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0.1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
0.1 Análise Exploratória de Dados
- Classi que cada variável abaixo em qualitativa e quantitativa, e informe a mensu- ração mais adequada (nominal, ordinal, discreta ou contínua):
(a) As respostas de sondagem em um questionário: sim, não, e indeciso. (b) As cores dos carros dirigidos por estudantes de uma faculdade. (c) A produção leiteira de um município. (d) Faturamento diário em uma loja de confecções. (e) Nacionalidade dos atletas de uma olimpíada. (f) Tamanho das camisas em um mostruário. (g) Temperatura no início de um dia. (h) Número de reclamações diárias em um SIAC. (i) Classi cação da categoria de hotéis (uma, duas, três, quatro ou cinco estrelas). (j) Marca dos computadores utilizados pelos alunos de uma turma de fundamentos de estatística.
- Diga quais das variáveis abaixo são discretas e quais são contínuas:
(a) Quantidade de livros retirados em uma biblioteca durante o mês de março. (b) Peso dos recém-nascidos em uma maternidade. (c) Distância existente entre os municípios de Lajeado e Encantado. (d) Número de clientes atendidos em uma loja de telefonia em um determinado mês. (e) Altura dos alunos da turma. (f) Número de aparelhos eletrônicos com defeitos produzidos mensalmente. (g) Faturamento diário da loja de vestuário feminino. (h) Acidentes de trabalho ocorridos durante o último ano. (i) Número de consultas anuais realizadas por pacientes que apresentam plano de saúde. (j) Produção agrícola em toneladas
- Realizou-se um estudo sobre a opinião dos alunos acerca da qualidade das refeições que lhes foram servidas numa determinada cantina. Os resultados obtidos foram:
Qualidade das refeições N.º de alunos De ciente 1 Normal 9 Boa 27 Muito boa 13 50
(a) De na e classi que a variável em estudo. (b) Diga o que representa o valor 50. (c) Qual é a percentagem de alunos que considera a qualidade das refeições boa?
0.1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
(d) Represente gra camente a distribuição. (e) Calcule as medidas de tendência central adequadas para esta distribuição. (f) Numa frase simples, procure explicar qual é a opinião destes alunos sobre a qualidade das refeições servidas na referida cantina.
- Considere os resultados nais de Estatística de 20 estudantes de uma Universidade:
9 14 12 8 14 12 16 16 8 14 11 12 12 11 11 18 14 18 15 15
(a) Os dados em estudo são de tipo qualitativo ou quantitativo? (b) Construa a tabela de frequências. (c) Represente gra camente a informação. (d) Calcule as medidas: média, mediana e moda. (e) Calcule a variância e o desvio padrão. (f) Calcule e interprete o coe ciente de variação. (g) Calcule a amplitude da amostra e a amplitude interquartil. (h) Calcule o valor do percentil 48 e do 8º decil. (i) Represente os dados numa caixa de bigodes. (j) Estude a distribuição quanto à assimetria e achatamento. (k) Elabore um pequeno texto que integre toda a informação anterior, sem esquecer de referir o que pode dizer sobre a existência de valores atípicos.
- Foi feito um inquérito a novo grupo de utentes (40) de um posto de saúde para determinar quantas consultas requereram durante o primeiro ano de utilização desse posto de saúde. Obtiveram-se os seguintes resultados:
1 4 1 2 2 3 3 2 1 2 5 1 2 4 2 1 3 1 0 1 3 2 3 1 0 1 2 7 4 3 2 1 1 3 1 0 4 2 3 5
(a) Construa a tabela de frequências. (b) Construa um grá co para as frequências absolutas. (c) Represente gra camente as frequências relativas acumuladas.
- Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios públicos:
N.º de avarias 0 1 2 3 4 5 Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação grá ca das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas. (b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda
- 100 famílias do país A e 150 do país B foram classi cadas segundo o número de lhos, tendo-se obtido os seguintes valores:
n.º de lhos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n.º de famílias do país A 11 13 20 25 14 10 4 2 1 n.º de famílias do país B 20 32 31 30 10 10 9 8 0
0.1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
(d) Comente a proposição: Mais de metade das famílias têm rendimento coletável superior à média. (e) Complete as seguintes a rmações: i. 90% das famílias têm um rendimento coletável inferior a... u. m.. ii. ... % das famílias têm um rendimento coletável superior a 8000 u. m..
