de f em I é [0, 2].

b) f é definida para todo x ∈ I / x ≠ 2

3 π e a imagem de f em I é [0, 2[.

c) f não é definida para x = -1 e a imagem de f em I é ]-1, 1[.

d) f não é definida para x = 2

π e a imagem de f em I é [0, 2[.

e) f não é definida para x = 2

3 π e a imagem de f em I é [0, 1[.

22. Para todo k ∈ Z, n ∈ N* e x ∈ R, a expressão [(senx + cosx)^2 - sen2x]n^ é equivalente a:

a) [sen(2kπ)]n^ b) [cos(2kπ + π)]n^ c) cos(nkπ) d)

n

2

sen 2 k  

 (^) π +π e) sen(nkπ)

23. Considere a matriz quadrada A = (^)  

sen 36 º cos 54 º

sen 18 º cos 72 º

. O valor do determinante de A é:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

24. O sistema  

x y kz 0

5 x 4 y 5 z 0

3 x ky z 0 admite mais de uma solução se, e somente se:

a) k = 6

b) k = 5

ou k = 2 c) k = 7 ou k = -2 d) k = 3

ou k = 2

e) k = 0

25. Para todo x e y reais, com x ≠ ±y, o quociente entre os determinantes

y x

x y

0 x x y

0 1 y

x y x y 0

é equiva-

lente a:

a) x y

x 2 xy y^2 −

b) x y

x 2 xy y^2

c) x y

x 2 xy y^2 −

d) x y

x 2 xy y^2 −

e) x y

x 2 xy y^2

26. A soma das soluções do sistema  

x 2 y z 8

2 x y z 5

x y z 8 é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

27. O volume de um cilindro equilátero de 1 metro de raio é, aproximadamente, igual a:

a) 3,1m^3 b) 6,3m^3 c) 9,4m^3 d) 12,6m^3 e) 15,7m^3

28. Uma piscina em forma de paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros, diagonal do fundo com 10

metros e diagonal da face que contém o comprimento igual a 4 5 metros. Para enchê-la com água será utilizado um caminhão tanque com capacidade de 6000 litros. O número de cargas completas, desse mesmo caminhão, necessárias para que a piscina fique completamente cheia é: a) 24 b) 28 c) 32 d) 54 e) 80

29. Uma pirâmide hexagonal regular tem área da base igual a 18 3 m^2. Sabendo-se que sua altura é igual

ao triplo do apótema da base, então seu volume é: a) 36m^3 b) 27 3 m^3 c) 36 3 m^3 d) 54 3 m^3 e) 81 6 m^3

30. O sólido geométrico dado é formado por dois cones circulares retos de mesma base. Sabendo-se que a seção que contém os pontos A e B é paralela à base comum dos cones e divide todo o sólido em duas par- tes de igual volume, então o valor de x^3 + y^3 é: a) 96 b) 128 c) 144 d) 162 e) 248

A (^) B

y

3

x

2

6

8. Na criação de um determinado animal para abate, o criador dispõe de estudos que lhe informam que o

custo de criação evolui no tempo segundo a relação PC = 120

t^2 + 2 2 t + 200 2 e o preço obtido pe-

lo criador ao vender o produto evolui no tempo segundo a relação PV = - 120

t^2 + 3 2 t + 200 2 , onde

PC e PV são respectivamente os preços de custo e de venda da arroba de carne, em reais, e t, o tempo de engorda, em dias. Nestas condições pode-se afirmar que o tempo de engorda que fornece maior lu- cro (PV - PC) é de: a) 20 dias b) 30 dias c) 90 dias d) 60 dias e) 45 dias

9. A equação f(x) = -5 tem solução real se:

a) f(x) = x^2 + 2x + 1 b) f(x) = 10x^ c) f(x) = cosx d) f(x) = tgx e) f(x) = log 3 (|x| + 1)

