Baixe Exercícios de exames e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Geometria (11.o^ ano)
Trigonometria
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Na figura seguinte, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia centrada na origem e de raio 1 , o triˆangulo [ABC] e a reta de equa¸c˜ao x = 1.
Sabe-se que:
- o ponto A pertence `a circunferˆencia;
- o ponto B pertence `a reta de equa¸c˜ao x = 1 ;
- o ponto O pertence `a reta AB ;
- α ´e a inclina¸c˜ao, em radianos, da reta AB ,
α ∈
] (^) π 2
,π
[ )
- o ponto C pertence ao semieixo positivo Oy ;
- a reta AC ´e paralela ao eixo Ox.
Mostre que a ´area do triˆangulo [ABC] ´e dada, em fun¸c˜ao de α, por sen α
1 − cos α
A
x
y
O 1
C
B
α
Exame – 2025, 2.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, o quadril´atero [ABCD] e a circunferˆencia de centro em O e raio 4.
Sabe-se que:
- o segmento de reta [AC] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- α ´e a inclina¸c˜ao, em radianos, da reta AC
α ∈
] (^) π 2
,π
[)
- o ponto B pertence ao semieixo negativo Ox, e o ponto D pertence ao semieixo positivo Ox ;
- as retas AB e CD s˜ao paralelas ao eixo Oy.
Mostre que a ´area do quadril´atero [ABCD] ´e dada pela express˜ao −32 sen α cos α.
C
x
y
O
A
D
B
α
Exame – 2024, Ep. especial (adaptado)´
- Na figura ao lado, est˜ao representadas, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia de centro em O e raio 2 e uma regi˜ao sombreada composta pelo trap´ezio [OBCD], retˆangulo em C e em D, e pelo sector circular correspondente ao ˆangulo orientado AOB, de amplitude α, em radianos, com α ∈
]
π 2
[
, e raio OA.
Sabe-se que:
- o ponto A pertence `a circunferˆencia e ao semieixo positivo Ox;
- os pontos B e C pertencem `a circunferˆencia, sendo C o sim´etrico de B, em rela¸c˜ao ao eixo Oy.
D x
y
O
B
α A
C
Mostre que a ´area da regi˜ao sombreada ´e dada, em fun¸c˜ao de α, pela express˜ao
2 α + 6 sen α cos α
Exame – 2024, 1.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia trigonom´etrica, o triˆangulo [ABC] e a reta de equa¸c˜ao x = 1.
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (1,0);
- o ponto B pertence `a reta de equa¸c˜ao x = 1;
- C ´e o ponto de intersec¸c˜ao da semirreta OB˙ com a circunferˆencia trigonom´etrica;
- A OBˆ = α, 0 < α <
π 2
e cos α =
Determine a ´area do triˆangulo [ABC].
A
x
y
O
C
B
α
Exame – 2023, Ep. especial´
- Na figura seguinte, est´a representado, num referencial o.n. xOy, o arco de circunferˆencia AB, contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, cujo centro ´e a origem do referencial e cujo raio ´e igual a r (r > 0).
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto B pertence ao eixo Oy
Seja P um ponto do arco AB, distinto de A e de B, e seja d o comprimento do arco AP
O ponto S pertence ao eixo das ordenadas e tem ordenada igual a do ponto P. O ponto T pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa iguala do ponto P
Mostre que uma express˜ao que d´a o valor de BS + T A, em fun¸c˜ao de d e de r, ´e r
2 − sen
d r
− cos
d r
)) x
y
O
d
A
B
S
P
T
Exame – 2021, Ep. especial´
- Sabe-se que sen
α −
π 2
e que α ∈
]
π 2
[
Determine, sem recorrer `a calculadora, o valor de tg (π − α) + 2 cos
7 π 2
Apresente o resultado na forma
a
b c
, a ∈ Z, b ∈ N e c ∈ N
Exame – 2021, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, a circunferˆencia de centro em O e raio 3 e o triˆangulo [ABC]
Sabe-se que:
- o segmento de reta [AB] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- α ´e a inclina¸c˜ao da reta AB,
α ∈
] (^) π 2
,π
[)
- o ponto C pertence ao semieixo positivo Ox
- a reta BC ´e paralela ao eixo Oy
Mostre que a ´area do triˆangulo [ABC] ´e dada pela express˜ao
−9 sen α cos α
B
x
y
O
A
α C
Exame – 2021, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, a circunferˆencia trigonom´etrica, a reta r de equa¸c˜ao x = 1, e um ponto A, de ordenada a (a > 1), pertencente `a reta r
Est´a tamb´em representada a semirreta OA˙ , que intersecta a cir- cunferˆencia trigonom´etrica no ponto B
Qual das express˜oes seguintes d´a, em fun¸c˜ao de a, a abcissa do ponto B?
