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GABARITO 3º SIMULADO EsPCEx
1. GABARITO: C
Basta que os valores que estão em raízes de índice par sejam não negativas e que os valores nos denominadores de funções sejam não nulas. 𝑥 − 2≥0⇔𝑥≥
10 − 𝑥≥0⇔ 𝑥≤
𝑥 − 4≠0⇔𝑥≠
Assim, 𝐴 = {𝑥∈𝑅| 2≤𝑥≤10 𝑒 𝑥≠4 }
2. GABARITO: D
2𝑥^2 +3𝑥− 2−3𝑥 ≤
As raízes do numerador são − e −1. A raiz do denominador é. 1 2
2 3
Note que o primeiro sinal é negativo, pois, para valores de x muito grandes, o numerador é positivo e o denominador negativo. 2𝑥^2 +3𝑥− 2−3𝑥 ≤ 0 ⇒ 𝑆 =^ − 1, −^
1 ⎡⎣ 2 ⎤⎦ ∪] 2 3 , + ∞[⊂] − 3; + ∞[
3.GABARITO: D
2
Ponto onde a parábola corta o eixo y: 𝑐 = 4
Este ponto nos mostra qual o lado do quadrado, que é 4. Além disso, se olharmos no eixo x, a função corta esse eixo no ponto (4, 0 ), logo 4 é uma das raízes. Ou seja, quando 𝑥 = 4 então 𝑦 = 0. Logo:
0 = 16 • 4 2
8 3 − 4 = 4𝑘
− 20 3 = 4𝑘
𝑘 =− 5 3
Com isso conseguimos calcular a outra raiz da função 1 6 𝑥
2 − 5 3 𝑥 + 4 = 0
𝑥
2 − 10𝑥 + 24 = 0
10± 100−4∙ 2 =^
10± 2
𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = 6
Note então eu o lado do quadrado menor será 6 − 4 = 2.
A soma das áreas será 4 2
4. GABARITO: E
Note que:
3
2𝑥+ = 3⋅(
𝑥 )
2
Faça a substituição:
𝑡 = 3 𝑥 (𝑡 > 0)
A inequação fica:
3𝑡 2 − 82𝑡 + 27≤
Para as raízes temos
3𝑡 2 − 82𝑡 + 27 = 0
Discriminante:
∆ = 82 2 − 4⋅3⋅27 = 6724 − 324 = 6400 ∆ = 80
Raízes:
𝑡 = 82±80 6 𝑡 1 = 26 = 13 , 𝑡 2 = 1626 = 27
Como o coeficiente de 𝑡é positivo, temos:
2 1 3 ≤𝑡≤
Voltando para 𝑥 1 3 ≤ 3
𝑥 ≤
Escrevendo em potências de 3:
3 − ≤ 3 𝑥 ≤ 3 3
Resolvendo o sistema Do (2): 𝑣 =− 3 − 𝑢
Substituindo em (1):
7𝑢 + 3(− 3 − 𝑢) =− 37𝑢 − 9 − 3𝑢 =− 34𝑢 = 6⇒𝑢 = 3 2 𝑣 =− 3 −^
3 2 =−^
9 2
Calculando 2𝑢𝑣
𝑢𝑣 = 32 · (^) ( 92 ) =− 274 2𝑢𝑣 = 2⋅ (^) ( 274 ) =− (^272)
7. GABARITO: C
Para qualquer real 𝐴,
𝐴 2 = ∣𝐴∣
Logo, a equação equivale a:
∣𝑥 2 − 10𝑥 + 16∣ = ∣ − 2𝑥 2
Caso 1: sinais iguais
𝑥 2 − 10𝑥 + 16 = 2𝑥 2 − 20𝑥 + 480 = 𝑥 2 − 10𝑥 + 32∆ = (− 10) 2 − 4⋅1⋅32 = 100 − 128 =− 28 < 0
nenhuma solução real
Caso 2: sinais opostos
𝑥^2 − 10𝑥 + 16 =− (2𝑥^2 − 20𝑥 + 48)𝑥^2 − 10𝑥 + 16 =− 2𝑥^2 + 20𝑥 − 483𝑥^2 − 30𝑥 + 64 = 0∆ = (− 30)^2 − 4⋅3⋅64 =
= 900 − 768 = 132 > 0
duas soluções reais
Total de soluções reais: 2
8. GABARITO: E
Determinando a progressão aritmética Dados: 𝑎 4 = 15 𝑒 𝑎 7 = 27
Na P.A., 𝑎𝑛 = 𝑎 1 + (𝑛 − 1)𝑟.
