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Por Ledo Vaccaro Machado
- No sorteio de um número natural de 1 a 20, calcule a probabilidade:
a) de ocorrer um número par; b) de ocorrer um número primo; c) de ocorrer um múltiplo de 5; d) de ocorrer um divisor de 20.
- Uma urna contém seis bolas vermelhas numera- das de 1 a 6, e quatro bolas amarelas numeradas de 7 a 10. Retirando ao acaso uma das bolas, determi- ne as probabilidades:
a) de sair uma bola amarela; b) de sair uma bola com número par; c) de sair uma bola amarela com número par.
Sorteando um número natural de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um número não maior que 10?
Aninha vai ler uma frase de uma página escolhida ao acaso de um livro de 240 páginas numeradas de 1 a 240. Qual a probabilidade de ser escolhida uma página com número compreendido entre 80 e 120, excluindo estes dois?
Numa loteria com bilhe- tes numerados de 1 a 60 000, qual a probabilida- de se sair no 1º prêmio um bilhete com número termi- nado em 3?
Espaço Amostral Conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento Qualquer subconjunto do espaço amostral.
Evento elementar Evento com um único elemento.
Evento certo O próprio espaço amostral. A probabilidade do evento certo é 1 (100%).
Evento impossível O conjunto va- zio. A probabilidade do evento impossí- vel é 0 (zero).
Definições
A probabilidade de qualquer evento está entre zero e um, incluindo os extremos.
A soma das probabilidades de todos os eventos elementares de um espaço amostral é igual a 1 (um).
Distribuição de Probabilidade
Espaço amostral equiprovável é aquele no qual todos os eventos elementares têm a mesma probabilidade de ocorrência. Se um espaço amostral equiprovável tem n elementos, então a probabilidade de
cada evento elementar é n
Num espaço amostral equiprovável com n elementos, a probabilidade de ocor-
rência de um evento com m elementos é n
m .
Probabilidade em Espaço Amostral Equiprovável
n( )
n(A) númerodeelementosde
númerodeelementosdeA P (A)
númeroderesultadospossíveis
númerodecasosfavoráveisaA P (A)
- Cem etiquetas estão numeradas cada uma com um dos números indicados na figura ao lado. Uma das etiquetas será sorteada ao acaso. Deter- mine a probabilidade da etiqueta sorteada apre- sentar:
a) dois dígitos iguais; b) dois dígitos diferentes; c) o dígito "1"; d) somente dígitos menores que 3.
Numa urna há três bolas numeradas de 1 a 3. Duas bolas serão extraídas sucessivamente, sem reposição. Calcule a probabilidade de a primeira bola extraída apresentar número maior que a segunda.
Resolva o exercício anterior supondo as extrações com reposição.
Lançando duas vezes uma moeda, qual a probabilidade de serem observados resultados iguais nos dois lançamentos?
Um casal pretende ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os se- xos, qual a probabilidade de que venha a ter dois filhos de sexos diferentes?
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
70 71 72 73 74 75 76 77 78 89
60 61 62 63 64 65 66 67 68 79
50 51 52 53 54 55 56 57 58 69
40 41 42 43 44 45 46 47 48 59
30 31 32 33 34 35 36 37 38 49
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
- Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm sangue tipo B e 96% não têm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta população, deter- mine as probabilidades de:
a) não ter sangue tipo A; b) ter sangue tipo B; c) ter sangue tipo AB; d) ter sangue tipo A ou B ou AB; e) ter sangue tipo O
- Um experimento aleatório pode apresentar 4 resultados distintos possíveis: A ou B ou C
ou D. Sabe-se que a probabilidade de ocorrer A é 10
, a de não ocorrer B é 5
e a de não
ocorrer C é 10
. Determine a probabilidade de ocorrer D.
- Dois eventos A e B são tais que P(A) = 0,40 e P(B) = 0,80.
a) Se P(AB) = 0,20, qual é o valor de P(AB)? b) É possível que A e B sejam mutuamente exclusivos? c) Qual o valor mínimo de P(AB)? d) Qual o valor máximo de P(AB)?