(A)
a^2 + 1
(B)
a^2 + 1
(C)
a^2 − 1
(D)
a^2 − 1
x
y
O
r
a (^) A B
Exame – 2020, 1.a^ Fase
- Qual ´e o valor de sen
3 arccos
(A)
(B)
(C) 0 (D) 1
Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Qual ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 2 cos x + 1 = 0 no intervalo [−π, 0]?
(A) −
5 π 6
(B) −
2 π 3
(C) −
π 3
(D) −
2 π 6 Exame – 2019, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo [ABC]
Sabe-se que:
- AC = 5
- B ACˆ = 57◦
- A BCˆ = 81◦ Qual ´e o valor de AB, arredondado `as cent´esimas?
(A) 3 , 31 (B) 3 , 35 (C) 3 , 39 (D) 3 , 43
B
A
C
Exame – 2018, 2.a^ Fase
- Qual ´e o valor de arcsen(1) + arccos
(A)
7 π 6
(B)
π 6
(C)
3 π 4
(D)
π 4
Exame – 2018, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado o c´ırculo trigonom´etrico.
Sabe-se que:
- o ponto A pertence ao primeiro quadrante e `a circunferˆencia;
- o ponto B pertence ao eixo Ox
- o ponto C tem coordenadas (1,0)
- o ponto D pertence `a semirreta OA˙
- os segmentos de reta [AB] e [DC] s˜ao paralelos ao eixo Oy
Seja α a amplitude do ˆangulo COD
α ∈
]
π 2
[ )
Qual das express˜oes seguintes d´a a ´area do quadril´atero [ABCD], representado a sombreado, em fun¸c˜ao de α?
D
x
y
O
α
A
B C
(A) tg α − sen α cos α (B) tg α − sen α cos α 2
(C)
tg α 2
− sen α cos α (D) tg α −
sen α cos α 2 Exame – 2015, 1.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado, est˜ao representadas, num referen- cial o.n. xOy, a circunferˆencia de centro O e a reta r
Sabe-se que:
- os pontos A e B pertencem `a circunferˆencia;
- o ponto B tem coordenadas (0,1)
- a reta r ´e tangente `a circunferˆencia no ponto B
- o ponto C ´e o ponto de interse¸c˜ao da reta r com a semirreta OA˙
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOB, com α ∈
]
π 2
[
B
O x
y
r
α
C
A
Qual das express˜oes seguintes representa, em fun¸c˜ao de α, a ´area da regi˜ao a sombreado?
(A)
sen α − α 2
(B)
tg α − α 2
(C)
tg α 2
(D)
α 2 Exame – 2014, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est˜ao representados uma circunferˆencia de centro O e raio 2 e os pontos P , Q, R e S
Sabe-se que:
- os pontos P , Q, R e S pertencem `a circunferˆencia;
- [P R] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- P Q = P S
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo QP R
- α ∈
]
π 2
[
α
R
P
Q S
O
20.1. Mostre que a ´area do quadril´atero [P QRS], ´e dada em fun¸c˜ao de α, pela express˜ao
16 sen α cos α
20.2. Para um certo n´umero real θ, com θ ∈
]
π 2
[
, tem-se que tg θ = 2
Determine o valor exato da ´area do quadril´atero [P QRS] correspondente ao n´umero real θ, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2014, 2.a^ Fase (adaptado)
- Na figura seguinte, est´a representada, num referencial o.n. xOy, uma circunferˆencia de centro O e raio 1
Sabe-se que:
- os pontos A e B pertencem `a circunferˆencia;
- o ponto A tem coordenadas (1,0)
- os pontos B e C tˆem a mesma abcissa;
- o ponto C tem ordenada zero;
- o ponto D tem coordenadas (− 3 ,0)
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOB, com α ∈
] (^) π 2
,π
[
C x
y
O
α
B
D A
Qual das express˜oes seguintes representa, em fun¸c˜ao de α, a ´area do triˆangulo [BCD]?
(A)
(− 3 − sen α) cos α (B)
(−3 + sen α) cos α
(C)
(3 + cos α) sen α (D)
(3 − cos α) sen α
Exame – 2014, 1.a^ Fase
- Qual das express˜] oes seguintes designa um n´umero real positivo, para qualquer x pertencente ao intervalo
π,
3 π 2
[
(A) sen x + cos x (B)
cos x tg x
(C) tg x − sen x (D) sen x × tg x
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 11.03.
