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TEORIA DAS PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades ocupa-se dos métodos de análise que são comuns ao estudo dos fenômenos aleatórios seja qual for o campo a que pertençam (Murteira et al., 2002, p. 52). Justifica-se assim, a introdução da teoria da probabilidade como teoria matemática dos fenômenos aleatórios, isto e, dos fenômenos sujeitos ao acaso. Vamos estudar os fenômenos aleatórios fazendo apelo ao conceito empírico de "experiência" aleatória. Entendemos "experiência" como qualquer processo ou conjunto de circunstancias capaz de produzir resultados observáveis. Quando o processo está sob a influência de fatores casuais (ou seja de fatores que não podemos controlar) e conduz a resultados incertos fala-se em experiência aleatória.
I – ESPAÇO AMOSTRAL O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral e será indicado por Ω (lê-se: ômega). Indicaremos por n(Ω) o número de elementos do espaço amostral.
Exemplos:
- Lançamento de uma moeda: Ω = {k, c} e n(Ω) = 2.
- Lançamento de um dado: Ω = {1,2,3,4,5,6} e n(Ω)=6.
- Lançamento simultâneo de dois dados (um vermelho e um branco):
Para facilitar, podemos apenas escrever os números que representam as faces. Assim, temos:
Observe que n(Ω) = 36.
II – EVENTO (OU ACONTECIMENTO)
É qualquer subconjunto do espaço amostral Ω. É muito comum indicarmos um evento por uma letra maiúscula, sendo assim, temos que n(A) significa o número de elementos de um subconjunto A do espaço amostral.
Exemplos:
- Tomemos como espaço amostral os meses do ano
Ω = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}
Sejam os seguintes eventos: ➢ Evento A: os meses do primeiro trimestre A = {janeiro, fevereiro, março}
➢ Evento B: os meses do ano que tem 31 dias B = {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}
- Tomemos como espaço amostral o lançamento de dois dados de cores diferentes.
Sejam os seguintes eventos: ➢ Evento A: A soma dos números das faces voltadas para cima é menor que 5. A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}
➢ Evento B: Os números das faces dos dois dados são iguais. B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
➢ Evento C: A soma dos números das faces voltadas para cima é primo menor que 10. C = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2), (6,1)}
Quando o evento coincide com o espaço amostral, ele recebe o nome de EVENTO CERTO. Quando o evento é o conjunto vazio, ele recebe o nome de EVENTO IMPOSSÍVEL.
PROBABILIDADE
AULA 0 5
III – CALCULANDO PROBABILIDADES
Considere um evento A de um espaço amostral Ω finito e equiprovável, ou seja, um espaço amostral onde todos os resultados têm a mesma probabilidade de ocorrência. A probabilidade de ocorrência do evento A é dada pela razão entre o número de elementos de A pelo número de elementos do espaço amostral, ou seja:
P(A) n(A) n( )
Como o evento é um subconjunto do espaço amostral, temos que A n( ) n(A) n( ). Dividindo cada membro desta ultima igualdade por n( ) 0 , obtemos:
0 n( ) n(A) n( ) (^0) P(A) 1 n( ) n( ) n( )
Portanto, a probabilidade de um evento ocorrer é um valor que está entre 0 e 1, ou seja, entre 0% e 100%.
Observações ➢ A probabilidade do evento certo é de 100%. ➢ A probabilidade do evento impossível é de 0%.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
R 1. (UFG GO/2011) Em uma loteria com letras, algumas bolas de bingo, cada uma marcada com uma letra, são colocadas em um globo para serem misturadas e sorteadas. No sorteio, as bolas são retiradas, uma a uma, até esvaziar o globo, formando uma sequência aleatória (um anagrama), que é o resultado do sorteio. Antes do sorteio, cada jogador dá seu palpite, que consiste em escolher uma classe gramatical de palavras em língua portuguesa. O jogador ganhará se o resultado do sorteio pertencer à classe gramatical de sua escolha. Considerando que, no momento de dar o palpite, estão no globo quatro bolas com as letras A , M , O e R , qual probabilidade de ganhar terá um jogador que escolheu a classe gramatical verbo? A) 1/ B) 1/ C) 7/ D) 1/ E) 4/
Alternativa correta: A Em primeiro lugar temos que estabelecer o conjunto de todas as possibilidades, ou seja o espaço amostral. Como são quatro letras distintas, temos que o total de anagramas da palavra AMOR é 4! = 24, ou seja, n(Ω) = 100. Perceba que nesse caso, descrever todas as possibilidades se torna desnecessário. O evento é o total de verbos que podem ser formados com a palavra AMOR, a saber:
AMOR, MORA, ORAM, ROAM
Portanto, temos que n(A) = 4, logo, a probabilidade será dada por P(A) n(A)^4 n( ) 24 6
R 2. (FGV /2010) Num departamento de uma empresa há 5 funcionários: Alberto, Bernardo, César, Dolores e Eloísa. Dois funcionários são sorteados simultaneamente para formarem uma comissão. A probabilidade de que Eloísa seja sorteada, e César não, vale: A) 3/ B) 4/ C) 5/ D) 6/ E) 7/
Alternativa correta: A Muito cuidado ao contar o número de possibilidades do espaço amostral, pois temos que escolher dois funcionários, ou seja, teremos que usar a combinação dois a dois. Temos então que
n( ) 10 2 2!