{𝑎 1 + 3𝑟 = 15 𝑎 1 + 6𝑟 = 27
Subtraindo a primeira da segunda: 3𝑟 = 12⇒𝑟 = 4
Substituindo: 𝑎 1 + 3⋅4 = 15⇒𝑎 1 = 3
Fórmula da soma:
𝑆𝑛 = 𝑛 2 [2𝑎 1 + (𝑛 − 1)𝑟]253 = 𝑛 2 [2⋅3 + (𝑛 − 1)⋅4]253 = 𝑛 2 (6 + 4𝑛 − 4)253 = 𝑛 2 (4𝑛 + 2)253 =
2
- 𝑛 − 253 = 0∆ = 1 + 2024 = 2025𝑛 = −1+ 4 = 11
Agora, considere a P.G. com: 𝑎 1 = 1 𝑒 𝑞 = 2
Fórmula da soma:
𝑆𝑛 = 𝑎 1 𝑞
𝑛− 𝑞−1 𝑆 11 =^
211 − 1 = 2048 − 1 = 2047
9. GABARITO: D
A palavra RESENDE tem 7 letras , com repetição: ● 𝐸aparece 3 vezes ● 𝑅, 𝑆, 𝑁, 𝐷aparecem 1 vez cada
Número total de anagramas Como há repetição de 3 letras 𝐸:
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 7! 3! =^
5040 6 = 840
Anagramas que começam e terminam com E Fixamos: ● primeira letra: 𝐸 ● última letra: 𝐸 Usamos 2 dos 3 𝐸’s. Restam 5 posições para as letras: 𝐸, 𝑅, 𝑆, 𝑁, 𝐷
todas distintas. Número de anagramas favoráveis: 5! = 120
𝑃 = 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎ˊ𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =^
120 840 =^
1 7
10. GABARITO: B
Dados do problema ● Probabilidade de acerto em cada tiro: 𝑝 = 3 4
● Probabilidade de erro: 𝑞 = 1 − 0, 75 = (^14)
● Número de disparos: 𝑛 = 4
A probabilidade de cada acerto é de 34 e de cada erro é de 14 , o número de maneiras de escolher os dois
tiros certos entre os quatro é de (4 2 ) = 6
Aplicando: 4 ( 2 )(0, 75)
2 (0, 25) 2
27 128
11. GABARITO: C
termo geral é:
𝑇𝑘 = (^) ( (^15) 𝑘)(− 1) 𝑘 𝑥 4(15−𝑘)−3𝑘
Queremos: 60 − 7𝑘 = 327𝑘 = 28⇒𝑘 = 4
Coeficiente correspondente Para 𝑘 = 4: 15 ( 4 )(− 1)
4
15 ( 4 )
14. GABARITO: A
Matriz dos coeficientes: 𝐴 = (𝑘 3 𝑘 + 1 3 1 2 2 3 3 )
Calculando o determinante, temos 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |𝑘 3 𝑘 + 1 3 1 2 2 3 3 |
Para o sistema ser SPI: 4𝑘 − 8 = 0⇒𝑘 = 2
A expressão pedida é:
𝑙𝑜𝑔2𝑘(6𝑘 2
Substituindo 𝑘 = 2: ● Base: 2𝑘 = 4 ● Logaritmando: 6𝑘
2
- 8 = 6⋅4 + 8 = 32 Logo: 𝑙𝑜𝑔 4 (32)
Como 4 = 2e , temos:
2 32 = 2
5
𝑙𝑜𝑔 4 (32) = (^52)
15.GABARITO: D
Valor de x na figura abaixo:
2 = 𝑎
2
2 − 2 · 𝑎 · 𝑎 · cos 𝑐𝑜𝑠 1 20°𝑥
2 = 2𝑎
2 − 2𝑎
2 · − 1 ( 2 )𝑥
2 = 2𝑎
2
2 𝑥 = 3 𝑎
Portanto, a distância entre A e C vale:
𝐴𝐶 = 2 3𝑎
16. GABARITO: B
I) Falsa. A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano pode ser: ● uma reta (se a reta não for perpendicular ao plano); ● um ponto (se a reta for perpendicular ao plano). Logo, não é sempre uma reta.
