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Exercícios de matemática (exames
Tipologia: Exercícios
1 / 28
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APRESENTAÇÃO
Esta obra pretende ser um instrumento de trabalho que permita ao aluno:
Foi elaborada tendo como referência a preocupação com o aluno , a valorização da compo- nente prática na aprendizagem da Matemática , a preparação para testes, testes intermé- dios e exame nacional de todos os alunos.
O livro, à semelhança do programa de Matemática A, está organizado em três grandes temas: Pro- babilidades e combinatória, Introdução ao cálculo diferencial II e Trigonometria e números com- plexos.
Dentro de cada tema, os conteúdos estão organizados por capítulos, onde se encontrarão as ru- bricas seguintes.
exercícios que requerem mais método e raciocínio;
exercícios de aprofundamento.
O livro contém dez testes de controlo de aquisição de conhecimentos e duas provas modelo se- guindo a estrutura de exame nacional. No final do livro encontram-se as soluções de todos os exercícios propostos e o formulário presente no exame nacional 2012.
A todos, votos de bom trabalho e desejo de muito sucesso.
As autoras
Derivadas. Aplicações das derivadas
4.1. DERIVADAS
CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
Definição
Seja f uma função e seja [ a , b ] um intervalo contido no domínio de f. Chama-se taxa de variação média de f no intervalo [ a , b ], com a ≠ b , ao valor
TVM [ a , b ] ( f ) =
Definição
Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio. Dá-se o nome de derivada da função f no ponto a e representa-se por f ’( a ), ao limite (se existir):
ou
Considera a reta secante ao gráfico de f que passa nos pontos de coordenadas ( x 0 , f ( x 0 )) e ( x , f ( x ))
de declive. Quando x tende para x 0 , as sucessivas secantes ao gráfico tendem para uma
posição limite que se chama, se existir, tangente ao gráfico no ponto ( x 0 , f ( x 0 )) , e cujo declive é
.
Assim, se f tem derivada finita em x = a , a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a tem declive igual a f ’( a ).
Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio.
e representa-se por f ’( a – ).
e representa-se por f ’( a +).
f ( b ) – f ( a ) b – a
f ( x ) – f ( a ) x – a
lim x Æ a f ( a^ +^ h ) –^ f ( a ) h h^ lim Æ 0
f ( x ) – f ( x 0 ) x – x 0
x lim Æ x 0
f ( x ) – f ( x 0 ) x – x 0 y
x
f
O
( x )
f ( x 0 )
x 0 x
t
x^ lim Æ a –^ f ( x ) –^ f ( a ) x – a h lim Æ 0 –
f ( a + h ) – f ( a ) h
x^ lim Æ a +^ f ( x ) –^ f ( a ) x – a h lim Æ 0 +^ f ( a^ +^ h ) –^ f ( a ) h
Derivadas. Aplicações das derivadas
1. Derivada de uma constante: ( k )’ = 0 2. Derivada de uma soma: ( u + v )’ = u ’ + v ’ 3. Derivada de um produto: ( u ¥ v )’ = u ’ v + uv ’ 4. Derivada do produto de uma constante por uma função: ( ku )’ = ku ’ 5. Derivada de : (^) ( )
’ = –
6. Derivada de um quociente: (^) ( )
7. Derivada de uma potência: ( xn )’ = nxn^ – 1;
( un )’ = nu n^ – 1^ u ’ ( n ∈R)
9. Derivada da função exponencial de base e : ( ex )’ = ex ;
( eu )’ = e u^ u ’
10. Derivada da função exponencial de base a : ( ax )’ = ax^ ln a ;
( au )’ = u ’ an^ ln a, a ∈R+{ 1 }
11. Derivada da função logarítmica de base e : (ln x )’ = ;
(ln u )’ =
12. Derivada da função logarítmica de base a : (log a x )’ = ;
(log a u )’ = , a ∈R+{ 1 }
Teorema
Se f ’ e g ’ existem e se f o g está definida, então ( f o g )’( x ) = f ’( g ( x )) ¥ g ’( x ).
v
v
v ’ v^2
u v
u ’ v – uv ’ v^2
2 √∫ x n ’ 2 √∫ u
x
u ’ u
1 x ln a u ’ u ln a
Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Sendo g ( x ) = 2ln( x + 1), calcula g ’(0), pela definição.
g ’(0) = =
Repara que, no caso de x 0 = 0, a expressão é a mesma usando uma ou outra definição de derivada.