- No lançamento de um dado sabe-se que o resultado foi um número de pontos maior que
- Qual a probabilidade de ser um número par de pontos?
No lançamento de um dado sabe-se que o resultado foi um número par de pontos. Qual a probabilidade de ser um número maior que 3?
Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Determinar a probabilidade de que esse número seja menor que 5.
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Se A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns, A e B são ditos mutuamente exclusivos (a ocorrência de um im- pede a ocorrência do outro), e:
P(AB) = P(A) + P(B)
Probabilidade de Ocorrer A ou B
Em dois lançamentos su- cessivos de uma moeda sabe- se que pelo menos numa das vezes deu cara. Qual a proba- bilidade de ter dado cara am- bas as vezes?
Um casal tem dois filhos e sabe-se que um deles é ho- mem. Qual a probabilidade de o outro ser mulher?
Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda sabe-se que num deles foram obtidos 6 pontos. Qual a probabilidade de a soma dos pontos dos dois lançamentos ser maior que 10?
De uma urna contendo quatro bolas amarelas e duas verdes serão extraídas sucessiva- mente, sem reposição, duas bolas.
a) Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a segunda ser tam- bém amarela? b) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas? c) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes? d) Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a segunda amarela? e) Qual a probabilidade de ser uma boba de cada cor?
- De uma classe onde há 15 rapazes e 15 moças serão es- colhidos dois alunos ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) serem escolhidas duas moças? b) serem escolhidos um rapaz e uma moça, em qual- quer ordem?
- Serão sorteados três números naturais distintos dentre os números de 1 a 10. Qual a probabilidade de saírem apenas números pares?
Probabilidade de ocorrer A dado que tenha ocorrido B.
n(B)
n(A B) P( A\B)
,seP(B) 0. P(B)
P(A B)
P (A\B)
Probabilidade Condicional
P( AB)P(A)P(B\A)
Dois eventos são independentes quando a ocorrên- cia de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Se dois eventos são independentes, então:
P( AB)P(A)P(B)
Probabilidade de Ocorrer A e B
Numa urna há três bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 bolas suces- sivamente, com reposição, qual a probabilidade de saírem três bolas da mesma cor?
Uma prova consta de 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma é correta. Para alguém que deseja respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada teste, qual a probabilidade de:
a) acertar os cinco testes? b) errar os cinco testes? c) acertar apenas o primeiro teste? d) acertar apenas um dos testes?
Um casal planeja ter quatro filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a ter um homem e três mulheres (em qualquer ordem)?
Numa moeda viciada, a probabilidade de obter coroa é um terço da probabilidade de cara. Determine a probabilidade:
a) de cada evento elementar do espaço amostral de um lançamento desta moeda e obser- vação da face superior; b) de cada evento elementar do espaço amostral de dois lançamentos desta moeda e ob- servação das faces superiores.
- Um dado é construído de tal forma que num lançamento se tenha P(1) = P(3) = P(5), P(2) = P(4) =P(6) e P(2) = 2.P(1). Calcule:
a) P(1) e P(2); b) a probabilidade de obter mais de 3 pontos num lançamento.
De um torneio de futebol participam 5 clubes sendo que 4 deles têm a mesma probabilidade de vitória, enquanto que o outro é considerado favorito com chance de vitória igual ao dobro dos demais. Qual a probabilidade de que o favori- to ganhe este torneio?
No lançamento de dois dados distintos, ache a probabilidade de obter:
a) múltiplo de 3 nos dois dados; b) múltiplo de 3 em pelo menos um dos dados.
Três homens e três mulheres são dispostos aleatoriamente formando uma fila indiana. Qual a probabilidade de que não fiquem dois homens juntos nem duas mulheres juntas?
Numa gaveta há 10 pares distintos de meia, mas ambos os pés de um dos pares estão rasgados, Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, calcule a probabilidade de saírem dois pés de meia do mesmo par, não rasgados, fazendo duas retiradas.
