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Probabilidade e Estatística - Professor: Hiron Pereira Farias
1 Probabilidade
Introdução: Encontramos, na natureza, muitas situações que envolvem incertezas. Elas são de- nominadas de fenômeno ou experimetno aleatórios. Abusca por avalizar as diversas probabilidades de ocorrência é um dos objstivos no estudo desses fenômenos. Experimentos Aleatório ( ε): São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Espaço Amostral (Ω): Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Evento: È qualquer subconjunto do espaço amostral. 1.1 Álgebra dos eventos
Sejam A, B , C e Ω eventos em que Ω e o espaço amostral, isto é, (A ⊂ Ω), B ⊂ Ω), (C ⊂ Ω). A interseção dos eventos A e B , denotada por A ∩ B, e um evento formado pelos elementos que pertencem aos eventos A e B, isto é, A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}. "O evento A ∩ B ocorre quando A e B ocorre." Se A ∩ B = ∅, dizemos que os eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos). A união dos eventos A e B , denotada por A ∪ B, e um evento formado pelos elementos que pertencem aos eventos A ou B , isto é, A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}. O evento complementar de B, denotado por Bc, é um eventos que pertence ao espaço amostral ,Ω, e não pertence ao evento B, isto é, Bc^ = {x : x ∈ Ω e x 6 ∈ B}. "O evento Bc^ ocorre se o evento B não ocorreu." Observação: i) B ∩ Bc^ = ∅ "evento impossível"e ii)B ∪ Bc^ = Ω "evento certo."
A diferença dos eventos A e B, denotado por (A − B), e um evento formado pelos elementos de A que não pertencem a B, isto é, A − B = {x : x ∈ A e x 6 ∈ B}. Observação: Um notação equivalente para representar a diferença é A ∩ Bc, isto é, A − B = A ∩ Bc. Espaço Amostral Equiprovável : Diremos que o espaço amostral é equiprovável, se todos os eventos elementares tiverem a mesma probabilidade (chance) de serem observados. Definição: Chamados de probabilidade do evento A (A⊂ Ω ) o número real P(A), tal que: P (A) = n n((Ω)A). Em que: n(A): é o número de elemento do evento A; n(Ω): é o número de elemento do espaço amostral. Observação: i) Os eventos que possuem um único elemento n(A)=1 serão chamados eventos elementares. ii) Entre os eventos, salientamos o (chamado evento impossível) e o próprio espaço amostral ( chamado evento certo). iii) Se n(Ω ) = n, então terá 2 n^ subconjuntos e, portanto, 2 n^ eventos. Propriedades
- A probabilidade do evento certo é igual a 1;
- A probabilidade do evento impossível e igual a zero;
- A probabilidade de um evento elementar A qualquer é, (lembrando que n(A) =1) P(A) = (^) n^1
- A probabilidade de um evento A qualquer (A ⊂ Ω ) é um número real P(A), tal que 0 ≤ P(A) ≤ 1;
- Se A e B são eventos, então: P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Em particular, se A e B são mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅ ), então P(A U B) = P(A) + P(B);
- Se A é um evento então P(Ac) = 1 - P(A).
verifica-se que: P(A ∩ B) = P(A) * P(B), e que P(A | B) = 12 = P(A) e P(B | A) = 14 = P(B). Logo A e B são eventos independentes.