2. No Ministério da Saúde estimou-se que, após o aparecimento de uma determinada doença contagiosa, o número de pessoas infetadas pode ser expresso pela função P ( t ), sendo t o número de dias decorridos desde o primeiro caso registado. P ( t ) = 33 t^2 – t^3
2.1. Calcula a taxa média de variação desta função nos primeiros cinco dias e interpreta o re- sultado obtido no contexto do problema.
2.2. Determina a taxa de variação desta função em t = 10 e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.
2.1. TVM [0, 5] = = = 140, o que significa que nos primeiros cinco dias
o número de pessoas infetadas aumentou, em média, 140 pessoas por dia.
2.2. P ’(10) = =
= (– x^2 +23 x + 230) = = 360 Assim, dez dias depois do aparecimento do primeiro caso, o número de pessoas infetadas estava a aumentar a uma taxa de 360 pessoas por dia.
x lim Æ 0^ g ( x ) –^ g (0) x – 0
x lim Æ 0 2ln( x^ + 1) – 2ln 1^ x
x^ lim Æ 0 2ln( x^ x^ + 1)
x^ lim Æ 0 ln( x^ x + 1)
x lim Æ 10^ P ( x ) –^ P (10) x – 10
x lim Æ 1033 x
(^2) – x (^3) – (33 ¥ 10 2 – 10 3 ) x – 10
x lim Æ 1033 x
(^2) – x (^3) – 2300 x – 10
x lim Æ 10 ( x^ – 10)(– x
(^2) + 23 x + 230) x – 10
x lim Æ 10
lim^ = 1 (limite notável) x Æ 0
ln( x + 1) x
NOTA
–1 33 0 – 10 –10 230 2300 –1 23 230 0 = r
(*) Cálculo auxiliar:
Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
= (^) ( ¥ (^) )=
= f ’(2) ¥ =
= 5 ¥ 1 = 5
5. Determina a função derivada de cada uma das seguintes funções.
5.1. a ( x ) = e –5 x^ 5.2. b ( x ) = e √∫ x
5.3. c ( x ) = 5 x^ 5.4. d ( x ) = 2 x^3
5.5. e ( x ) = 2 ln^ x^ 5.6. f ( x ) = ex (– x^4 – 5 x^3 + 2 x + 9)
5.7. g ( x ) = 5.8. h ( x ) = –
5.9. i ( x ) = 5.10. j ( x ) = ln(4 – 3 x )
5.11. k ( x ) = ln(ln x ) 5.12. l ( x ) = ln( x^2 ( x + 1))
5.1. a ’( x ) = –5 e –5 x Da ’ = R
5.2. b ’( x ) = (√∫ x )’ e √∫ x^ = ¥ x
D (^) b ’ = R+
5.3. c ’( x ) = 5 x^ ¥ ln 5 Dc ’ = R
5.4. d ’( x ) = 3 x^2 ¥ 2 x^3 ¥ ln 2 Dd ’ = R
5.5. e ’( x ) = ¥ 2 ln^ x^ ¥ ln 2 = ¥ 2 ln^ x
De ’ = R+
5.6. f ’( x ) = ex (– x^4 – 5 x^3 + 2 x + 9) + ex (–4 x^3 – 15 x^2 + 2) = = ex (– x^4 – 5 x^3 + 2 x + 9 – 4 x^3 – 15 x^2 + 2) = = ex (– x^4 – 9 x^3 – 15 x^2 + 2 x + 11) Df ’ = R
5.7. g ’( x ) = =
Dg ’ = R+
ln x x ex^ – e – x ex^ + e – x
x^3 ex
1 2 e √∫ x 2 √∫ x
x
ln 2 x
1 – ln x x^2
x x^2
x – ln x
x^ lim Æ 2^ f ( x ) –^ f (2)
x lim Æ 2^ f ( x ) –^ f (2) x – 2
3 – x
x^ lim Æ 2^ f ( x ) –^ f (2) x – 2 x lim Æ 2 1 3 – x 1 3 – 2