10. Numa progressão geométrica (PG) crescente de 5 termos, o primeiro e o último correspondem, respec- tivamente, às raízes da equação x^2 - 51x + 144 = 0. O valor da soma do segundo, terceiro e quarto ter- mos dessa PG é: a) 12 b) 24 c) 28 d) 36 e) 42
11. Numa modalidade de corrida, ganha a equipe que percorre uma determinada distância em menor tempo, revezando seus atletas a cada 800 metros. A equipe Verde utilizou a tática de organizar seus atletas na ordem crescente de suas velocidades. Sabe-se que o atleta menos veloz dessa equipe gastou 5 minutos no revezamento e que a diferença de tempo entre dois atletas consecutivos foi sempre de 30 segundos. Sabendo que a equipe Verde realizou a prova em 26 minutos, a distância total percorrida foi de: a) 4000 metros b) 4160 metros c) 6400 metros d) 10400 metros e) 20800 metros
12. Observe os cinco cartões dados:

log (^0) , 2 log 2 5 log 318 log^8 2

(^1) log 510

Escolhendo-se ao acaso um desses cartões, a probabilidade de que nele esteja escrito um logaritmo cujo valor é um número natural é de:

a) 0 b) 5

c) 5

(^2) d) 5

e) 5

13. Sendo log 2 31024 = a; log 70 log 700

= b e log 3 (log 5 125) = c, a ordem crescente desses números é:

a) a, b, c b) b, c, a c) c, b, a d) a, c, b e) c, a, b

14. Dos gráficos dados, o que melhor representa a função f(x) = |4x^2 - 16x + 7| é:

a) b) c) d) e)

15. Sendo X = 3

π

6

π

12

π

• ... e Y = 4

π

5

π

25

4 π

125

16 π

• ..., o valor de sen(X + Y) é:

a) 2

b) 4

c) 2

d) 4

e) 2

16. Se cossecθ = x 1

e secθ = (^2)

2

3 x

3 x −

, então um valor de x que verifica essas igualdades é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 4

e) 2

17. Considere a expressão Vn = cos (^)  

 π+ π 3

2 n 3

• sen (^)  

 π+ π 3

2 n 3

onde n ∈ N. O valor de V 0 + V 2 é igual a:

a) 2 + 3 b) 3 c) 1 d) 2 - 3 e) 0

18. Na figura dada estão representados os gráficos das funções reais f(x) = cosx e g(x) = logx.

O valor de x que satisfaz a equação logx = cosx está entre: a) 0 e 1 b) 1 e 1,6 c) 1,6 e 2,4 d) 2,4 e 3,2 e) 3,2 e 4,

19. Um triângulo equilátero ABC é inscrito num círculo trigonométri- co de raio unitário, conforme a figura dada. Os vértices do triângulo estão nos pontos:

a) A = (^)  

, B = (-1, 0) e C = (^)  

d) A = (^)  

, B = (-1, 0) e C = (^)  

b) A = (^)  

,^1

(^3) , B = (-1, 0) e C = 

,^3

(^1) e) A = 

,^3

(^1) , B = (-1, 0) e C = 

,^3

c) A = (^)  

, B = (-1, 0) e C = (^)  

20. A fórmula N = 6.10^8. 2

3 V

− relaciona, numa dada sociedade, o número N de indivíduos que possuem ren- da anual superior ao valor V, em reais. Nessas condições, pode-se afirmar que, para pertencer ao grupo dos 600 indivíduos mais ricos dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda anual de: a) R$10000,00 b) R$100000,00 c) R$1000000,00 d) R$10000000,00 e) R$100000000,

21. Sendo {a, b} ∈ R, a ≠ b e o determinante 2 2

2 2

b 0 a

a 2 a

a − 4 b b = 128a - 128b, pode-se dizer que:

a) a + b = 4 b) a + b = 8 c) a + b = 2 2 d) a + b = 4 2 e) a + b = 2

22. Os valores de k para que o sistema linear  

2 x 3 y z 8

2 x ky z 3

kx 2 y 2 z 5 seja possível e tenha uma única solução são:

a) k = R - {-1, 2} b) k = R - {-2, 2} c) k = R - {1, 2} d) k = R - {3, 4} e) k = R - {1, -2}

23. Num curso de Matemática, cada bimestre teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Alves, que acertou 6 questões na primeira prova, 5 na segunda e 6 na terceira, obteve, no final, um total de 57 pontos. Tadeu acertou 3, 6 e 6 questões, respectivamente na 1ª, 2ª e 3ª provas, totalizando 54 pontos. Por sua vez, João acertou 2, 7 e 3 questões, respectivamen- te na 1ª, 2ª e 3ª provas, atingindo a soma de 40 pontos no final. Sabendo que Xavier fez 5 questões cer- tas na primeira prova, 8 na segunda e 3 na terceira, o total de pontos de Xavier foi: a) 49 b) 50 c) 51 d) 52 e) 53
24. Para todo x real, podemos afirmar que:

a) cosx = -cos(π + x) c) cosx = -sen (^)  

