Instituto de Matemática - Universidade Federal da Bahia (UFBA) - Semestre 2021.2
Atividade Extra - Problemas de Otimização
Discentes: Diogo Beraldo, Isaias Fernandes, Juliane Carvalho e Tauana Silva;
1ª Etapa: Questão 51. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume
de 32.000 cm³. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de
papelão utilizado.
Sabemos que para encontrar o valor do
volume da caixa é necessário multiplicar as
seguintes variáveis: comprimento, largura e
altura, assim podemos montar a equação: V =
xyz (1).
A equação da área total pode ser dada por:
A = xy + 2xz + 2yz ou A = xy + 2z(x + y)
(2).
Isolando o ‘z’ da equação (1) temos: z = V/xy (3), e substituindo (3) em (2)
ficamos com a equação:
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 2·32000 (𝑥+𝑦)
𝑥𝑦 ⇒𝑥𝑦 + 64000𝑥
𝑥𝑦 +64000𝑦
𝑥𝑦
(4).
⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 64000·(𝑦 −1 + 𝑥 −1)
Derivando a função (4) em x e y:
fx= y - 64000 x -2 (5)
fy= x - 64000 y -2 (6)
Igualando a equação (5) a zero temos que y = e substituindo em (6), temos
64000
𝑥2
que: x = 64000 x = x4x³ = 64000 x = 40 e substituindo o valor
64000
(64000
𝑥2)2⇒ ⇒ ⇒
encontrado de ‘x’ na equação (5), obtivemos y = 40.
Com a equação (3) e com os valores encontrados de x e y podemos determinar o
valor de ‘z’: z = = 20, logo esse é o ponto mínimo.
32000
(40·40)
Assim, as dimensões que minimizam a quantidade de papelão utilizado são x = y
= 40 cm e z = 20 cm.
MATA03 - Cálculo B