II) Verdadeira. Para retas reversas (não paralelas e não concorrentes), a distância entre elas é definida como o comprimento do segmento da perpendicular comum às duas retas.
III) Verdadeira. ● Se os planos são paralelos , a distância é a medida do segmento perpendicular comum. ● Se os planos são secantes , a distância é zero (não se define distância positiva). Portanto, a distância só é definida quando os planos são paralelos. As afirmações verdadeiras são II e III.
17. GABARITO: B
“O número de arestas excede o número de faces em 5”: 𝐴 = 𝐹 + 5
Cada face tem 3 arestas, e cada aresta é comum a 2 faces: 3𝐹 = 2𝐴
𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2
Da relação 3𝐹 = 2𝐴:
𝐴 = 3𝐹 2
Substituindo em 𝐴 = 𝐹 + 5: 3𝐹 2 = 𝐹 + 53𝐹 = 2𝐹 + 10𝐹 = 10
Então: 𝐴 = 𝐹 + 5 = 15
Aplicando Euler: 𝑉 − 15 + 10 = 2𝑉 − 5 = 2𝑉 = 7
18. GABARITO: E
Observando o ponto de tangencia N, temos que MN é paralelo ao lado BC e M é ponto médio, logo MN é a base média do triângulo, então 𝐵𝐶 = 6𝑐𝑚. Observa-se ainda que 𝐴𝑃 = 𝑃𝑀 = 𝑀𝑄 = 𝑄𝐵 = 3𝑐𝑚, logo 𝐴𝐵 = 12𝑐𝑚. Por Pitágoras:
𝐴𝐶 2
2 = 144 − 36
𝐴𝐶 2 = 108
𝐴𝐶 = 6 3
O centro dessa circunferência é e o raio.
3 ( 2 , 𝑘)
3 2
Cálculo de k:
Como a circunferência é tangente à reta r, a distância do centro à reta é igual ao raio.
Distância do centro (^) ( 32 , 𝑘) à reta 3𝑥 − 4𝑦 = 0.
||3∙ 32 −4∙𝑘||
32 +4^2
3
9 || 2 −4𝑘||
5 =^
3
9−8𝑘 2 || ||
5 =^
3
| 9−8𝑘 |
10 =^
3
Caso 1) 9 − 8𝑘 = 15 ⇔ 𝑘 =− , não convém já que k é positivo.
7 8
Caso 2) 9 − 8𝑘 =− 15⇔𝑘 = 3
21. GABARITO: D
22. GABARITO: A
23. GABARITO: A
24. GABARITO: C
25. GABARITO: C
26. GABARITO: B
27. GABARITO: B
28. GABARITO: D
29. GABARITO: E
30. GABARITO: B
31. GABARITO: E
32. GABARITO: D
33. GABARITO: C
O movimento pela fim da dependência dos burgos com os senhores feudais ficou conhecido como movimento comunal. A Carta de Franquia era o instrumento concedido pelo rei ou obtido pela compra para ter assim autonomia frente aos burgos, cuidado com as definições.