 π^ −x 2

e) cosx = sen(2π + x)

b) cosx = cos(π - x) d) -cosx = cos(2π - x)

y

x

x

y A

B

C

ESPECEX 2000

1. É correto afirmar que:

a) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural. b) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. c) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. e) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

2. Se A = [-5, 1[ e B = 

, então os conjuntos A - B e A ∩ B são, respectivamente,

a) 

5 , e 

c) 

e 

e) 

e 

b) 

5 , e 

d) [ 1 , 5 ]e

3. O valor da soma entre o menor e o maior valor assumido pela expressão |x|

x

|y|

y

|xy|

2 xy , quando x e y

variam no conjunto dos números reais não nulos, é: a) -6 b) -2 c) 2 d) 4 e) 6

4. Dada a equação |2x - 3| + |x| - 5 = 0, a soma de todas as suas soluções é igual a:

a) 3 b) 3

c) 2 d) 3

e) 3

5. Se um retângulo tem base x e perímetro 100, então a área A do retângulo é dada em função de sua base por: a) A(x) = x^2 - 50x; 0 < x < 50 c) A(x) = -x^2 + 100x; 0 < x < 100 e) A(x) = x(x - 100); 0 < x < 100 b) A(x) = -x^2 + 50x; 0 < x < 50 d) A(x) = 2x(x - 50); 0 < x < 50
6. Uma fábrica produz óleo sob encomenda, de modo que toda produção é comercializada. O custo da pro- dução é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume produzido, correspon- dente a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários, etc; a outra parcela é variável, de- pende da quantidade de óleo fabricado. No gráfico dado, fora de escala, a reta r 1 representa o custo de produção e a reta r 2 descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comer- cializados. O valor da parcela fixa do custo e o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a em- presa não tenha prejuízo são, respectivamente, a) R$10000,00 e 10000 litros b) R$15000,00 e 18000 litros c) R$15000,00 e 15000 litros d) R$20000,00 e 10000 litros e) R$10000,00 e 15000 litros
7. O domínio e a imagem da função f(x) = 5 senx

são, respectivamente,

a) R - {5} e [-1, 1] b) R e (^)  

c) R e (^)  

d) R* e (^)  

e) R - {5} e (^)  

8. Considere m, n e p números reais não nulos e as funções f(x) = mx^2 + nx + p e g(x) = mx + p, de variá- vel real. A alternativa que melhor representa os gráficos f e g é: a) b) c) d) e)

R$

litros

r 1

r 2

90000

40000

10000

60000

x

y y

x

y

x

y

x

y

x

9. Pode-se afirmar que o sistema 

− = θ

− = θ x 2 cos

2 x 1 3 sen , x ∈ R e 0 ≤ θ < 2π,

a) possui apenas um par ordenado (x, θ) como solução. d) possui infinitas soluções. b) possui dois pares ordenados (x, θ) como solução. e) não possui solução. c) possui três pares ordenados (x, θ) como solução.

10. A figura dada fornece a representação gráfica da função y = logbx. Nestas condições, o valor de b é:

a) 4

b) 2 c) 3 d) 4 e) 10

11. A função f(x) = log (^)  

x 2

1 x tem por domínio:

a) ]-2, 1[ b) R - {-2} c) R - {-2, 1} d) ]-∞, -2[ ∪ [1, +∞[ e) R

12. Considere a soma S = log  

• log  

• log  

• ... + log  

n− 1

n , em que n é um número natural. O

menor valor de n para o qual S > 1 é: a) 20 b) 21 c) 22 d) 25 e) 29

13. Há números reais para os quais o quadrado de seu logaritmo decimal é igual ao logaritmo decimal de seu quadrado. A soma dos números que satisfazem essa igualdade é: a) 90 b) 99 c) 100 d) 101 e) 201
14. Aumentando 48 unidades a um número, seu logaritmo na base 5 aumenta de 2 unidades. Esse número é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 12

