Introdução à Estatística Básica: Conceitos Fundamentais e Apresentação de Dados, Exercícios de Estatística Aplicada

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ESTATÍSTICA BÁSICA (PEX502)

AULAS TEÓRICAS

Prof. Alex de Oliveira Ribeiro

Departamento de Estatística - UFLA

LAVRAS

1- INTRODUÇÃO E CONCEITOS BÁSICOS

1.1- INTRODUÇÃO

Ao praticar a atividade científica, o pesquisador se depara com situações onde ele deve analisar e entender um conjunto de dados referente ao seu objeto de estudo. Assim, ele terá que manipular os dados para obter informações, compará-las com outros resultados, ou ainda, julgar sua adequação a alguma teoria. A estatística surge então como uma ferramenta que auxilia o pesquisador neste trabalho, fornecendo metodologias adequadas de coleta, redução, análise e modelagem dos dados. Diante do exposto, podemos entender a estatística como a ciência que se ocupa com as técnicas de coleta, organização, análise e interpretação de dados, tendo um modelo por referência.

1.2- CONCEITOS BÁSICOS

1.2.1- POPULAÇÃO Entende-se por população ao conjunto de elementos que têm uma determinada característica em comum. Uma população pode ser finita quando esta possui um número limitado (ou enumerável) de indivíduos, ou infinita , quando não conseguimos enumerar os seus elementos, uma vez que temos um número ilimitado de indivíduos. Exemplos: Alunos matriculados na UFLA no 2º sem/2016 (POPULAÇÃO FINITA) Peças produzidas por lote (POPULAÇÃO FINITA) Plantas de uma espécie de Pinus (POPULAÇÃO INFINITA) Clientes potenciais de uma empresa (POPULAÇÃO INFINITA) Em complemento, quando coletamos informações de todos os elementos de uma população finita, dizemos que foi realizado um censo. Adotaremos, na disciplina, a notação N para representar a quantidade de elementos em uma população finita.

1.2.2- AMOSTRA

Uma amostra corresponde a um subconjunto ou uma parte da população. A notação que representa o número de elementos de uma amostra é n.

Esta classificação é extremamente importante na análise de dados, uma vez que, o tipo de variável a ser trabalhada é um ponto de partida para se determinar os métodos de análise mais apropriados ou mesmo válidos.

2- APRESENTAÇÃO DE DADOS

2.1- Introdução

Em uma pesquisa, coletamos dados sobre a(s) variável(is) de interesse. Muitas vezes esses dados surgem de forma desordenada através do qual não conseguimos detectar, a primeira vista, um comportamento que mereça uma explicação plausível. Uma das formas de descrever o comportamento dos dados é organizá-los em tabelas ou gráficos.

2.2- Tabelas de Distribuição de Frequências Simples

2.2.1- Conceitos Básicos

a) Frequência: Medida que quantifica a ocorrência dos valores de uma variável. Pode ser classificada em: absoluta (fa), relativa(fr) e percentual (fp). a.1) Frequência Absoluta: para variáveis qualitativas, nada mais é do que o número de observações ocorridas em cada classe da variável sob estudo. a.2) Frequência Relativa: é obtida pela divisão da frequência absoluta pelo número total de dados ou observações. a.3) Frequência Percentual: é calculada multiplicando-se o valor da frequência relativa por 100.

2.2.2- Construção de Tabelas de Distribuição de Frequências

a) Variáveis Qualitativas Exemplo: Em 2006 a Associação Nacional de Comerciantes de Material de Construção (ANAMACO) solicitou uma pesquisa para determinar o perfil de produtos do setor da

construção civil com maior saída nas lojas. Foram visitadas 30 lojas e os produtos mais vendidos em cada uma estão no quadro abaixo. Tintas Tubos Cerâmica Cimento Cimento Argamassa Cimento Tubos Tintas Tubos Tintas Cerâmica Tubos Cerâmica Tintas Cimento Cimento Tintas Cimento Tintas Cimento Cerâmica Cimento Tubos Argamassa Cimento Cimento Tintas Cimento Cimento

Obter: a) as frequências absolutas; b) as frequências relativas; c) as frequências percentuais; d) montar a tabela de distribuição de frequências.