Uma gaveta tem 2 moedas de ouro e três de prata, outra têm duas de ouro e 1 de prata. Passa-se uma moeda de ouro da primeira gaveta para a segunda gaveta e depois retira-se uma moeda da segunda. Qual a probabilidade de sair uma moeda de ouro na retirada da segunda gaveta?
Uma gaveta tem 3 moedas de ouro e uma de prata, outra tem 3 moedas de prata e uma de ouro. João retira uma moeda da primeira gaveta e Ricardo retira uma moeda da segunda, ao acaso. Qual a probabilidade de João e Ricardo retirarem o mesmo número de moedas de ouro?
Em 10 testes com cinco alternativas cada um, das quais apenas uma é correta, o número de acertos de alguém que esteja respondendo ao acaso apresenta a distribuição de probabili- dade indicada na tabela ao lado. Determine a probabilidade de alguém respondendo ao aca- so acertar:
a) mais de 3 testes; b) no máximo 2 testes; c) pelo menos um teste.
Com relação à questão anterior, se duas pessoas estão respondendo ao acaso, calcule a probabilidade de que acertem juntas um total de dois testes.
Lançando um dado três vezes sucessivas, calcule a probabilidade de obter
a) 6 pontos em cada um dos três lançamentos; b) face de 6 pontos em pelo menos um dos lançamentos.
Nº de Acertos Probabilidade
0
1
2
3
4
5 ou mais 0,
- (CESGRANRIO) Num jogo com um dado, o jogador X ganha se tirar, no seu lance, um número de pontos maior ou igual ao do lance do jogador Y. A probabilidade de X ganhar é:
a) 2
b) 3
c) 12
d) 24
e) 36
- As probabilidades de ocorrência dos eventos x 1 e x 2 de um espaço amostral X são 0,4 e 0,2. Vale, então:
a) X tem, no mínimo, cinco elementos. b) X tem exatamente três elementos. c) X tem, pelo menos, três elementos. d) X tem exatamente dez elementos. e) X é um conjunto infinito.
- (FEI-SP) Numa moeda viciada a probabilidade de ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A probabilidade de ocorrer cara num lançamento dessa moeda é:
a) 40% b) 80% c) 25% d) 20% e) 50%
- (GV-SP) Um dado de 6 faces apresenta a seguinte irregularidade: a probabilidade de sair a face DOIS é o dobro da probabilidade de sair a face UM. As probabilidades de saírem as demais faces são iguais a 16. Então:
a) a probabilidade de sair a face UM é igual a 3
b) a probabilidade de sair a face DOIS é igual a 3
c) a probabilidade de sair a face UM é igual a 12
d) a probabilidade de sair a face dois é igual a 12
- Se um certo casal tem 3 filhos, então a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo, dado que o primeiro é homem, vale:
a) 3
b) 2
c) 5
d) 4
e) 6
- Dois tenistas, A e B , iam disputar um prêmio de U$ 800.000,00 em 5 jogos e seria considerado vencedor aquele que ganhasse três ou mais jogos. Em cada jogo, ambos tinham chances iguais de vencer. Após os dois primeiros jogos, que foram vencidos por A , um mau tempo impe- diu a continuação da disputa e, então, decidiu-se repartir o prêmio. Do ponto de vista probabilístico era justo que:
a) cada um recebesse metade do prêmio. b) A recebesse o prêmio integralmente. c) A recebesse U$ 600.000,00 e B recebesse U$ 200.000,00. d) A recebesse U$ 700.000,00 e B recebesse U$ 100.000,00. e) A recebesse U$ 750.000,00 e B recebesse U$ 50.000,00.
- Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara numa jogada é 30% a mais do que a de corroa. Se essa moeda for jogada duas vezes consecutivamente, a proba- bilidade de ocorrência de cara nas duas jogadas é:
a) 49% b) 42,25% c) 64% d) 64,25% e) 15%
- (CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é:
a) 5
b) 5
c) 2
d) 3
e) 3
