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EXERCÍCIOS GERAIS DE PROBABILIDADE - GABARITO
- Considerando o lançamento de uma moeda e um dado construa:
a) O espaço amostral.
Solução. O espaço amostral é um conjunto de pares encontrados na construção da tabela de possibilidades. Moeda Dado Total Possibilidades 2 6 2 x 6 = 12
Ω = {(1,C); (1,K); (2,C); (2,K); (3,C); (3,K); (4,C); (4,K); (5,K); (5,C); (6,C); (6,K)}
b) Se o evento A = {cara com número ímpar} e evento B = {coroa com um número par}, exiba o evento e o evento onde A e B ocorrem. Solução. Observando o espaço amostral o evento é o complementar de B. Isto é, elementos que sejam (coroa,ímpar), (cara,ímpar) ou (cara, par). Logo, = { {(1,C); (2,C); (2,K); (3,C); (4,C); (4,K); (5,C); (6,C); (6,K)}
- Em determinado experimento constatou-se que e são mutuamente exclusivos. De acordo com essas informações, calcule:
Solução. Se os eventos são mutuamente exclusivos, então Aplicando as propriedades das probabilidades em cada caso, temos:
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
- Um experimento constatou que , e. Calcule: Solução. Neste caso os eventos não são mutuamente exclusivos.
a) b) c)
a) b) c)
Obs. Repare que nos casos (b) ou (c) poderíamos optar pelo mesmo procedimento do item (a).
- Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidade de ser:
a) Múltiplo de 5 b) Divisível por 6 ou 8 c) Número primo
Solução. Em todos os casos o espaço amostral possui 50 elementos.
a) b) c)
- As probabilidades de três jogadores acertarem um pênalti são respectivamente , e. Se cada um chutar uma única vez, qual a probabilidade de:
Solução. Nomeando os eventos de acerto respectivamente por A, B, C e aplicando as propriedades da união, interseção e complementar das probabilidades, vem:
a) Todos acertem b) Só um acerte c) Todos errarem
a) Se todos acertam há uma interseção: b) Há 3 possibilidades a considerar: Logo a possibilidade de que só um acerte é: c) Todos errarem é o complementar de todos acertarem:
- Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?
Solução. O evento pedido é uma união de {BB} ou {VV} ou {PP}. Em cada urna, temos:
- Urna 1: ; ; - Urna 2: ; ; OBS: Repare que não há interseção entre os eventos. Isto é, ele são disjuntos e portanto a Probabilidade da união dos eventos será a soma das probabilidades de cada evento. Logo,
Representando a situação em um diagrama de árvore, teríamos a seguinte situação.
- A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é e de seu marido é. Calcular a probabilidade de:
Solução. Pela informação do problema, já sabemos que o complementar de cada probabilidade é a da situação onde há o falecimento de uma das partes.
a) apenas o homem estar vivo b) somente a mulher estar viva c) pelo menos um estar vivo
a) Se apenas o homem vive então a mulher morreu. Logo, b) Se apenas a mulher vive então o homem morreu. Logo, c) Se pelo menos um vive então não há morte conjunta. Logo,
- Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de cores diferentes destas são colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:
a) a segunda bola seja vermelha b) ambas as bolas sejam da mesma cor.
c) Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha.
d) Se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas.
Solução. O diagrama ilustra a situação.
Observe que as duas bolas colocadas após a 1ª retirada (aumentando para 9 o total de bolas) não são vermelhas, nem brancas****. Repare ainda que após esta 1ª retirada a urna ficou com 1 bola a menos que pode ser vermelha ou branca.
a) A segunda bola pode ser vermelha nas opções {VV} ou {BV}. Logo a união destes resultados será a soma das probabilidades de cada caso:
e) O probabilidade pedida é: (Não há ordem na retirada)
- Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comparando-se 3 bilhetes, qual a probabilidade de:
a) Nenhum ser premiado? b) Apenas um ser premiado?