Cálculo auxiliar:
⇔ x = ⇔ x = 2 ∨ x = 3 Assim:
–5 ± √∫ 2 ∫ 5 ∫ ∫–∫ ∫ 4 ∫ ∫¥∫ ∫ 6
Derivadas. Aplicações das derivadas
5.8. h ’( x ) = – = – = –
Dh ’ = R
5.9. i ’( x ) = =
Di ’ = R
5.10. j ’( x ) =
Dj ’ = (^) ]–∞, (^) [
5.11. k ’( x ) = = =
Dk ’ = ]1, +∞[ Nota que Dk = { x ∈R: ln x > 0 ∧ x > 0}
5.12. l ’( x ) = =
Dl ’ = ]–1, +∞[{ 0 }
Nota que Dl = { x ∈R: x^2 ( x + 1) > 0}
( ex^ – e – x )’ ¥ ( ex^ + e – x ) – ( ex^ – e – x ) ¥ ( ex^ + e – x )’ ( ex^ + e – x )^2 ( ex^ + e – x ) ¥ ( ex^ + e – x ) – ( ex^ – e – x ) ¥ ( ex^ – e – x ) ( ex^ + e – x )^2 ( ex^ + e – x ) 2 – ( ex^ – e – x ) 2 ( ex^ + e – x ) 2 e^2 x^ + 2 exe – x^ + e –2 x^ – ( e^2 x^ – 2 exe – x^ + e –2 x ) ( ex^ + e – x ) 2 e^2 x^ + 2 + e –2 x^ – e^2 x^ + 2 – e –2 x e^2 x^ + 2 exe – x^ + e –2 x 4 e^2 x^ + 2 + e –2 x
4 – 3 x 4 3
(ln x )’ ln x
x ln x
x ln x
( x^2 ( x + 1))’ x^2 ( x + 1) 2 x ( x + 1) + x^2 x^3 + x^2 2 x^2 + 2 x + x^2 x^3 + x^2 3 x^2 + 2 x x^3 + x^2 x (3 x + 2) x ( x^2 + x ) 3 x + 2 x^2 + x
3 x^2 ¥ ex^ – x^3 ex ( ex )^2
ex (3 x^2 – x^3 ) ( ex )^2
3 x^2 – x^3 ex
() Cálculo auxiliar:* ln x > 0 ∧ x > 0 ⇔ x > 1 ∧ x > 0
() Cálculo auxiliar: –1 0* x^2 + + + 0 + x + 1 – 0 + + + x^2 ( x + 1) (^) – 0 + 0 +
1. De uma função f de domínio R sabe-se que = 3.
Indica qual das seguintes afirmações é falsa. (A) f é contínua em x = 1. (B) f ’(1) = 3
(C) = 3
(D) Não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = 1.
2. Seja f a função cuja representação gráfica é:
Então a representação gráfica da função f ’, primeira derivada de f , é: (A) (B)
3. Seja f uma função tal que o gráfico de f ’’ é a reta de equação y = x + 3.
Qual das afirmações é necessariamente verdadeira? (A) f (–3) é máximo de f. (B) f (–3) é mínimo de f. (C) –3 é abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f. (D) O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em R+^.
x lim Æ 1^ f ( x ) –^ f (1) x – 1
h lim Æ 0^ f (1 +^ h h ) –^ f (1)
e
f
y
e
O (^) x
y
–e
O x
y
1
O x
y
O (^) x
y
Derivadas. Aplicações das derivadas
Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
4. Seja f uma função definida em ]2, 6[.
A função f tem primeira derivada e segunda derivada finitas em todos os pontos do seu do- mínio e f ’( x ) > 0 ∧ f ’’( x ) < 0, ∀ x ∈ ]2, 6[. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f? (A) (B)
5. Seja f uma função tal que a sua derivada no ponto 1 é igual a 3.
Indica o valor de.
6. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f.
Indica o valor de f ’(4+^ ), derivada lateral direita de f no ponto 4. (A) 4 (B) 3 (C) – ∞ (D) +∞
O 2 6
f
x
y
O 2 6 x
y
f
f
O 2 6 x
y
f
O 2 6 x
y
x^ lim Æ 1^ f (1) –^ f ( x ) x^2 – 1 3 2
f
4
2
4
O x
y
Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
12. A reta de equação y = e é tangente ao gráfico da função:
(A) f ( x ) = e x^2 +^ x^ (B) g ( x ) = ln x (C) h ( x ) = (D) i ( x ) =
13. Na figura está representado o gráfico da função f ’, derivada de uma função f definida no in- tervalo [0, 5].
Qual das seguintes afirmações é necessariamente falsa? (A) f é contínua em [0, 5]. (B) O gráfico de f não tem pontos de inflexão. (C) A função f tem um extremo relativo em x = 1. (D) O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em [0, 5].
14. Considera uma função definida por y = kx^2 + 8 x + 1 ( k ≠ 0).
Para que o declive da reta normal à curva no ponto de abcissa 1 seja – , k deve ser:
15. Seja h uma função de domínio R tal que h ’(1) = 2 h (1) e h (1) ≠ 0.
Seja t a reta tangente ao gráfico da função h no ponto de abcissa 1. Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de h?
(A) (^) ( , 0) (B) (1, 0) (C) (^) ( , 1) (D) (2, 0)
16. Considera a função g , de domínio R, definida por g ( x ) = log 2 x.
Seja f uma função definida em R tal que f ’(2) = ln 2. Indica o valor de ( f o^ g )'(4).
(A) (B) ln (C) (D)
ln x x
ex x
O
f ’
x
y
1
ln 2 ln 16
ln 16
ln 2
17. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico da função quadrática f , de domínio R. Seja h a função definida por h ( x ) = f ( x ) + ln x. Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h ’’, segunda derivada de h?
18. Seja f uma função de domínio [ a , b ] e c um ponto do domínio de f tal que f ( c ) é um extremo relativo de f e f ’( c ) é um número real. Indica qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira. (A) f ’( c ) = 0. (B) Se c é um ponto interior de [ a , b ], então f ’( c ) = 0. (C) A reta de equação y = f ( c ) é tangente ao gráfico de f. (D) ( c , f ( c )) é ponto de inflexão do gráfico de f. 19. De uma função f , de domínio R, sabe-se que a sua segunda derivada é dada por:
f ’’( x ) = ( x – 1) 3 ( x^2 – 4)( x^2 + (^) )( x + 1) 2
Quantos pontos de inflexão tem o gráfico de f? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