34. GABARITO: D Dentre os argumentos utilizados por Henrique VIII, encontra-se o interesse em anular seu casamento com Catarina de Aragão, sob o argumento de que esta não havia lhe dado herdeiros. Além também de Henrique VIII ter ambicionado as terras da Igreja na Inglaterra. 35. GABARITO: C A afirmativa “III” está errada porque a escola agrarista defende uma visão liberal, ou seja, sem a intervenção do Estado na Economia. A afirmativa “IV” está errada já que o primeiro movimento revolucionário de sucesso com base iluminista foi a Independência das 13 colônias. 36. GABARITO: E O ensino público foi instaurado, favorecendo a propagação das ideias revolucionárias e do pensamento iluminista.
37. GABARITO: A
A Afirmativa “I” está errada porque o Pacto de Varsóvia foi criado em 1955 sendo uma resposta soviética a criação da OTAN que surgiu no ano de 1949. A Afirmativa “V” está errada já que as duas superpotências, EUA e URSS, sofreram críticas sociais pesadas, como no caso americano a luta por direitos civis encabeçada por Martin Luther King e no caso soviético a Revolta da Hungria e a Primavera de Praga.
38. GABARITO: C No caso das colônias portuguesas, a independência foi atrasada devido a forte presença de um estado português ainda marcado pelo regime ditatorial, o que favoreceu a manutenção de suas posses coloniais. Somente com a queda do regime de Salazar é que as colônias portuguesas conseguiram obter suas independências com facilidade. 39. GABARITO: A Gabarito comentado: Frente ao direcionamento apresentado pelo texto, o gabarito só pode ser a Letra A, já que o trecho traz elementos da relação entre a Metrópole e a Colônia e o desenvolvimento do mercado interno da Metrópole. 40. GABARITO: B Dentre as alternativas apresentadas, o único nome que se relaciona com a Revolta de Beckman e a figura de Jorge Sampaio, que inclusive foi enforcado durante a repressão realizada por Portugal na região do Maranhão. 41. GABARITO: B A afirmativa I está errada já que o.movimento adotou provisoriamente a Constituição da Colômbia. A afirmativa IV está errada pois o movimento não tinha interesse no fim da escravidão 42. GABARITO: D Como a Inglaterra foi duramente prejudicada pela determinação da Tarifa Alves Branco, o governo britânico decidiu pela aprovação da Bill Aberdeen , combatendo assim o tráfico de escravizados no Oceano Atlântico, especificamente na rota que levava escravizados ao Brasil, causando uma série de desconfortos com o Império Brasileiro. 43. GABARITO: B A Constituição de 1934 pode ser vista como resultado de uma série de forças que pressionaram Vargas para que esta fosse elaborada, inclusive a ação de paulistas, que insatisfeitos com o Governo Provisório - ao qual Vargas governava como ditador, pois não havia Constituição vigente. Por isso, é possível destacar que a Constituição de 1934 é resultado sim da Revolução Constitucionalista de 1932. 44. GABARITO: E Dentre as premissas do Plano Real, destaca-se o fim do repasse automático da inflação nos salários, garantindo assim uma política de controle inflacionário. 45. GABARITO: B O texto menciona que o "Programa Paralelo" visava desenvolver tecnologia nuclear com potenciais aplicações militares durante o governo militar.
46. GABARITO: C
O texto afirma que a Constituição Federal de 1988 estabelece que toda atividade nuclear será admitida apenas para fins pacíficos.
47. GABARITO: B O texto esclarece que o submarino terá propulsão nuclear, mas carregará torpedos convencionais. 48. GABARITO: C No contexto, "bolstered" significa reforçado ou fortalecido pelos compromissos internacionais. 49. GABARITO: D "It" retoma o "Non-Proliferation Treaty (NPT)" mencionado imediatamente antes no texto.