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, o triˆangulo [OAB] e a reta r Sabe-se que:
- a reta r ´e definida por x = − 3
- o ponto A pertence `a reta r e tem ordenada positiva;
- o ponto B ´e o sim´etrico do ponto A em rela¸c˜ao ao eixo Ox
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo cujo lado origem ´e o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade ´e a semirreta OA˙
- α ∈
] (^) π 2
, π
[
Mostre que o per´ımetro do triˆangulo [OAB] ´e dado, em fun¸c˜ao de α, pela express˜ao −6 tg α −
cos α
y
O
r
B
A
x
α
Exame – 2013, 2.a^ Fase (adaptado)
- Considere o intervalo
[
5 π 6
4 π 3
]
Qual das equa¸c˜oes seguintes n˜ao tem solu¸c˜ao neste intervalo?
(A) cos x = − 0 , 5 (B) sen x = − 0 , 5 (C) cos x = − 0 , 9 (D) sen x = − 0 , 9
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.03.
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. xOy, o c´ırculo trigonom´etrico.
Os pontos A, B, C e D s˜ao os pontos de intersec¸c˜ao da circunferˆencia com os eixos do referencial.
Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco BC, nunca coincidindo com B nem com C Para cada posi¸c˜ao do ponto P , seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual a ordenada do ponto P e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa iguala abcissa do ponto Q
Seja α a amplitude, em radianos, do ˆangulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OP˙ ,
α ∈
] (^) π 2
,π
[)
Resolva os itens seguintes, sem recorrer `a calculadora.
P
x
y
O
α
A
B
C
D
Q
R
28.1. Mostre que a ´area do trap´ezio [OP QR] ´e dada por −
sen α cos α
28.2. Para uma certa posi¸c˜ao do ponto P , a reta OP intersecta a reta de equa¸c˜ao x = 1 num ponto de ordenada −
Determine, para essa posi¸c˜ao do ponto P , a ´area do trap´ezio [OP QR] Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.03.
- Na figura ao lado, est´a representado o quadrado [ABCD] Sabe-se que:
- AB = 4
- AE = AH = BE = BF = CF = CG = DG = DH
- x ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo EAB
- x ∈
]
π 4
[
Mostre que a ´area da regi˜ao sombreada ´e dada, em fun¸c˜ao de x, por
16(1 − tg x)
H
D
A
E
B
F
C
G
Exame – 2012, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um trap´ezio retˆangulo [ABCD] Sabe-se que:
- BC = 1
- CD = 1
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo ADC
- α ∈
] (^) π 2
,π
[
D
A B
C
Mostre, recorrendo a m´etodos exclusivamente anal´ıticos, que o per´ımetro do trap´ezio [ABCD] ´e dado, em fun¸c˜ao de α, por 3 + 1 − cos α sen α
Exame – 2012, 1.a^ Fase
- Na figura seguinte, est´a representado, num referencial o.n. xOy, o c´ırculo trigonom´etrico.
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (1,0)
- o ponto B tem coordenadas (3,0) Considere que um ponto P se move sobre a circun- ferˆencia.
Para cada posi¸c˜ao do ponto P , seja d = P B e seja α ∈ [0, 2 π[, a amplitude, em radianos, do ˆangulo orientado cujo lado origem ´e o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade ´e a semirreta OP˙
x
y
O
α
A B
P
d
Resolva os itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
34.1. Mostre que d^2 = 10 − 6 cos α Sugest˜ao: Exprima as coordenadas do ponto P em fun¸c˜ao de α e utilize a f´ormula da distˆancia entre dois pontos. 34.2. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que d^2 = 10 − 6 cos α 34.2.1. Determine os valores de α ∈ [0, 2 π[, para os quais d^2 = 7 34.2.2. Para um certo valor de α pertencente ao intervalo [0,π], tem-se tg α = −
Determine d, para esse valor de α
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 9.02.
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o. n. xOy, uma circunferˆencia e o triˆangulo [OAB] Sabe-se que:
- O ´e a origem do referencial;
- a circunferˆencia tem centro no ponto O e raio 1
- A ´e o ponto de coordenadas (− 1 , 0)
- B pertence `a circunferˆencia e tem ordenada negativa;
- o ˆangulo AOB tem amplitude igual a
2 π 3 radianos.
Qual ´e a ´area do triˆangulo [OAB]?