Solução:

a) frequências absolutas (fa): cimento = 12 tintas = 7 tubos = 5 cerâmica = 4 argamassa = 2

b) frequências relativas (fr):

cimento = 12 0, 40 30

 int 7 0, 23 30

t as  

tubos = 5 0, 30

 cerâmicas = 4 0, 30



argamassa = 2 0, 07 30



c) frequências percentuais (fp):

cimento = 0, 40  100 40% t int as  0, 23  100 23% tubos = 0,17  100 17%

Solução: Tabela 2: Distribuição de frequências referente aos níveis de defeito de caixas de transmissão automotivas. Defeitos fa fr fp(%) Leves 10 0,50 50 Moderados 6 0,30 30 Graves 4 0,20 20 Totais 20 1,00 100 Fonte: Dados Fictícios. b) Variáveis Quantitativas Discretas Conjuntos de dados referentes a variáveis quantitativas, de um modo geral, podem ser descritos de duas maneiras:  Distribuição de frequência;  Medidas numéricas descritivas (média, variância, etc). O uso de medidas numéricas descritivas será assunto de capítulos futuros. Quanto às distribuições de frequência de uma variável quantitativa discreta, sua representação é bastante semelhante à das variáveis qualitativas, pois os valores inteiros que a variável assume podem ser considerados como “categorias” ou “classes naturais”.

Exemplo: Durante o mês de setembro de 1995, o número de acidentes por dia em certo trecho da rodovia MG-53 apresentou o seguinte conjunto de dados: 2 0 1 2 3 1 5 1 0 0 1 2 2 1 2 0 1 4 2 3 0 1 0 2 1 2 4 1 1 1 Represente-o através de sua distribuição de frequência. Apresente fa, fr e fp. Tabela 3: Dist. de frequência do no^ de acidentes por dia em um trecho da rodovia 32 no mês de setembro de 1995. No^ de acidentes por dia fa fr fp(%) 0 6 0,20 20 1 11 0,37 37 2 8 0,26 26 3 ou mais 5 0,17 17 TOTAIS 30 1,00 100 Fonte : Dados fictícios.

C) Variáveis Quantitativas Contínuas

A elaboração de uma tabela de distribuição de frequência para variáveis contínuas requer a apresentação de alguns conceitos:

C.1) Amplitude Total: corresponde à diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados. Em geral, é simbolizada por “A”.

C.2) Amplitude de Classe: Consiste na diferença entre o limite superior e o limite inferior de uma classe em uma distribuição de frequência. Será aqui simbolizada por “c” e calculada por:

c A k 1

  onde: k é o número de classe adotado.

 Algoritmo para a Construção de uma Distribuição de Frequência Relativa a uma Variável Quantitativa Contínua

Passo 1: Escolha do número de classes (k) k  n onde: n = número de observações.

Passo 2: Calcula-se a amplitude total dos dados. A = MVO – mvo onde: MVO = maior valor observado. mvo = menor valor observado.

Passo 3: Calcula-se a amplitude de classe c.

c A k 1

 

Passo 4: O limite inferior LI 1 da 1ª classe é obtido por:

3 o^ passo :Amplitude de classe, c=A/(K-1) 4 opasso :LI 1 = mvo-(c/2) 5 o^ passo : calcular os demais limites inferior e superior. 6 o^ passo : calcular fa, fr ou fp.

2.2.3- Frequências Acumuladas

No caso de variáveis contínuas a distribuição de frequência pode ainda ser apresentada de maneira que as frequências passem por uma acumulação sucessiva.

2.3 – Representação gráfica

2.3.1- Gráfico de Barras

Usado para descrever o comportamento de variáveis qualitativas (categóricas) e também para descrever variáveis quantitativas discretas.

Figura 1: Gráfico de barras verticais dos veículos hath médios mais vendidos em 2013.

Figura 2: Gráfico de barras verticais dos veículos hath médios mais vendidos em 2013.

2.3.2- Gráfico de Setores

O gráfico de setores ou gráfico de pizza é um gráfico circular dividido em vários setores (fatias) que representam cada classe da variável qualitativa.

