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Aula 8 Probabilidade: Definições, freqüência relativa e eventos mutuamente exclusivos. Exercícios.
Definições Experimento aleatório é todo experimento que mesmo sendo repetido varias vezes sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis dentre os resultados possíveis.
Exemplos;
- Loteria de números;
- Lançamento de um dado;
- Escolher uma peça defeituosa ao acaso de uma linha de produção onde as peças podem ser boas ou defeituosas;
- Medir resistência de compressão em diversas vigas metálicas
- Medir resistência a tração de barras metálicas
- Uma asa de avião é fixada por um grande número de rebites. Identificar o número de rebites defeituosos.
- Peças são fabricadas até que 5 boas sejam produzidas.
- Um termógrafo é fixado em determinada região onde são feitas leituras constantes durante um período de 24 horas.
- Moss bag (sacos de musgo) são colocados em diferentes áreas próximas a um parque industrial para medição de metais pesados na atmosfera. Após analise química dos musgos, são anotados a concentração de metais.
- Amostras de sedimentos são coletadas em diferentes locais de um Estuário para identificar a concentração de cádmio e chumbo. As amostras são analisadas e os valores são registrados.
- ...
Espaço Amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Normalmente denotado por S, ou U (de “universo”).
Exemplos:
- Lançamento de uma moeda → 㐄 䙨ᠩ, ᠷ䙩, onde C = cara e K = coroa
- Lançamento de um dado perfeito → 㐄 䙨1, 2, 3, 4, 5, 6䙩
- Lançamento de dois dados perfeitos → 㐄 䙨11, 12,㐁㐁㐁 ,21, 22,㐁㐁㐁 ,31, 32,㐁㐁㐁, 41, 42,㐁㐁㐁, 51, 52,㐁㐁㐁 ,65, 66䙩
- Retirar 2 peças de uma linha de produção onde as peças são classificadas como boas (B) ou defeituosas (D) → 㐄 䙨ᠨᠨ, ᠨᠰ, ᠰᠨ, ᠰᠰ䙩
- Examinar em um conjunto de fusíveis e anotar se ele funciona (F) ou não 㐵ᠲ㐹 ፲ 㐄 㐙ᠲ, ᠲ㐣
- Retirar a primeira lâmpada boa de uma caixa onde há 5 defeituosas (F) misturadas com 2 boas (S) ፲ 㐄 䙨ᡅ, ᠲᡅ, ᠲᠲᡅ, ᠲᠲᠲᡅ, ᠲᠲᠲᠲᡅ, ᠲᠲᠲᠲᠲᡅ䙩, onde S = sucesso e F = fracasso
- ...
Evento é todo subconjunto de um espaço amostral. Denotaremos por letra maiúscula do alfabeto latino.
Exemplos: Um experimento consiste em examinar três fusíveis e anotar a seqüência de resultados. O resultado do
experimento é qualquer seqüência de ᠲ (não funciona) e F (funciona).
Espaço amostral → 㐄 㐙ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ㐣 Alguns eventos deste espaço amostral E 1 : os três fusíveis escolhidos funcionam → ᠱ⡩ 㐄 䙨ᠲᠲᠲ䙩
E 2 : pelo menos um funciona → ᠱ⡰ 㐄 㐙ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ㐣
E 3 : no máximo 1 não funciona → ᠱ⡱ 㐄 㐙ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ㐣
E 4 : exatamente um não funciona → ᠱ⡲ 㐄 㐙ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ, ᠲᠲᠲ㐣
Freqüência Relativa – dá uma indicação quantitativa da ocorrência de um evento quando um experimento repetido muitas vezes. Suponha que um experimento – é repetido N vezes. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento – e nA e nB o numero de ocorrência destes eventos. A freqüência relativa do evento A é dado por:
ᡘ。 㐄 ᡦ ᡀ。
A freqüência relativa de A apresenta as seguintes propriedades:
- 0 㐉 ᡘ。 㐉 1
- ᡘ。 㐄 1, se e somente se, A ocorrer em todas as N repetições.
- ᡘ。 㐄 0, se e somente se, A nunca ocorrer nas N repetições.