B
x
y
A O
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2011, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o. n. xOy, um c´ırculo trigonom´etrico. Sabe-se que:
- C ´e o ponto de coordenadas (1,0)
- Os pontos D e E pertencem ao eixo Oy
- [AB] ´e um diˆametro do c´ırculo trigonom´etrico
- as retas EA e BD s˜ao paralelas ao eixo Ox
- θ ´e a amplitude do ˆangulo COA
- θ ∈
]
π 2
[
Qual das express˜oes seguintes d´a a o per´ımetro da regi˜ao sombreada na figura anterior?
B
x
y
O
A
E
D
θ C
(A) 2(cos θ + sen θ) (B) cos θ + sen θ (C) 2(1 + cos θ + sen θ) (D) 1 + cos θ + sen θ Exame – 2011, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada uma circunferˆencia de centro no ponto O e raio 1
Sabe-se que:
- o ponto A pertence `a circunferˆencia;
- os pontos O, A, e B s˜ao colineares;
- o ponto A est´a entre o ponto O e o ponto B
- o ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB˙ , nunca coincidindo com o ponto A
- d ´e a distˆancia do ponto A ao ponto P
- para cada posi¸c˜ao do ponto P , o ponto Q ´e um ponto da circunferˆencia tal que a reta P Q ´e tangente `a cir- cunferˆencia;
- x ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo OP Q
x ∈
]
π 2
[)
O
A P B
d
x
Q
Sem recorrer `a calculadora, mostre que d =
1 − sen x sen x Teste Interm´edio 12.o^ ano – 26.05.
- Determine o valor de 3 −
tg α
sabendo que α ∈
]
π 2
[
e que cos
3 π 2
− α
Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 24.05.
- Considere, em R, a equa¸c˜ao trigonom´etrica cos x = 0, 9
Em qual dos intervalos seguintes esta equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ao?
(A)
[
π 2
π 2
]
(B) [0,π] (C)
[
π 4
3 π 4
]
(D)
[
π 4
π 4
]
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Na figura seguinte, est´a representada, em referencial o.n. xOy, a circunferˆencia de centro em O e raio 5
Os pontos A e B s˜ao os pontos de intersec¸c˜ao da circunferˆencia com os semieixos positivos Ox e Oy, respetivamente. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B
Para cada posi¸c˜ao do ponto P , sabe-se que:
- o ponto Q ´e o ponto do eixo Ox tal que P O = P Q
- a reta r ´e a mediatriz do segmento [OQ]
- o ponto R ´e o ponto de interse¸c˜ao da reta r com o eixo Ox
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOP
α ∈
]
π 2
[ )
r
x
y
O
α A
B
Q
P
R
Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio
]
π 2
[
, definida por f (x) = 25 sen x cos x
Resolva os itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
42.1. Mostre que a ´area do triˆangulo [OP Q] ´e dada por f (α)
42.2. Determine o valor de α, pertencente ao intervalo
]
π 2
[
, para o qual se tem f (α) = 25 cos^2 α
42.3. Seja θ um n´umero real, pertencente ao intervalo
]
π 2
[
, tal que f (θ) = 5 Determine o valor de ( sen θ + cos θ)^2
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Um dep´osito de combust´ıvel tem a forma de uma esfera. As figuras seguintes representam dois cortes do mesmo dep´osito, com alturas de combust´ıvel distintas. Os cortes s˜ao feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera. Sabe-se que:
- o ponto O ´e o centro da esfera;
- a esfera tem 6 metros de diˆametro;
- a amplitude θ, em radianos, do arco AB ´e igual `a amplitude do ˆangulo ao centro AOB corres- pondente A altura AC, em metros, do combust´ıvel existente no dep´osito ´e dada, em fun¸c˜ao de θ, por h, de dom´ınio [0,π]
Resolva os itens seguintes, recorrendo a m´etodos exclusivamente anal´ıticos.
O O
A A
B
B
C
C
θ
θ
43.1. Mostre que h(θ) = 3 − 3 cos(θ), para qualquer θ ∈]0,π[ 43.2. Resolva a condi¸c˜ao h(θ) = 3, θ ∈]0,π[ Interprete o resultado obtido no contexto da situa¸c˜ao apresentada.
Exame – 2010, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferˆencia e o triˆangulo [OAB].
