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OBMEP na Escola 2022: Atividade para Professores - Poliedros e Teorema de Euler, Exercícios de Matemática Aplicada

Universidade Federal de Campina Grande (UFCG)Matemática Aplicada

Exercícios de modelagem matemática

Tipologia: Exercícios

2022

Compartilhado em 17/07/2022

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OBMEP na Escola 2022
4ª ATIVIDADE PARA OS PROFESSORES
Encontro 7 – Poliedros – Teorema de Euler
Encontro 8 – Poliedros regulares
Questão 1. Um poliedro convexo possui vértices, arestas e arestas. Sobre cada face desse
poliedro foi colocada uma pirâmide regular exterior ao poliedro (e a face original do poliedro
foi, evidentemente, removida). Determine o número de vértices, de arestas e de faces do novo
poliedro formado desse jeito.
Questão 2. Um tetraedro regular de lado é seccionado por planos do seguinte modo. Seja um
número positivo com . Para cada vértice do tetraedro, o tetraedro é cortado por um plano que
corta as arestas que chegam neste vértice em pontos que estão a uma distância desse vértice.
São retiradas as pirâmides assim formadas e é obtido um novo poliedro convexo. Calcule o
número de vértices, o número de arestas e o número de faces desse novo poliedro.
Questão 3. Refaça o exercício anterior considerando, no lugar de um tetraedro, os outros
poliedros regulares: cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro regular.
Questão 4. Refaça os dois exercícios anteriores considerando .
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OBMEP na Escola 2022 4ª ATIVIDADE PARA OS PROFESSORES Encontro 7 – Poliedros – Teorema de Euler Encontro 8 – Poliedros regulares Questão 1. Um poliedro convexo possui vértices, arestas e arestas. Sobre cada face desse poliedro foi colocada uma pirâmide regular exterior ao poliedro (e a face original do poliedro foi, evidentemente, removida). Determine o número de vértices, de arestas e de faces do novo poliedro formado desse jeito. Questão 2. Um tetraedro regular de lado é seccionado por planos do seguinte modo. Seja um número positivo com. Para cada vértice do tetraedro, o tetraedro é cortado por um plano que corta as arestas que chegam neste vértice em pontos que estão a uma distância desse vértice. São retiradas as pirâmides assim formadas e é obtido um novo poliedro convexo. Calcule o número de vértices, o número de arestas e o número de faces desse novo poliedro. Questão 3. Refaça o exercício anterior considerando, no lugar de um tetraedro, os outros poliedros regulares: cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro regular. Questão 4. Refaça os dois exercícios anteriores considerando.

Questão 5. A figura a seguir é a planificação de um poliedro convexo com 6 faces quadradas e 20 faces triangulares. Determine o número de arestas e o número de vértices desse poliedro.

 Em relação aos vértices, observe que cada vértice do tetraedro é transformado em três vértices do novo poliedro. Daí. Observe como fica o Teorema de Euler no novo poliedro Solução da questão 3. A explicação dada na solução do exercício anterior generaliza para qualquer outro poliedro regular. Suponhamos que um poliedro regular possua vértices, arestas, faces e que em cada vértice incidem arestas. Os vértices do novo poliedro são os vértices das faces que surgiram dos cortes planos. Como foram feitos cortes e como cada um desses cortes produz um polígono de lados, então. As arestas do novo poliedro são as arestas originais mais as arestas das faces adicionadas. Daí. Em cada face do poliedro regular original continua existindo uma face do novo poliedro e para cada vértice foi acrescentada uma nova face. Daí. O Teorema de Euler para o novo poliedro tem a forma Solução da questão 4. Vamos considerar um poliedro regular com vértices, arestas, faces de modo que em cada vértice incidem arestas. Vamos representar por o número de vértices, por o número de arestas e por o número de faces do novo poliedro. A figura a seguir ilustra o caso do tetraedro regular cortado por planos que passam pelos pontos médios das arestas.  Observe^ que^ onde^ tinha^ uma^ face^ do^ poliedro^ regular^ original^ continua^ existindo^ uma^ face do novo poliedro. Além dessas, para cada vértice do poliedro regular original foi acrescentada uma face no novo poliedro. Logo o número de faces passa a ser igual a .

 Vamos fazer a contagem das arestas do novo poliedro de duas maneiras diferentes. Em primeiro lugar, observe que as arestas do poliedro regular origional desaparecem no novo poliedro. As arestas do novo poliedro são os lados das faces que surgiram dos cortes. Como foram acrescentadas faces e cada uma delas tem lados, então o número de arestas do novo poliedro é. Por outro lado, para contar esse número de arestas nesta situação que os planos passam pelos pontos médios das arestas, basta considerar o resultado do exercícios anterior e subtrair o número de arestas do poliedro regular original. Daí o número de arestas do novo poliedro é. Sabemos que em um poliedro regular. Daí temos que.  Em relação aos vértices, observe que onde tinha uma aresta do poliedro regular original apareceu um vértice do novo poliedro. Daí. Observe como fica o Teorema de Euler no novo poliedro Solução da questão 5. O poliedro possui faces. Na planificação, as arestas que juntam dois polígonos da planificação são arestas do poliedro tridimensional. Por uma contagem direta, verificamos que existem 25 dessas arestas. Elas estão no interior da planificação, indicadas pelos segmentos vermelhos na figura a seguir. Observe que essas arestas pertencem a dois polígonos da planificação.