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Disciplina: M´etodos Num´ericos Professor: F´abio Gon¸calves
Lista de Exerc´ıcios # 1
Quest˜oes relativas `a Introdu¸c˜ao aos M´etodos Num´ericos.
Quest˜ao 1: Converta os seguintes n´umeros da base bin´aria para sua forma decimal.
1.1) (1011011) 2 1.2) (0, 1101) 2 1.3)^ (1011011,^ 1101)^2
Quest˜ao 2: Converta os seguintes n´umeros da base decimal para a base bin´aria.
Quest˜ao 3: Considere um ambiente computacional de aritm´etica de ponto flutuante com a restri¸c˜ao de somente 5 d´ıgitos para a mantissa (parte fracion´aria) e 5 d´ıgitos para o expoente na base decimal. Observe que os n´umeros
x = 0, 7237 · 106 , y = 0, 2145 · 10 −^3 e z = 0, 2585 · 101 ,
podem ser representados exatamente nesse ambiente computacional. Verifique se os seguintes n´umeros tamb´em podem ser representados exatamente no referido ambiente computacional. Caso n˜ao seja poss´ıvel, insira uma barra vertical em cima dos valores aproximados e calcule o erro absoluto cometido ao comparar com os valores exatos. Por exemplo, x + y ´e exatamente 0, 723700000215 · 105 mas no ambiente computacional do enunciado ´e x + y = 0, 72370 · 105 e o erro absoluto cometido ´e Ea = 0, 215 · 10 −^4.
3.1) x + z
3.2) y − z
3.3) x/y
3.4) x · y
Quest˜oes relativas ao c´alculo de zeros de fun¸c˜oes.
Quest˜ao 4: Aplique o M´etodo da Bissec¸c˜ao para encontrar um valor aproximado do zero da fun¸c˜ao f (x) = cos(x) + sen(x) no intervalo [0, 4]. Use o erro tolerado = 10−^3 , fixe os n´umeros em 5 casas decimais usando arredondamento e responda:
4.1) Qual o valor da aproxima¸c˜ao?
4.2) Quantas itera¸c˜oes foram necess´arias?
Quest˜ao 5: Encontre a ra´ız c´ubica de 31 usando o m´etodo da bissec¸c˜ao.
Quest˜ao 6: Refa¸ca o exerc´ıcio 4 aplicando o m´etodo de Newton-Raphson com valor inicial dado por um dos extremos do intervalo de busca.
Quest˜ao 7: Compare os resultados obtidos nas quest˜oes 4 e 6.
Quest˜ao 8: Encontre a ra´ız c´ubica de 31 usando o m´etodo de Newton-Raphson.
Quest˜ao 9: Aplique o M´etodo da Bissec¸c˜ao para encontrar um valor aproximado da raiz do polinˆomio p(x) = x^3 −x−1 no intervalo [1, 2] com uma precis˜ao de no m´ınimo 4 casas decimais. Em seguida, responda:
9.1) Qual o valor da aproxima¸c˜ao?
9.2) Quantas itera¸c˜oes foram necess´arias?
Quest˜ao 10: Refa¸ca o exerc´ıcio anterior aplicando desta vez o m´etodo de Newton-Raphson com valor inicial x 0 = 1.
Quest˜ao 11: Compare os resultados obtidos nas quest˜oes 9 e 10.
Quest˜ao 12: Calcule a ra´ız quadrada de 15 com no m´ınimo 4 algarismos significativos exatos.
Quest˜ao 13: Seja f (x) uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e suponha que exista um r ∈ [a, b] tal que f (r) = 0. Partindo-se do intervalo fechado [a, b], o m´etodo da bissec¸c˜ao gera uma sequˆencia (xk)k∈IN de candidatos `a raiz. Verifique que o erro cometido em cada passo de itera¸c˜ao k ´e menor do que (b − a)/ 2 k. Obtenha uma f´ormula para estimar o n´umero de itera¸c˜oes que o m´etodo da bissec¸c˜ao necessita para encontrar um valor xi tal que |xi − r| < , onde ´e conhecido.