Sabe-se que:
- a circunferˆencia tem diˆametro [OA];
- o ponto A tem coordenadas (2, 0);
- o v´ertice O do triˆangulo [OAB] coincide com a origem do refe- rencial;
- o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferˆencia superior.
x
y
O
B
1 A
α
Para cada posi¸c˜ao do ponto B, seja α a amplitude do ˆangulo AOB, com α ∈
]
π 2
[
Mostre, recorrendo a m´etodos exclusivamente anal´ıticos, que o per´ımetro do triˆangulo [OAB] ´e dado, em fun¸c˜ao de α, por 2(1 + cos α + sen α)
Exame – 2010, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo retˆangulo [ABC], cujos catetos [AB] e [BC], medem 5 unidades. Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC], nunca coincidindo com nem B com C Para cada posi¸c˜ao do ponto P , seja x a amplitude, em radianos, do ˆangulo BAP
x ∈
]
π 4
[)
Mostre, usando exclusivamente m´etodos anal´ıticos, que para cada valor de x, o per´ımetro do triˆangulo [AP C] ´e dado por
5 cos x
− 5 tg x +
C
P
A x B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.05.
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superf´ıcie esf´erica E, de equa¸c˜ao
x^2 + y^2 + (z − 2)^2 = 4
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo
]
π 2
[
, o ponto P , de coordenadas ( tg α, sen α,2+cos α), pertence `a superf´ıcie esf´erica E
Determine os valores num´ericos das coordenadas do ponto P
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.05.
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo inscrito numa circun- ferˆencia de centro O e raio igual a 1.
Um dos lados do triˆangulo ´e um diˆametro da circunferˆencia.
Qual das express˜oes seguintes representa, em fun¸c˜ao de x, a ´area da parte sombreada?
(A) π − 2 sen x cos x (B)
π 2
− 2 sen x cos x
(C) π − sen x cos x (D) π −
sen x cos x 2
O
x
Exame – 2009, 1.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado est´a representado o c´ırculo trigonom´etrico.
Os pontos P e Q pertencem `a circunferˆencia, sendo P Q a reta paralela ao eixo Ox. O ponto R pertence ao eixo Ox. O ˆangulo ROP tem 53◦^ de amplitude.
Qual ´e o per´ımetro do triˆangulo [OP Q] (valor aproximado `as d´ecimas)?
(A) 3 , 2 (B) 3 , 4 (C) 3 , 6 (D) 3 , 8
P
x
y
O
Q
R
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 7.05.
- A Inˆes olhou para o seu rel´ogio quando este marcava 10 h e 45 min. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inˆes concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado − 3 π radianos.
Que horas marcava o rel´ogio da Inˆes, neste ´ultimo instante?
(A) 11 h e 15 min (B) 11 h e 45 min (C) 12 h e 15 min (D) 13 h e 45 min
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 7.05.
- Considere a equa¸c˜ao trigonom´etrica cos x = − 0 , 3
Num dos intervalos seguintes, esta equa¸c˜ao tem apenas uma solu¸c˜ao. Em qual deles?
(A)
[
π 2
]
(B) [0,π] (C)
[
π 2
3 π 2
]
(D)
[
3 π 2
, 2 π
]
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Na figura ao lado est˜ao representados, em referencial o.n. xOy:
- o c´ırculo trigonom´etrico
- o raio [OB] deste c´ırculo
- o arco de circunferˆencia AB, de centro no ponto C Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a reta BC ´e perpendicular a este eixo.
Seja θ a amplitude do ˆangulo AOB
x
y
O C
B
A
θ
Qual ´e a abcissa do ponto A?
(A) 1 + sen θ (B) 1 + cos θ (C) cos θ + sen θ (D) 1 + cos θ + sen θ Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Relativamente `a figura ao lado, sabe-se que:
- o triˆangulo [ABD] ´e retˆangulo
- o ponto C pertence ao cateto [BD]
- x designa a amplitude, em radianos, do ˆangulo BAD
- AB = 2 e BC = 1 55.1. Mostre que a ´area do triˆangulo [ACD] ´e dada por 2 tg x − 1 55.2. Determine o valor de x para o qual a ´area do triˆangulo [ACD] ´e igual a 1 55.3. Sabendo que sen
( (^) π 2
e que a ∈
]
π 2
[
, determine o valor de 2 tg a − 1
A
C
x 2
B
D
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Na figura ao lado est´a representado, em referencial o.n. xOy, um arco de circunferˆencia AB, de centro na origem do referencial e raio igual a 1 A reta r tem equa¸c˜ao y = 1 O ponto C pertence ao arco AB Seja α a amplitude do ˆangulo AOC
Qual das express˜oes seguintes d´a a distˆancia d do ponto C `a reta r?
(A) 1 + sen α (B) 1 − sen α (C) 1 + cos α (D) 1 − cos α
x
y
r
O
d
A
B
α
C
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.05.
- Seja x ∈
]
π 2
[
Qual das express˜oes seguintes designa um n´umero positivo?
(A) cos(π − x) (B) sen (π − x) (C) cos
3 π 2
− x
(D) sen
3 π 2
− x
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.05.