20. Seja g uma função definida em R por um polinómio de grau 7.
Qual dos valores seguintes pode representar o número de pontos de inflexão do gráfico de g? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 0
O (^) x
y
O (^) x
y
O (^) x
y
O (^) x
y
Derivadas. Aplicações das derivadas
O
f
x
y
4. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s. Sabe-se que a sua altura, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada pela expressão: h ( t ) = –4,9 t^2 + 120 t 4.1. Determina o instante e a velocidade com que o projétil atinge o solo. Apresenta os valores com aproximação às décimas. 4.2. Determina a altura máxima alcançada pelo projétil. Apresenta o valor pedido arredondado às centésimas. 4.3. Determina a aceleração num instante arbitrário t. 5. Numa pequena localidade calculou-se que, após o aparecimento de uma determinada doença contagiosa, o número de pessoas infetadas vem expresso pela função P ( d ) = 30 d^2 – d^3 , sendo d o número de dias contados após o registo do primeiro caso. 5.1. Calcula a taxa de variação média desta função no intervalo de tempo [1, 5]. 5.2. Estuda, utilizando processos exclusivamente analíticos, a monotonia e os extremos da função P no contexto do problema. Explica como evoluiu a doença ao longo do tempo, nomeadamente qual o número má- ximo de pessoas infetadas e quando é que tal ocorreu, bem como após quanto tempo se considerou a doença erradicada. 5.3. Utilizando as capacidades gráficas da calculadora determina, com aproximação às uni- dades, durante quantos dias o número de doentes foi superior a 3500. Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora – o gráfico obtido, as coordenadas de algum, ou de alguns pontos relevantes, apresentando as coordenadas com aproximação às centésimas. 6. Um recipiente contém uma certa quantidade de sal. Para dissolver o sal enche-se o recipiente com água. Admite que a massa, em gramas, de sal ainda não dissolvido, t minutos após o início do pro- cesso de dissolução, é dada por M ( t ) = 30 e –0,01 t , t ≥ 0. 6.1. Determina a massa de sal dissolvido ao longo da primeira meia hora. Apresenta o resultado em gramas, arredondado às unidades. 6.2. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estuda a função M quanto à monotonia e quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. Interpreta as conclusões a que che- gaste, no contexto do problema. 7. Foi administrado um analgésico a um doente às 6 horas da manhã de um certo dia.
A concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por C ( t ) = 3 t e –0,2 t. 7.1. Mostra que houve um instante, entre as 6 h 30 min e as 7 h, em que a concentração do medicamento foi 2 mg/ml. 7.2. Determina o instante em que a concentração de analgésico no sangue do doente foi máxima.
Derivadas. Aplicações das derivadas
Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
8. O número de eucaliptos numa zona florestal cresce segundo a lei E ( t ) = 27 ¥ 1,3 , com t ex- presso em anos. 8.1. Quantos eucaliptos havia no início da contagem? E uma década depois? Apresenta o resultado com aproximação às unidades. 8.2. Quantos anos e quantos meses são necessários para que o número de eucaliptos exis- tentes no início da contagem triplique? Em cálculos intermédios conserva três casas decimais. 8.3. Calcula a taxa de variação em t = 1 e em t = 10. Apresenta os valores com aproximação às unidades e interpreta os resultados encontrados no contexto do problema. 9. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto determina, para cada uma das funções, a derivada no ponto indicado. 9.1. f ( x ) = x^2 + 4 x , derivada no ponto 1. 9.2. g ( x ) = ex^ – x , derivada no ponto 0. 9.3. h ( x ) = ln( x + 1) + x , derivada no ponto 0. 10. Caracteriza a função derivada de cada uma das funções seguintes.
10.1. f ( x ) = e^2 x^ 10.2. g ( x ) = ex ( x + 3)
10.3. h ( x ) = 10.4. i ( x ) = √∫ e ∫ x ∫^ ∫+∫ ∫ x ∫^2
10.5. j ( x ) = ex^ ln x 10.6. k ( x ) =
10.7. l ( x ) = e 10.8. m ( x ) = + ln x
10.9. n ( x ) = x ln x 10.10. o ( x ) =
10.11. p ( x ) = √∫l∫n∫ ∫ x 10.12. q ( x ) = ln(ln x )
11. Caracteriza a função derivada de cada uma das funções seguintes.
11.1. f ( x ) = 10 x^ 11.2. g ( x ) = 2 x^3
11.3. h ( x ) = 3 ln^ x^ 11.4. i ( x ) = log(5 x + 1)
11.5. j ( x ) = log (^2) ( ) 11.6. k ( x ) =
11.7. l ( x ) = ln√∫ 1 ∫ ∫–∫ ∫ x ∫^2 11.8. m ( x ) = log( )
11.9. n ( x ) = πln^ x
t 2
e^2 x^ + ex^ – 1 ex^ + 3 1 ex 1 x 1 x
x ln x
x
log 2 x
1 x + 1