- A tabela seguinte representa os tempos que 100 utentes de um serviço de urgência demoraram a ser atendidos:
Tempo (em min) 5 a 9 10 a 14 15 a 19 20 a 24 25 a 29 30 a 34 35 a 39 Frequências 1 10 37 36 13 2 1
(a) Calcule a média, a mediana e a moda. Compare os valores obtidos. (b) Diga, sem efetuar mais cálculos, qual o valor do 2º quartil e interprete o valor obtido. (c) Calcule o desvio padrão e a variância. (d) Determine os graus de assimetria de Bowley e de Pearson.
- Inserido num estudo da avaliação da obesidade em Portugal, mediu-se o perímetro torácico (em cm) de 210 indivíduos, tendo-se posteriormente agrupado os dados na seguinte tabela: Classes [75, 80[ [80, 85[ [85, 90[ [90, 95[ [95, 100[ [100, 105[ [105, 110[ [110, 115[ ni 11 43 77 50 14 8 5 2
(a) Calcule a média, moda e mediana. (b) Determine o desvio padrão. (c) Qual a proporção de indivíduos que têm um perímetro torácico superior ou igual a 100 cm?
- O futebol é um jogo bastante popular em diversos países. Seguidamente apresentam-se os resultados obtidos no SPSS, em 70 jogos de futebol, relativos ao tempo útil de jogo. Com base na informação disponibilizada ( gura 1):
(a) Construa a tabela de frequências. (b) Desenhe a caixa de bigodes correspondente. (c) Complete a seguinte a rmação: 75% dos jogos tiveram tempo útil de jogo superior a ... (d) Qual a tempo útil médio por jogo? E o mais habitual? (e) Considera que a média é representativa dos dados? Justi que. (f) Registou-se uma maior frequência de jogos com tempo útil de jogo elevado do que com tempo útil de jogo baixo. Concorda com a a rmação? Justi que. (g) Estude a distribuição quanto ao achatamento e interprete o seu signi cado.
0.1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
Figura 1
- No quadro seguinte, indicam-se os preços (X) dum bem alimentar (em unidades monetárias) praticados durante 12 meses consecutivos e as quantidades vendidas (Y ).
x 110 90 80 76 74 71 70 65 63 60 55 50 y 55 70 90 100 90 105 80 110 125 115 130 131
(a) Represente gra camente a informação disponibilizada.
(b) Através da análise grá ca, parece-lhe existir relação linear entre as duas variá- veis?
(c) Calcule e interprete o valor do coe ciente de correlação linear de Pearson.
- O departamento de qualidade de um determinado hospital, pretende fazer um estudo sobre o tempo que os utentes encaminhados para cirurgia pelos seus médicos de família demoram a ser efetivamente operados. Estes utentes são primeiro chamados a comparecer a uma consulta de referência no hospital (X dias após o encaminhamento) e só posteriormente são operados (X dias após a consulta de referência). Escolheram-se aleatoriamente 15 utentes nestas condições, tendo sido reportados os seguintes tempos de espera:
x 69 76 51 34 62 13 40 7 64 41 64 26 40 44 48 y 28 64 7 26 38 18 40 20 44 32 31 32 36 25 73 Considera que estes tempos estão correlacionados? Calcule e interprete o valor do coe ciente de correlação mais indicado.
- Pretende-se avaliar a relação entre o tempo de resolução de puzzles e a aptidão para o raciocínio matemático. Para tal, pediu-se a um grupo de 10 alunos do 1º ciclo para resolver um determinado puzzle. Na tabela seguinte apresentam-se os resultados obtidos para cada um dos alunos relativamente ao tempo de resolução do puzzle e a nota obtida em matemática.
0.2. PROBABILIDADES
- Extraem-se 4 cartas de um baralho com 52 cartas. Qual é a probabilidade de que 2 sejam pretas e 2 vermelhas?
- Quatro números são escolhidos ao acaso, sem reposição, do conjunto { 0 , 1 , 2 , ..., 9 }. Calcule as probabilidades de que:
(a) Os quatro números formem uma seguida (por exemplo, 2 , 3 , 4 , 5 ) (b) Todos sejam maior que 5 (c) O número 0 seja escolhido (d) pelo menos um seja maior que 7. (e) Todos sejam ímpares.
- Qual é a probabilidade de que os aniversários de doze pessoas sejam em meses diferentes? E a probabilidade de que os aniversários de quatro pessoas sejam em dois meses?