15. O valor da soma das raízes da equação 22x - 2^ - 17.2x - 3^ + 1 = 0 é:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

16. José e Maria, acompanhados de seu filho Pedro, queriam se pesar. Para tanto, utilizaram uma balança defeituosa que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Dessa forma, eles se pesaram, dois a dois, e obtiveram os seguintes resultados:

• José e Pedro: 87kg • José e Maria: 123kg • Maria e Pedro: 66kg Diante desses resultados, pode-se concluir que: a) cada um deles pesa menos de 60kg. d) Maria é a mais pesada dos três. b) dois deles pesam mais de 60kg. e) o peso de Maria é a média aritmética dos pesos de José e Pedro. c) José é mais pesado que Maria e Pedro juntos.

17. O conjunto solução da inequação

1 k 3

k 1 3

≤ 0 é:

a) {k ∈ R / -4 ≤ k ≤ 1} b) {k ∈ R / -1 ≤ k ≤ 4} c) {k ∈ R / k ≤ -1 ou k ≥ 4} d) {k ∈ R / k ≤ -4 ou k ≥ 1} e) ∅

18. Sendo a, b e c, nesta ordem, termos de uma progressão aritmética em que a.c = 24 e A, B e C, nesta or- dem, termos de uma progressão geométrica em que A = a, B = c e C = 72, então o valor de b é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
19. pode-se afirmar que a função real y = x 2 x 3

( 2 x x 1 ).(x 3 ) 2

2

• −

, após convenientemente simplificada, é equi-

valente a: a) y = 2x + 1 para R - {-3, 1} c) y = x - 2 para R - {-3, 1} e) y = 3x + 1 para R - {-3, 1}

b) y = x^2 + 1 para R - {-3, 1} d) y = x + 2

para R - {-3, 1}

20. Num determinado jogo, é realizado um sorteio de 05 números num universo de 25 números. Pode-se participar do jogo comprando bilhetes contendo de 06 a 10 números e ganhará o prêmio aquele que acertar os 05 números sorteados. A probabilidade de um jogador ganhar o prêmio participando do sor- teio com apenas um bilhete de 10 números é:

a) 25!

b) 25!

c) 625

d) 625

e) 1265

y

1 x

0,

ESPECEX 2001

1. A equação 52x + 1^ = 15 pode ser resolvida dispondo-se de uma tabela de logaritmos decimais. O valor de x que a satisfaz é:

a) log 3

2 log 5 b) 2 log 3

log 5 c) log 5

2 log 3 d) log 3

log 15 e) 2 log 5

log 3

2. Numa partida de basquetebol, uma equipe, entre cestas de 2 (dois) pontos e 3 (três) pontos, fez 40 ces- tas, totalizando 98 pontos. Pode-se dizer que o número de cestas de 3 (três) pontos dessa equipe foi de: a) 20 b) 18 c) 26 d) 24 e) 22
3. A função f(x) = x - 256.10-16^ tem como uma de suas raízes:

a) 0,00016 b) 16.10-4^ c) 0,00000016 d) 16.10-16^ e) 160-

4. Para todo x ∈ R - 

 π^ ,k∈Z 2

k , simplificando a expressão 1 sen x

• 2 +^1 cossec x

• 2 +^1 cos x

• 2 +^1 sec x

obtém-se o valor:

a) 2

b) 1 c) 2

d) 2 e) 0

5. Denomina-se rolamento a um dispositivo mecânico constituído por dois anéis em forma de casca cilín- drica e um conjunto de esferas. Desejando obter o volume de uma das esferas de aço que compõe o rolamento dado na figura 1, sem desmontá-lo, e não dispondo de todos os instrumentos necessários para executar as medições, um estudante executou os seguintes procedimentos: a. Com os instrumentos de que dispunha, mediu o anel interno, em forma de casca cilíndrica, obtendo 3,46cm para o diâmetro interno, 4cm para o diâmetro externo e 1cm para altura; b. Repetiu as operações para o anel externo, anotou as medidas e calculou o volume, obtendo 3,8cm^3 ; c. Lembrando o princípio de Arquimedes, que afirma que o volume de um objeto imerso num recipiente com líquido corresponde à variação do volume do líquido, colocou água numa proveta graduada em cm^3 , conforme a figura 2, mergulhou o rolamento na água e obteve a leitura indicada na figura 3.