1 a¯ LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE PROBABILIDADE Professor: Hiron Pereira Farias Disciplina: Probabilidade e Estatística
Questão 1: Um colégio tem 1.000 alunos. Destes: 200 estudam Matemática; 180 estudam Física; 200 estudam Química; 20 estudam Matemática, Física e Química; 50 estudam Matemática e Física ; 50 estudam Física e Química; 70 estudam somente Química. Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de : a) ele estudar só Matemática? b) ele estudar Física ou Química? c) Ele estudar Matemática e Química? d) Ele não estudar Matemática nem Física nem Química? Questão 2: um dado é lançado duas vezes. Calcule a probabilidade de: a)sair um 6 no primeiro lançamento; b) sair um 6 no segundo lançamento; c) não sair 6 em nenhum lançamento; d) sair um 6 pelo menos. Questão 3: Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos ( disjuntos ), com P(A ) = 0,3 e P(B)= 0,5. Calcule: I) P(A ∩ B)= II) P(A ∪ B)= II)P(A| B)= IV) P(Ac^ )= V) P[(A ∪B)c^ ]= Questão 4: Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma
peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; b) ela não tenha defeitos; c) ela seja boa ou tenha defeitos graves. Questão 5: Se P( A ∪ B ) = 0,8; P(A) = 0,5 e P(B) = x, determine o valor de x no caso de: a) A e B serem disjuntos (mutuamente exclusivos ); b) A e B serem independentes. Questão 6: Sejam A e B eventos com P(A)= 38 , P(B)=^12 e P(A ∩ B)= 14. Encontre: (i ) P(A ∪ B)= (ii ) P(Ac)= (iii) P(Bc)= (iv) P ( Ac^ ∪ Bc^ ) (v) P(Ac^ ∩ Bc) (vi) P ( A ∩ Bc) (vii) P ( B ∩ Ac). Questão 7: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 6 ou um número ímpar? Questão 8: Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade de se obterem: a) dois valetes; b) um valete e uma dama. Questão 9: um casal planeja ter três filhos. Calcule a probabilidade de nascerem: a) três mulheres; b) dois homens e uma mulher. Questão 10: uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos: a) três caras (k); b) duas caras e uma coroa; c) uma cara somente; d) nenhuma cara; e) pelo menos uma cara; f) no máximo uma cara. Questão 11: Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso.
teste? Questão 20: Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral. Se A e B são independentes, prove que A e Bc^ ; Ac^ e B ; Ac^ e Bc^ também são independentes. Questão 21: Uma urna I contém 3 bolas vermelhas e 2 brancas; A urna II contém 2 bolas verme- lhas e 5 brancas. Uma urna é escolhida aleatoriamente, uma bola é retirada e colocada na outra urna, então uma bola é retirada da segunda urna. Encontre a probabilidade p de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor. Questão 22: Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais: A, B, C. Uma pesquisa de opinião revela que 12.000 lêem A, 8.000 lêem B; 7.000 lêem A e B; 6.000 lêem C; 4.500 lêem A e C; 1.000 lêem B e C e 500 lêem A, B e C. Selecionamos ao acaso um habitante dessa cidade. Qual a probabilidade de que ele leia: i) pelo menos um jornal; ii) Somente um jornal. Questão 23: É dada a distribuição de 300 estudantes segundo o sexo e a área de concentração:
Biológicas Exatas Humanas Masculino 52 40 58 Feminino 38 32 80 Um estudante é sorteado ao acaso. i) Qual é a probabilidade de que ele seja do sexo feminino e da área de humanas? ii) Qual é a probabilidade de que ele seja do sexo masculino e não seja da área de biológicas? iii) Dado que foi sorteado um estudante da área de humanas, qual é a probabilidade de que ele seja do sexo feminino? Questão 24: Uma moeda equilibrada é lançada 15 vezes de forma independente. Qual a probabi- lidade de obter cara no 15o¯ lançamento, se ocorreram 14 coroas nas primeiras 14 jogadas? Questão 25: A, B e C são três eventos de um mesmo espaço amostral, tais que:
P(B)= 0,5; P(C)= 0,3; P(B | C)= 0,4 e P[A | (B∩ C)]= 0,5. Calcule : P(A ∩ B ∩ C)= 0,5.
Questão 26: Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas com ocorrência dos eventos A e B.
B Bc^ Total A 0,04 0, Ac^ 0,08 0, Total 1
i) Complete a tabela e calcule as probabilidades especificadas abaixo; ii) P(A ∪ B) iii) P(A | B) iv) A e B são eventos independentes? Questão 27: A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade, com informações sobre área de estudo e classe sócio economica. Alta Média Baixa Total Exatas 120 156 68 Humanas 72 85 112 Biológicas 169 145 73 Total Se um aluno ingressante é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de: a. Ser da classe econômica mais alta; b. Estudar na área de exatas; c. Estudar na área de humanas, sendo de classe média; d. Ser da classe baixa, dado que estuda na área de biológicas.