= ^ = =
. Por outro
lado, para o evento, como Eloísa tem que ser sorteada, então sobra apenas uma vaga para os demais e, como César não será sorteado, temos apenas três opções, ou seja, n(A) = 3. Aplicando a definição de probabilidade, temos n(A) 3 P(A) n( ) 10
R 3. (ENEM-2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20. A) 1/ B) 19/ C) 20/ D) 21/ E) 80/
Alternativa correta: C Como cem bolas receberam um número de 1 até 100, então nosso espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, ..., 100}, ou seja, n(Ω) = 100. Temos que o evento é um número de 1 até 20, ou seja, A = {1, 2, 3, ..., 20}, logo n(A) = 20. Pela definição de probabilidade, temos queP(A) n(A)^20 n( ) 100
IV – PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS
EVENTOS
Da teoria dos conjuntos, sabemos que se A B, então A B =Be que se B A, temos que A B =A. Sejam dois conjuntos A e B, não vazios, tais que A B e B A e sejam n(A) e n(B), respectivamente, o número de elementos dos conjunto A e B. Temos duas possibilidades, a saber:
Temos, da teoria dos conjuntos, que:
n(A B) = n(A) + n(B) − n(A B)
Em que n(A B) é o número de elementos que pertencem a A ou B e n(A B)é o número de elementos que pertencem a A e B. Consideremos agora que n(A) e n(B) sejam eventos pertencentes à um mesmo espaço amostral Ω, temos então que n(A B)e n(A B)também pertencem à Ω. Seja n(Ω) o número de elementos do espaço amostral e dividamos a equação acima por n(Ω), vem:
n(A B) n(A) n(B) n(A B) n( ) n( ) n( ) n( )
Onde n(A B) n( )
é a probabilidade de acontecer A ou B;
n(A) n( ) é a probabilidade de acontecer A; n(B) n( ) é a
probabilidade de acontecer B e n(A B) n( )
é a probabilidade
de acontecer A e B.
Resumindo:
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B
é igual à probabilidade de ocorrer o evento A mais a
probabilidade de ocorrer o evento B menos a
probabilidade da ocorrência de A com B.
Ou seja:
P(A B) = P(A) + P(B) − P(A B)
Nesse caso, A e B são chamados de conjuntos disjuntos, ou seja, são conjuntos que não possuem elementos em comum.
Como A B= , temos que n(A B) = 0 , ou seja:
n(A B) = n(A) +n(B)
Como estamos interessados na probabilidade do acontecimento, temos que P(A B) = P(A) +P(B). Isto significa que os eventos não podem acontecer simultaneamente. Tomemos como exemplo o lançamento de uma moeda, ou temos cara ou coroa, mas jamais cara e coroa simultaneamente. Quando dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, eles são chamados de eventos mutualmente exclusivos. Como P(A B) = 1 (evento certo), então P(A) + P(B) = 1. Nesse caso, P(A) é chamada de probabilidade complementar de P(B) e vice-versa e representada simplesmente por
P(A) = 1 −P(A)
Em que A é o complemento de A.
Em muitos problemas de probabilidade o artifício da probabilidade do evento complementar facilita a resolução. Tomemos como exemplo o lançamento de 3 dados distintos, não viciados e numerados de 1 a 6 e tentemos achar a probabilidade de saírem números diferentes nos três dados. Nesse caso, conferir todas as possibilidades da ocorrência de números diferentes apresenta diversas dificuldades como tempo de contagem e espaço, porém sabemos que os eventos “números iguais” e “números diferentes” nas faces voltadas para cima nos três dados são mutuamente exclusivos. Seja P(D) a probabilidade dos números das faces de cima do dado serem diferentes e P(D) probabilidade dos números das faces de cima do dado não serem diferentes (ou seja, iguais), temos que P(D) + P(D) = 1. Como P(D) 1 216
temos que
P(D) 1
A B
A B
EXEMPLOS RESOLVIDOS
R1. (UEL PR/2008) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear? A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) 0,
Alternativa correta: B Sejam C e A, respectivamente, os eventos “estudar Cálculo Diferencial” e “estudar Álgebra Linear”. Temos que
P(C) n(C) n( )
, donde n(Ω) representa o espaço amostral, é
a probabilidade de um aluno, sorteado ao acaso, estudar
Cálculo Diferencial e, da mesma forma, n(A) P(A) n( )
representa a probabilidade de um aluno estudar Álgebra Linear. Temos ainda a probabilidade de estudar as duas
disciplinas juntas, representada por P(C A) n(C^ A) n( )
Substituindo os valores, vem:
P(C) n(C)^200 n( ) 500
n(C A) 130 P(C A) n( ) 500
Substituindo na equaçãoP(C A) = P(C) + P(A) − P(C A) , fica:
P(C A) 200 180 130
P(C A) 200 180 130
=^ +^ −
P(C A) 250
P(C A) 1
P(C A) =0,
R2. (ENEM) Um município de 628km^2 é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente, A) 20%. B) 25%. C) 30%. D) 35%. E) 40%.
Alternativa correta: B A palavra “pelo menos” pode nos dar a falsa ideia de que existe a possibilidade de um morador estar ao alcance de duas emissoras ao mesmo tempo, porém percebemos que os conjuntos são disjuntos, ou seja, ou um morador está ao alcance da emissora A ou da emissora B. Temos então que a probabilidade pedida é a soma das probabilidades. SejaP(A) n(A) n( )
a probabilidade de um morador
estar ao alcance da emissora A e n(B) P(B) n( )
a
probabilidade de um morador estar ao alcance da emissora B, temos que, onde n(A) representa a área de alcance da emissora A e n(B) representa a área de alcance da emissora B. Sabemos que a probabilidade pedida é P(A) +P(B) , ou seja n(A) n(B) n(A) n(B) n( ) n( ) n( )
+ =^ +
. Como
a figura acima representa um trapézio, temos que a soma dos ângulos dos vértices A e B é um ângulo de meia-volta, ou seja, equivale a área de um semicírculo, portanto .r^2 n(A) n(B) 2
- =^ , donde r = 10km. Substituindo, fica
.10^2 n(A) n(B) 50 km 2
- = = , que adotando 3,14 para
o valor de e lembrando que n( =) 628 km^2 temos, para probabilidade pedida P n(A)^ n(B)^ 50.3,14^ .100 50. 314 n( ) 628
V – PROBABILIDADE CONDICIONAL
Para explicar o conceito de probabilidade condicional, vamos conhecer como funciona o baralho de 52 cartas.
Um baralho é composto por 52 cartas que tem 4 símbolos (♣ Espadas, ♥ Copas, ♦ Ouros e ♠ Paus) diferentes. Cada um desses símbolos representa um naipe. Cada naipe possui 13 cartas, das quais 3 tem figuras (Valete, Rainha e Rei) São alguns exemplos de cartas
▪ A♣ = Ás de Espadas. ▪ 5 ♦ = cinco de Ouros. ▪ Q♥ = Rainha de Copas. ▪ 10 ♠ = dez de Paus. ▪ K♣ = Rei de Espadas. ▪ J♦ = Valete de Ouros.
Vejamos alguns exemplos de probabilidade para a retirada de uma carta.
- Retirada de um “Ás”. Como existem 4 Áses (A♣, A♦, A♠ e A♥), temos P 4 52
- Retirada de uma carta de Copas. Como existem 13 cartas de Copas (A♥, 2 ♥, ..., J♥, K♥,
Q♥), temosP 13 52
- Retirada de uma carta com figura. Como cada naipe tem 3 cartas com figuras, temos um
total de 12 figuras, logo
P
Para explicar o conceito de probabilidade condicional, vamos admitir que as 52 cartas de um baralho sejam colocadas viradas sobre uma mesa. A probabilidade que uma pessoa retire uma carta e, sem olhar, acerte qual carta ele tem em suas mãos é de^1 52
Admitamos agora que ao se colocar as 52 cartas sobre a mesa, por descuido, a pessoa que vai retirar a carta acaba vendo que a carta que acabara de retirar tem uma figura. O que ocorre a partir de agora é que temos uma redução do espaço amostral, pois se a pessoa que retirou a carta viu uma figura, obviamente ela, ao ser perguntada sobre qual carta tem em suas mãos, escolherá apenas Rei, Valete ou Rainha de algum dos Naipes, ou seja, houve um aumento em suas chances de adivinhar, pois ao invés de ter uma chance em 52 (total de cartas), ele agora tem uma chance em 12 (cartas com figura). A situação acima é um bom exemplo de probabilidade condicionada em que a pessoa, sabendo que de um baralho de 52 cartas apenas 12 tem alguma figura, imediatamente tem seu conjunto universo reduzido de 52 para apenas 12. À essa redução no espaço amostral damos o nome de probabilidade condicional ou condicionada, cuja definição formal daremos a seguir:
Sejam A e B eventos (com probabilidades não nulas) de um espaço amostral Ω. Denominamos de probabilidade condicional de A em relação à B e indicamos por P(A|B) a probabilidade de ocorrer o evento A, já tendo ocorrido o evento B.
P(A | B) n(A^ B) n(B)
=^
EXEMPLOS RESOLVIDOS
R1. Em uma pesquisa realizada com 10 000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou- se que: 6 500 utilizam a marca A; 5 500 utilizam a marca B; 2 000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca A. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca B?
Como já foi estabelecido que a pessoa utiliza a marca A, temos uma redução do espaço amostral (probabilidade condicional), portanto, a probabilidade procurada é
P(B | A)
R2. (IBMEC SP/2012) Um grupo de pesquisadores estudou a relação entre a presença de um gene A em um indivíduo e a chance desse indivíduo desenvolver uma doença X, que tem tratamento mas não apresenta cura. Os dados do estudo mostraram que 8% da população é portadora do gene A e 10% da população sofre da doença X. Além disso, 88% da população não é portadora do gene A nem sofre da doença X. De acordo com esses dados, se uma pessoa sofre da doença X, então a probabilidade de que seja portadora do gene A é igual a A) 90%. B) 80%. C) 75%. D) 66%. E) 60%.
Alternativa correta: E
A A X 6% 4% X^ 2%^ 88% Soma 8% 100%
Em que X representa a porcentagem das pessoas que sofrem da doença X e X é o evento complementar. De forma análoga, A representa a população portadora do gene A e Aé o evento complementar. De acordo com o texto, temos que encontrar P(A | X) , ou seja, encontrar a probabilidade de uma pessoa ser portadora do gene A, dado que ela tem a doença X. Portanto:
P(A | X) 6%^6 60%
- (UPE/2012) Para se ter ideia do perfil dos candidatos ao curso de Odontologia em um vestibular, 600 estudantes candidatos a esse curso foram selecionados ao acaso e entrevistados, sendo que, entre esses, 260 eram homens. Descobriu-se que 140 desses homens e 100 das mulheres entrevistadas já estavam cursando o ensino superior em outra instituição. Se um dos 600 estudantes entrevistados for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser uma mulher que, no momento da entrevista, não estava cursando o ensino superior é igual a A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) 0,
- (ENEM/2012) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por A) 0,09. B) 0,12. C) 0,14. D) 0,15. E) 0,18.
- (ITA/2008) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população. A) 1/ B) 1/ B) 3/ C) 5/ E) ¼
- (FEI SP/2008) Lançando simultaneamente 4 moedas honestas, a probabilidade de obter 4 coroas é: A)
B)^1
C)^1
D)^4
E)^1
VII – EVENTOS INDEPENDENTES
(MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES)
Em situações em que os eventos A e B de um mesmo espaço amostral são independentes , ou seja, a ocorrência de um deles não influencia na ocorrência do outro, temos que P(A | B) =P(A) e P(B | A) =P(B), sendo assim, temos:
P(A B) =P(A). P(B)
Que é conhecida como a multiplicação de probabilidades.
EXERCÍCIOS DE SALA
- (FUVEST) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e a escolaridade da população de uma cidade.
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior (completo ou incompleto) é A) 6,12% B) 7,27% C) 8,45% D) 9,57% E) 10,23%
- (MACK SP/2012) Sempre que joga, um time tem probabilidade^2 3
de vencer uma partida. Em quatro jogos, a probabilidade de esse time vencer, exatamente dois deles, é A)^4 27
D)^4
B)^16
E)^16
C)^16
- (IBMEC SP/2010) Um parque temático criou a montanha-russa da sorte, muito concorrida nos fins de semana, sempre com longas filas. Quando um fã da adrenalina consegue finalmente sentar no carrinho, o início da brincadeira é, literalmente, um sorteio. O carrinho anda 20 metros e para em frente a uma trifurcação, onde a pessoa roda uma roleta, cujo resultado irá definir por qual dos três caminhos à frente irá seguir, com iguais probabilidades. Dos caminhos:
- um leva a pessoa de volta para a fila, sem passar pela montanha-russa;
- outro dá acesso aos trilhos da montanha-russa, garantindo uma volta de diversão;
- outro dá acesso aos trilhos da montanha-russa, garantindo duas voltas de diversão. A probabilidade de uma pessoa conseguir dar exatamente 4 voltas na montanha-russa enfrentando a fila 3 vezes é igual a A)
B)^2
C)^1
D)^1
E)^1
- (UFPA) Alguns estudantes estavam se preparando para realizar o PSS da UFPA e resolveram inventar um jogo de dados a fim de testar os seus conhecimentos em Teoria das Probabilidades. O jogo possuía as seguintes regras: I – O jogador faz o primeiro lançamento do dado. Se sair o número 5 o jogo termina e o jogador vence. II – Se na primeira jogada não sair o número 5, o jogador deve lançar o dado pela segunda e última vez. Se sair um número maior do que 3, o jogador vence. Caso contrário perde. A probabilidade de o jogador vencer esse jogo é A) 9/ B) 7/ C) 3/ D) 4/ E) 10/
- (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? A) 2 (0,2%)^4. B) 4 (0,2%)^2. C) 6 (0,2%)^2 (99,8%)^2. D) 4 (0,2%). E) 6 (0,2%) (99,8%).
- (FGV /2012) Um sistema de controle de qualidade consiste em três inspetores A, B e C que trabalham em série e de forma independente, isto é, o produto é analisado pelos três inspetores trabalhando de forma independente. O produto é considerado defeituoso quando um defeito é detectado, ao menos, por um inspetor. Quando o produto é defeituoso, a probabilidade de o defeito ser detectado por cada inspetor é 0,8. A probabilidade de uma unidade defeituosa ser detectada é: A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) 0,
- (UNESP SP/2012) O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de automóveis disponíveis aos consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e E), a matriz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário permanecer com a mesma marca de carro na compra de um novo.
A B C D E A 0,6 0,1 0,2 0,1 0, B 0,3 0,5 0,0 0,1 0, C 0,2 0,2 0,4 0,1 0, D 0,3 0,2 0,2 0,3 0, E 0,2 0,3 0,1 0,2 0,
A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da marca C, após duas compras, é: A) 0,25. B) 0,24. C) 0,20. D) 0,09. E) 0,00.
- (PUC RJ/2012) Considere uma urna contendo 10 bolas vermelhas e 6 bolas verdes. Retirando-se simultaneamente duas bolas da urna, qual é a probabilidade de que as duas bolas selecionadas sejam vermelhas? A) 1/ B) 3/ C) 1/ D) 2/ E) 2
- (UFSCAR) Juntam-se 27 cubos brancos, cada um com 1 cm^3 de volume, formando um cubo de 27 cm^3. Em seguida, pinta-se de preto cada uma das seis faces do cubo de 27 cm^3 , como indica a figura 1.
Separa-se novamente os 27 cubos. Aleatoriamente e de uma única vez, 2 desses cubos são sorteados. Com os cubos sorteados, deseja-se formar um paralelepípedo de 2 cm^3 com cinco faces brancas e apenas uma preta, da forma indicada na figura 2.
A probabilidade de que esse paralelepípedo possa ser formado com os cubos sorteados é igual a A) 2/ B) 17/ C) 29/ D) 2/ E) 5/
- (FATEC SP/2011) Em uma urna há dezoito bolas amarelas, algumas bolas vermelhas e outras bolas brancas, todas indistinguíveis pelo tato, e sabe-se que a quantidade de bolas brancas é igual ao dobro das vermelhas. Se a probabilidade de se retirar, ao acaso, uma bola amarela da urna é , a quantidade de bolas vermelhas que há na urna é A) 8. B) 9. C) 12. D) 18. E) 24.