Nessas condições pode-se afirmar que o valor que mais se aproxima do volume de cada esfera, em cm^3 , é: (Aproximações aceitas: 1,73^2 ≅ 3; 3,46^2 ≅ 12 e π ≅ 3,1) a) 3,4 b) 4,6 c) 3,8 d) 4,2 e) 5,

6. Atribuindo-se um valor a cada letra da sigla ESPCEX, de modo que as letras “E”, “S”, “P”, “C” e “X” formem nessa ordem uma progressão geométrica e que E.P.C + E.S.X = 8, pode-se afirmar que o pro- duto E.S.P.C.E.X vale: a) 10 b) 26 c) 20 d) 24 e) 16
7. O conjunto-solução do sistema 

2 xy 4 y 2 0

|x| |y| 0

a) possui exatamente dois elementos b) possui exatamente três elementos c) é vazio d) possui somente um elemento e) possui exatamente quatro elementos

8. Um galpão com as dimensões do desenho dado deverá ser construído para armazenar produtos que necessitam de controle de temperatura. Cada um dos condicionadores de ar disponíveis, que atendem às suas especificações, é capaz de climatizar um volume de até 200m^3. Nes- sas condições, pode-se afirmar que o maior comprimento (l) que o galpão pode ter, em metros, para ser equipado com 3 (três) aparelhos de ar condicionado é: (desprezar a espessura das paredes e conside- rar que o galpão é um prisma reto e não tem forro nem laje) a) 13m b) 20m c) 5m d) 25m e) 15m
9. No círculo trigonométrico (raio = 1), representado na figura, a medida de

β é 150° e AB representa um diâmetro. O valor do produto das medidas dos segmentos OC e OD é:

a) 4

b) 2

c) 4

d) 2

e) 2

10. Uma progressão aritmética tem razão r = -10, sabendo que seu 100º (centésimo) termo é zero, pode-se afirmar que seu 14º (décimo quarto) termo vale: a. 120 b. 990 c. 860 d. 130 e. 870
11. Um reservatório com forma de tronco de pirâmide regular, representado pela figura dada, com bases quadradas e paralelas, está repleto de água. Deseja- se esvaziá-lo com o auxílio de uma bomba de sucção que retira água com uma vazão constante. A vazão, em litros/segundo, que esta bomba deve ter para que o reservatório seja esvaziado exatamente em 1 hora e 40 minutos é:

a. 12l/s b. 18l/s c. 16l/s d. 14l/s e. 20l/s

12. O valor do determinante da matriz 

1 sen x 1

cotg x cos x tg x

cossec x 1 sec x

2

2 2 2

2 2

com x ≠ 2

kπ e k ∈ Z, é:

a) -2 b) -1 c) 1 d) 0 e) 2

13. Dadas as funções f(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 e g(x) = x^2 - 6x + 9. O gráfico que melhor representa a fun-

ção h(x) = g(x)

f (x) é:

a) b) c) d) e)

14. Um restaurante cobra 10% do valor consumido como taxa de serviço. Um cliente pagou R$50,60 e ou- tro R$132,00. A soma dos valores das despesas dos dois clientes, sem a taxa de serviço, foi de a) R$164,00 b) R$164,34 c) R$166,00 d) R$168,00 e) r$168,50.

15.Os dados obtidos nas pesquisas de desempenho de um determinado au- tomóvel foram organizados segundo o gráfico a seguir, que relaciona o número de quilômetros rodados por litro de combustível, com a ve- locidade desenvolvida por esse automóvel. Com base nas informações acima pode se concluir que a) maior consumo de combustível por quilômetro rodado se dá aos 60km/h. b) para velocidades entre 40km/h e 60km/h, o aumento da velocidade implica aumento do consumo de combustível. c) para velocidades entre 60km/h e 100km/h, o aumento do consumo de combustível é diretamente proporcional ao aumento da velocidade. d) na velocidade de 100km/h o automóvel consome menos combustível que a 40km/h. e) para velocidades acima de 60km/h o consumo de combustível aumenta sempre que a velocidade aumenta.

7m 4m

5m 5m

l

β x

y

A

B

C O

D

4m

6m

3m

y

3 x

y

3 x

3

y

x (^3)

y

x (^3)

y

x

40

km/l

60 80 100^ km/h

x

10

11

12