Probabilidade – seja um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio, e A um evento de. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A é indicada por P(A) e definida por:
ᡂ䙦ᠧ䙧 㐄 ᡦ䙦Ω䙧ᡦ䙦ᠧ䙧
Algumas propriedades
- 0 㐉 ᡂ䙦ᠧ䙧 㐉 1
- ᡂ䙦 䙧 㐄 1
- ᡂ䙦ᒆ䙧 㐄 0
- Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos, então ᡂ䙦ᠧ ᔕ ᠨ䙧 㐄 ᡂ䙦ᠧ䙧 ㎗ ᡂ䙦ᠨ䙧
A (^) B
Ω
- Três disjuntores defeituosos se misturam com sete perfeitos. Três disjuntores são selecionados, ao acaso, e com reposição para um teste. Calcule a probabilidade de: a) Exatamente 2 apresentarem defeitos; b) No máximo 1 apresentar defeito
Solução: Espaço amostral → 㐄 䙨ᠨᠨᠨ, ᠨᠨᠰ, ᠨᠰᠨ, ᠰᠨᠨ, ᠨᠰᠰ, ᠰᠨᠰ, ᠰᠰᠨ, ᠰᠰᠰ䙩 a) ᠱ⡩ 㐄 䙨ᠨᠰᠰ, ᠰᠨᠰ, ᠰᠰᠨ䙩 㙂 ᡂ䙦ᠱ⡩䙧 㐄 107 㐁 103 㐁 103 ㎗ 103 㐁 107 㐁 103 ㎗ 103 㐁 103 㐁 107 㐄 1000189 ᡧᡳ 18,9% b) ᠱ⡰ 㐄 䙨ᠨᠨᠨ, ᠨᠨᠰ, ᠨᠰᠨ, ᠰᠨᠨ䙩 㙂 ᡂ䙦ᠱ⡩䙧 㐄 107 㐁 107 㐁 107 ㎗ 107 㐁 107 㐁 103 ㎗ 107 㐁 103 㐁 107 ㎗ 103 㐁 107 㐁 107 㐄 1000784 ᡧᡳ 78,4%
- Uma urna contem 8 fichas amarelas e 4 pretas. Três fichas são selecionadas aleatoriamente e sem reposição da urna. Calcule a probabilidade de ocorrer: a) Pelo menos 2 apresentarem serem amarelas; b) No mínimo 1 apresentar pretas
Solução: Espaço amostral → 㐄 䙨ᠧᠧᠧ, ᠧᠧᡂ, ᠧᡂᠧ, ᡂᠧᠧ, ᠧᡂᡂ, ᡂᠧᡂ, ᡂᡂᠧ, ᡂᡂᡂ䙩 a) ᠱ⡩ 㐄 䙨ᠧᠧᠧ, ᠧᠧᡂ, ᠧᡂᠧ, ᡂᠧᠧ䙩 㙂 ᡂ䙦ᠱ⡩䙧 㐄 128 㐁 117 㐁 106 ㎗ 128 㐁 117 㐁 104 ㎗ 128 㐁 114 㐁 107 ㎗ 124 㐁 118 㐁 107 㐄^10081320 㐄^4255 ᡧᡳ 76,4% b) ᠱ⡰ 㐄 䙨ᠧᡂᡂ, ᡂᠧᡂ, ᡂᡂᠧ, ᡂᡂᡂ䙩 㙂 ᡂ䙦ᠱ⡩䙧 㐄 128 㐁 114 㐁 103 ㎗ 124 㐁 118 㐁 103 ㎗ 124 㐁 113 㐁 108 ㎗ 124 㐁 113 㐁 102 㐄 1320312 㐄^1355 ᡧᡳ 22,6%
Outro modo de resolver De 12 fichas que estão na urna queremos retirar 3. Logo o número de resultados possíveis é ᠩ⡩⡰;⡱ Evento: ᠱ⡩ 㐄 䙨ᠧᠧᠧ, ᠧᠧᡂ, ᠧᡂᠧ, ᡂᠧᠧ䙩 (AAA) - De 8 fichas amarelas queremos retirar 3. Logo o número de resultados possíveis é ᠩ⡶;⡱ 䙦ᠧᠧᡂ, ᠧᡂᠧ, ᡂᠧᠧ䙧 (^) - De 8 fichas amarelas queremos retirar 2 e de 4 pretas queremos 1. Logo o número de resultados possíveis é ᠩ⡶;⡰ 㐁 ᠩ⡲;⡩. Então:
ᡂ䙦ᠱ⡩䙧 㐄 ᠩᠩ⡶;⡱ ⡩⡰;⡱
㎗ ᠩ⡶;⡰ ᠩ^ 㐁 ᠩ⡲;⡩
⡩⡰;⡱
㐄 22056 ㎗ 28 㐁 4 220 㐄^168220 㐄^4255 ᡧᡳ 76,4%
Evento: ᠱ⡰ 㐄 䙨ᠧᡂᡂ, ᡂᠧᡂ, ᡂᡂᠧ, ᡂᡂᡂ䙩 (ᠧᡂᡂ, ᡂᠧᡂ, ᡂᡂᠧ) - De 8 fichas amarelas queremos retirar 1 e de 4 pretas queremos 2. Logo o número de resultados possíveis é ᠩ⡶;⡩ 㐁 ᠩ⡲;⡰ 䙦ᡂᡂᡂ䙧 - De 4 fichas pretas queremos retirar 3. Logo o número de resultados possíveis é ᠩ⡲;⡱. Então:
ᡂ䙦ᠱ⡰䙧 㐄 ᠩ⡶;⡩ ᠩ^ 㐁 ᠩ⡲;⡰ ⡩⡰;⡱
⡩⡰;⡱
㐄 8 㐁 6 220 ㎗ 2204 㐄 22052 㐄^1355 ᡧᡳ 22,6%
Em muitos casos, o uso das técnicas de análise combinatória facilita a resolução de problemas de probabilidade. Na loteria de números “Megasena” são sorteados 6 dezenas dentre 60 (01 – 60). A probabilidade de um apostador acertar as 6 dezenas sabendo que ele marcou apenas 6 dezenas no cartão é calculado da seguinte forma:
- São sorteadas 6 dezenas dentre 60, portanto o número de resultados possíveis é ᠩ⡴⡨;⡴
- O apostador marcou uma combinação de 6 dezenas, ou seja, ᠩ⡴;⡴
ᡂ䙦ᠳ䙧 㐄 (^) 〄〄ㄢㄖ;ㄢㄢ;ㄢ 㐄 (^) ⡳⡨.⡨⡴⡱.⡶⡴⡨⡩
Ou seja, o apostador tem uma chance em 50.063.860 possibilidades
Um jogador que marca 10 dezenas no cartão quanto deve pagar pela aposta? O apostador marca 10 dezenas, logo, o numero de combinações com 6 dezenas é ᠩ⡩⡨;⡴ 㐄 210. O preço de cada jogo é R$ 1,75, logo, 210 combinações custam 210 · 1,50 = 315. O jogador deve pagar R$ 315,00.
Aplicação da teoria dos conjuntos no calculo de probabilidades Exemplo
- A probabilidade de um guarda de transito aplicar quatro ou mais multas de transito em um dia de trabalho é de 63% e a probabilidade de ele aplicar 4 ou menos multas é de 56%. Qual é a probabilidade de ele aplicar exatamente 4 multas em um dia de trabalho?
Solução Sejam os eventos: E 1 : o guarda aplica quatro ou mais multas de transito em um dia de trabalho 㘹 ᡨ䙦ᠱ⡩䙧 㐄 0, E 2 : o guarda aplica quatro ou menos multas de transito em um dia de trabalho 㘹 ᡨ䙦ᠱ⡰䙧 㐄 0, Temos que: ᡂ䙦ᠱ⡩ ᔕ ᠱ⡰䙧 㐄 ᡂ䙦ᠱ⡩䙧 ㎗ ᡂ䙦ᠱ⡰䙧 ㎘ ᡂ䙦ᠱ⡩ ᔔ ᠱ⡰䙧 1 㐄 0,63 ㎗ 0,56 ㎘ ᡂ䙦ᠱ⡩ ᔔ ᠱ⡰䙧 ᡂ䙦ᠱ⡩ ᔔ ᠱ⡰䙧 㐄 0,19 ᡧᡳ 19%
- Numa determinada cidade há dois provedores de internet: TURBO e GAGOO. Sabe-se que 70% das pessoas utilizam o provedor TURBO, 40% utilizam o GAGOO e 10% não utilizam nenhum deles. Escolhe-se ao acaso um habitante dessa cidade para uma pesquisa. Qual a probabilidade de ele utilizar:
ᒈΩ
ᒈΩ
Exemplo: Um experimento consiste em lançar um dado e observar o valor da face de cima. Determinar a probabilidade de ocorrer a face 5 ou 6.
Solução Espaço amostral 㘹 Ω 㐄 䙨1, 2, 3, 4, 5, 6䙩; ᡦ䙦Ω䙧 㐄 6 Sejam os eventos: E 1 : ocorrer a face 1 㘹 E⡩ 㐄 䙨5䙩 ᡦ䙦ᠱ⡩䙧 㐄 1 E 2 : ocorrer a face 6 㘹 E⡰ 㐄 䙨6䙩^ ᡦ䙦ᠱ⡰䙧 㐄 6 A probabilidade de ocorrer a face 5 ou 6 é dada por P䙦E⡩ ᔕ ᠱ⡰䙧. Pelas propriedades estudadas sabemos que P䙦E⡩ ᔕ ᠱ⡰䙧 㐄 ᡂ䙦E⡩䙧 ㎗ ᡂ䙦ᠱ⡰䙧 ㎘ ᡂ䙦E⡩ ᔔ ᠱ⡰䙧, como a face 5 não ocorre simultaneamente com a face 6, então a intersecção é vazia e ᡂ䙦E⡩ ᔔ ᠱ⡰䙧 㐄 0, logo a probabilidade de ocorrência desta união de eventos é dada pela soma das probabilidades.
P䙦E⡩ ᔕ ᠱ⡰䙧 㐄^16 ㎗^16 㐄^26 㐄^13 ᡧᡳ 33,33%
Produto de Probabilidades A probabilidade de intersecção de eventos é dada pelo produto das probabilidades.
ᡂ䙦E⡩ ᔔ ᠱ⡰䙧 㐄 㔳 ᡂ ᒈ䙦⢉ㄗᔔ〆ㄘ䙧
Exemplo: Uma urna contem 8 fichas pretas e 2 fichas brancas. Um experimento consiste em retirar duas fichas com reposição da urna. Determinar a probabilidade de ocorrer a ficha branca na primeira retirada e ficha preta na segunda retirada.
Solução Espaço amostral 㘹 Ω 㐄 䙨ᡂᡂ, ᡂᠨ, ᠨᡂ, ᠨᠨ䙩 Sejam os eventos: E 1 : ocorrer ficha branca na primeira retirada E 2 : ocorrer ficha preta na segunda retirada E: ocorrer ficha branca na branca na 1ª retirada e preta na 2ª retirada 㘹 E 㐄 䙨ᠨᡂ䙩 ᡂ䙦ᠱ䙧 㐄 ᡂ䙦ᠱ⡩ ᔔ ᠱ⡰䙧 㐄 102 㐁 108 㐄 10016 㐄 254 ou 16%
Propriedade da soma de probabilidades De acordo com as propriedades de probabilidade verificamos que o somatorio das probabilidade de todos os eventos de um espaço amostral é igual a 1. Vamos verificar esta propriedade através de um exemplo prático.
Em uma caixa contendo 16 lâmpadas boas foram colocadas, por engano, 4 lâmpadas queimadas. Um experimento consiste em retirar simultaneamente (sem reposição) duas lampadas da caixa e testá-las. Os resultados possiveis do experimento são Ω 㐄 䙨ᠨᠨ, ᠨᡃ, ᡃᠨ, ᡃᡃ䙩, onde B = boa e Q = queimada. A probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos é:
P䙦BB䙧 㐄^1620 㐁^1519 㐄^240380
P䙦BQ䙧 㐄^1620 㐁 194 㐄 38064
P䙦QB䙧 㐄 204 㐁^1619 㐄 38064
P䙦QQ䙧 㐄 204 㐁 193 㐄 38012
A probabilidade de união dos eventos é:
P䙦BB ᔕ BQ ᔕ QB ᔕ QQ䙧 㐄^240380 ㎗ 38064 ㎗ 38064 ㎗ 38012 㐄^380380 㐄 1
Exercícios
- Defina o espaço amostral de cada um dos seguintes eventos: a) Lança-se dois dados e anota-se a configuração obtida b) Conta-se o número de peças defeituosas durante 1 hora produzidas por uma máquina c) Em uma entrevista com 5 funcionarios de um escritorio pergunta-se se eles fumam ou não. d) De um grupo de 6 pessoas soteiam-se duas, uma após a outra e anota-se a configuração obtida. e) Dois algarismos são escolhidos dentre os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, para a composição de uma senha. Anota-se as configurações obtidas
- Em uma caixa com 45 peças boas foram misturadas, por engano, 5 peças com defeito. Um operário escolheu aleatóriamente 2 peças, uma a uma e sem reposição. Qual a probabilidade de: a) ambas as peças serem defeituosas? b) Pelo menos uma peça ser defeituosa? c) Exatamente uma peça ser defeituosa
- Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja: a) par; b) ímpar; c) par e maior que 10; d) primo e maior que 3; e) múltiplo de 3 e 5. f) Divisor de 20
temperatura atinge 60 あᠩ Se pelo menos uma das células entrarem em funcionamento a alarme soa. Calcular a probabilidade d o alarme soar quando a temperatura atingir 60 あᠩ.
- Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam futebol e 30% praticam natação. Dentre os que praticam futebol, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não praticam nenhum dos dois esportes?
- A inspeção visual de juntas de solda em placas de circuitos impressos pode ser bastante subjetiva. Parte do problema se origina dos diversos tipos de defeitos de soldas (por exemplo, falta solda em pontos variados) e até da quantidade de um ou mais desses defeitos. Conseqüentemente, até mesmo inspetores altamente treinados podem discordar sobre a disposição de uma junta. Em um lote de 10.000 juntas, o inspetor A encontrou 724 que julgou defeituosas, o inspetor B encontrou 751. Foram encontradas 1.159 por ao menos um dos dois inspetores. Suponha que uma dessas 10.000 juntas seja selecionada aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de que a junta selecionada não seja julgada defeituosa por nenhum dos dois inspetores? b) Qual é a probabilidade de que a junta selecionada seja julgada defeituosa pelo inspetor B, mas não pelo inspetor A?
- No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine a probabilidade de cada um dos eventos seguintes: a) A soma ser par; b) A soma ser ímpar; c) A soma ser múltiplo de 3; d) A soma ser número primo; e) A soma ser maior ou igual a 7; f) A soma ser maior que 12.
- O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião. Sexo Estado civíl
H M
Casado 10 8 Solteiro 5 3 Desquitado 7 5 Divorciado 8 4
Uma pessoa é sorteada as acaso. Determine a probabilidade dos eventos: a) Ser um homem;
b) Ser uma mulher; c) Ser uma pessoa casada; d) Ser uma pessoa solteira; e) Ser uma pessoa desquitada; f) Ser uma pessoa divorciada.
- O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres, segundo o estado civil e a cor dos cabelos: Cor dos cabelos Estado civíl Loira^ Morena^ Ruiva Casada 5 8 3 Solteira 2 4 1 Viúva 0 1 1 Divorciada 3 1 1
Uma mulher é sorteada neste grupo. Determine a probabilidade dos eventos: a) Ser casada; b) Não ser loira; c) Não ser morena nem ruiva; d) Ser viúva; e) Ser solteira ou casada; f) Ser loira e casada; g) Ser morena e solteira; h) Ser viúva e ruiva.
- Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada (1 a 20). Determine a probabilidade dos seguintes eventos: a) Ser sorteado um número par; b) Não ser sorteado múltiplo de 5; c) Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3; d) Ser sorteado um número menor que 7 e múltiplo de 4; e) Ser sorteado um número menor que 13, maior que 8 e múltiplo de 7; f) Ser sorteado um número real. g) Ser sorteado um número divisor de 18. h) Ser sorteado um número primo ou maior do que 10