- Uma pessoa possui 5 livros diferentes de Matemática, 2 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física, que serão dispostos aleatoriamente em uma prateleira. Calcule as probabilidades de que
(a) Os livros de cada assunto quem juntos (b) os livros de Matemática não quem todos juntos (c) os livros de Física quem todos separados. (d) os livros de um mesmo assunto apareçam em ordem alfabética, mas não neces- sariamente adjacentes,
- Uma caixa contém 40 bolas vermelhas e 3 azuis. São retiradas 3 bolas ao acaso e então uma bola é selecionada das restantes. Qual a probabilidade de que essa bola seja vermelha?
- Distribuimos 12 bolas em 5 caixas numeradas 1 , 2 , 3 , 4 , 5. Calcule a probabilidade da caixa 1 conter execatamente 3 bolas se
(a) as bolas são distinguíveis (b) as bolas são indistinguíveis
- Uma caixa contém 40 parafusos bons e 10 defeituosos. Seleciona-se uma amostra de 5 parafusos. Calcule as probabilidade dos seguintes acontecimentos:
(a) Nenhum parafuso na amostra é defeituoso (b) Nenhum, um ou dois parafusos na amostra são defeituoso (c) A amostra contém pelo menos um parafuso bom
- Seja A e B dois acontecimentos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) = 12 , P (B) = 14 e P (A ∩ B) = 15. Calcule as probabilidade dos seguintes acontecimentos:
(a) A não ocorra. (b) B não ocorra. (c) Pelo menos um de A e B ocorre. (d) A não corre e B sim.
0.2. PROBABILIDADES
(e) B não corre e A sim. (f) Não ocorra nenhum de A e B. (g) Pelo menos um de A e B não ocorra.
- Em uma escola, 60% dos estudantes não usam anel nem colar; 20% usam anel e 30% colar. Se um aluno é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que esteja usando:
(a) pelo menos uma das joias? (b) ambas as joias? (c) um anel mas não um colar?
- Da população de uma cidade, 8% fumam cigarro, 7% fumam charuto e 5% ambos. Calcule a percentagem da população
(a) que não fuma nem cigarro nem charuto (b) que fuma charuto mas não cigarro
- Uma escola oferece três cursos optativos de ideomas: espanhol, francês e alemão. As turmas são abertas a qualquer um dos 100 alunos matriculados. Há 28 estudantes na turma de espanhol, 26 na turma de francês e 16 na turma de alemão. Há 12 alunos no curso de espanhol e francês, 4 fazendo espanhol e alemão, e 6 francês e alemão. Além disso, 2 estudantes acompanham os três cursos.
(a) Se um alunos é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que não acompanhe nenhum dos cursos? (b) Se um estudante é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que esteja fazendo exactamente um dos cursos? (c) Se dois alunos são escolhidos ao caso, qual a probabilidade de que pelo menos um deles esteja cursando uma língua?
- Na Britolândia existem no mercado três operadoras de telemóvel, A, B e C, com as seguintes percentagens de adesão:
P (A) = P (B) = P (C) = 14 , P (A ∩ B) = P (C ∩ C) = 0, P (A ∩ C) = 18
Calcule a probabilidade de um indivíduo, escolhido ao acaso, ser aderente de pelo menos uma das operadoras.
- Sejam A e B acontecimentos tais que P (A) = 0, 2 , P (B) = p e P (A ∪ B) = 0, 66 Calcule p considerando A e B:
(a) Mutuamente exclusivos. (b) Independentes.
- Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ter nota positiva em cada um é de 1 2 e os resultados são independentes. Calcule a probabilidade de ter nota positiva: (a) Em pelo menos um exame. (b) Exatamente um exame.
0.3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
(a) A sensibilidade do teste (probabilidade do teste dar positivo, sabendo que os indivíduos estavam infectados); (b) A especi cidade do teste (probabilidade do teste dar negativo sabendo que os indivíduos eram saudáveis); (c) Os falsos positivos (probabilidade do teste dar positivo sabendo que os indiví- duos eram saudáveis); (d) Os falsos negativos (probabilidade do teste dar negativo sabendo que os indi- víduos estavam infectados).
- Num estudo de patologias esqueléticas traumáticas em 280 cavalos de corrida veri cou- se o seguinte:
Lesões
Sexo Fêmea Macho Articulares 93 86 Tendinosas 26 26 Musculares 19 13 Fraturas 2 12
(a) Escolhido um animal ao acaso qual a probabilidade de ser fêmea? (b) Sabendo-se que um animal teve uma lesão articular, qual a probabilidade de ser macho? (c) Considere os acontecimentos "ser macho"e teve fratura. Verique a indepen- dência destes dois eventos.
0.3 Variáveis Aleatórias