Solução. Considere e os eventos. O problema pode ser resolvido com a árvore representando as compras ou pela análise combinatória.
a) Optando pela última opção, temos:
**- Número de formas de comprar 3 bilhetes em 30 é o espaço amostral:
- Número de formas de comprar bilhetes não premiados: Logo, a probabilidade pedida é: b) Comprando 1 premiado e 2 não premiados:** Logo, a probabilidade pedida é:
- Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela: Azuis Castanhos Loira 17 9 Morena 4 14 Negra 3 3
Solução. Aplica-se as propriedades das probabilidades e a teoria da probabilidade condicional.
a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser:
a-1) morena de olhos azuis a-2) morena ou ter olhos azuis?
a-1) O total de moças é 50. E o número de morenas de olhos azuis é 4. Logo, a-2) O total de moças é 50. E o número moças que satisfazem a essa união não disjuntas é calculado pela teoria de conjuntos:. Logo a probabilidade pedida é: b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?
A probabilidade condicional pedida é P(M\C) que significa a probabilidade de a moça ser morena sabendo que ela possui olhos castanhos:
- Um dado é viciado de modo que um número par é duas vezes mais provável que um número ímpar. Encontre a probabilidade de que ocorra:
a) Um número par? b) Um número primo? c) Um número primo par?
Solução. Como o dado não é honesto, o espaço amostral se comporta como se um número pudesse aparecer duas vezes a mais que outros. O espaço amostral seria da forma: a) b) c)
- Uma urna onde existiam oito bolas brancas e seis azuis foi perdida uma bola de cor desconhecida. Uma bola foi retirada da urna. Qual é a probabilidade de a bola perdida ser branca, dado que a bola retirada é branca?
Solução. Repare que antes da retirada foi perdida uma bola. Logo, no diagrama da árvore há uma probabilidade a ser considerada antes da retirada.
A probabilidade pedida é
A probabilidade de que João resolve esse problema é de , e a de que José o resolva é de. Se ambos tentarem independentemente resolver, qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? Solução. Para que o problema seja resolvido é preciso que nenhum dos dois erre. Nomeando os eventos: José = {José acertar} e João = {João acertar}, calculamos a probabilidade pelo complementar da situação em ambos errem. Temos e. Logo a probabilidade pedida é:
Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual a probabilidade de que uma face seja 4? Solução. O espaço amostral do lançamento de dois dados já foi visto é composto de 36 pares ordenados. O número de pares mostrado faces diferentes são: 36 – n({(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)) = 30. O conjunto de pares que mostram uma face 4 é: F 4 = {(1,4); (4,1); (2,4); (4,2); (3,4), (4,3); (4,4); (4,5); (5,4); (4,6); (6,4). Com 11 pares. Observe que o par (4,4) não é resultado de faces diferentes. Logo,
Em uma urna há duas moedas aparentemente iguais. Uma delas é uma moeda comum, com uma cara e uma coroa. A outra, no entanto, é uma moeda falsa, com duas caras. Suponhamos que uma dessas moedas seja sorteada e lançada. Qual a probabilidade de:
a) A moeda lançada seja a comum? b) O resultado saia uma cara?
Solução. Observe que nesse tipo de lançamento as possibilidades de resultado são diferentes se as moedas fossem comuns: uma face cara e outra coroa. Construindo a árvore de resultados, temos:
a) A chance de escolher uma moeda falsa ou comum é a mesma. Logo b) A probabilidade de sair cara:
- Sejam A 1 e A 2 dois acontecimentos tais que: ; e. Calcule o valor de Solução. Aplicando as propriedades das probabilidades, temos:
a)
b)
c)
- (UNICAMP) – Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é 0,10. Solução. calculando as quantidades e construindo uma tabela, temos:
Tuberculose Sadio Homens 0,05 x 400 = 20 380 Mulheres 0,10 x 600 = 60 540
a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo estar com tuberculose? Há 80 pessoas tuberculosas de um universo de 1000. Logo,
EMBED Equation.3 5
P ( V )=
EMBED Equation.3 5
P ( A )=
EMBED Equation.3 5
P ( A )=
EMBED Equation.3 14
P ( Bp )=
EMBED Equation.3 14
P ( Ap )=
Bola
perdida
EMBED Equation.3 13
P ( B )=
EMBED Equation.3 13
P ( B )=
EMBED Equation.3 13
P ( A )=
EMBED Equation.3 13
P ( A )=
EMBED Equation.3 2
P ( comum )=
EMBED Equation.3 2
P ( falsa )=
moeda
EMBED Equation.3 P (^ C )=^1
EMBED Equation.3 2
P ( C )=
EMBED Equation.3 2
P ( K )=
EMBED Equation.3 P (^ K )=^0