Figura 5: Gráfico de setores para a distribuição de torcedores de times de futebol mineiros observados em uma amostra de 300 indivíduos.

2.3.3- Histograma

É um gráfico de barras verticais (unidas), usado para representar a distribuição de frequências de uma variável quantitativa contínua.

Figura 6: Histograma para a distribuição de frequências da resistência (MPa) de 80 corpos de prova de concreto.

2.3.4- Polígono de frequências

É um gráfico de linhas, utilizado para representar a distribuição de frequências de uma variável quantitativa contínua.

Figura 7: Polígono de frequências para a distribuição da resistência (MPa) de 80 corpos de prova de concreto.

3- MEDIDAS DE POSIÇÃO

3.1- INTRODUÇÃO

As medidas de posição visam sintetizar em um único número o conjunto de dados. Estas podem ser divididas em medidas de tendência central e separatrizes. As mais utilizadas na área de saúde são: a média, a mediana e a moda.

3.2- MÉDIA ARITMÉTICA

A média aritmética, representada por x é obtida a partir da soma de todos os

dados de um conjunto 1

n

 i  Xi , dividida pela sua quantidade n. Ou seja:

1

n i^ Xi x ^  n

Para exemplificar o cálculo da média aritmética, vamos utilizar os seguintes pesos, em kg , de 10 recém-nascidos: 3,2 2,8 3,2 2,1 2,9 3,1 3,2 3,0 3,5 4,

1 3, 2^ 2,8^ 3, 2^ 2,1^ 2,9^ ...^ 4, 0^31 3,

n i^ Xi x  ^ n  ^ ^ ^ ^ ^    kg

Assim, o peso médio desses recém-nascidos é de 3,1 kg.

3.2.1- MÉDIA A PARTIR DE UMA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

Quanto os dados encontram-se agrupados em uma tabela de distribuição de freqüências simples, a média aritmética é calculada utilizando-se a seguinte expressão:

k i i i 1 x fa^ pm  n  

^ ou

k

x  i 1  fri pmi

onde: fai : frequência absoluta da classe i; pmi : ponto médio da classe i; n : tamanho da amostra. fri : frequência relativa da classe i.

Lembrando que: pmi LIi^ LSi 2

^ 

EXEMPLO: Considerando a variável Salário dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, temos os seguintes dados:

Tabela 3.1: Distribuição de Frequências dos 36 empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, por faixas de salário Faixa de Renda (Salários Mínimos) fa^ fr^ pm [ 04; 08 ) 10 0, [ 08; 12 ) 12 [ 12; 16 ) 8 0, [ 16; 20 ) 5 [ 20; 24 ) 1 0, Totais 36 1,

a) Complete a tabela. b) Calcule a renda média desses empregados.

3.4- MEDIANA (Md)

Trata-se do valor que, no conjunto de dados ordenados, é precedido e seguido pelo mesmo número de observações.

Exemplo: Encontre a mediana dos dados a seguir:

3 4 6 8 9 10 37

Md(x) = 8

Quando o número de observações é par, a mediana é definida como a média aritmética dos dois valores centrais.

Exemplo: Encontre a mediana dos dados abaixo:

3 7 8 10 12 25

Md(x) = 8  210 = 9

OBS: Se os dados estiverem agrupados em uma tabela de distribuição de frequências, a mediana será calculada através dos seguintes passos: Passo 1: Divide-se o total de observações por dois. Acumula-se a frequência absoluta, até que este acúmulo ultrapasse a metade dos dados. Esta será a classe que contém a mediana. Passo 2: A mediana é calculada nesta classe através da seguinte expressão:

Md Anterior Md Md

Md(x) LI (n / 2)^ Fa c fa

  ^   

EXEMPLO: Considerando a variável Salário dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, temos os seguintes dados:

Tabela 3.2: Distribuição de Frequências dos 36 empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, por faixas de salário Faixa de Renda (Salários Mínimos)

fa fr

[ 04; 08 ) 10 0, [ 08; 12 ) 12 0, [ 12; 16 ) 8 0, [ 16; 20 ) 5 0, [ 20; 24 ) 1 0, Totais 36 1,

Calcule a mediana desses dados.

PROPRIEDADES: