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Números Primos e Compostos
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 18/10/201 - Atualizado em 21/04/
Um número p é dito primo se ele possui quatro divisores: 1, p , − 1 e − p. Caso contrário ele é chamado de composto.
Exemplo 1: Determine se 1701 é primo ou composto.
Solução:
Note que a soma dos algarismos de 1701 é igual a 9 ( 1 + 7 + 0 + 1 = 9 ) e como 3 | 9 então 3 | 1701. Assim, 1701 é um número composto.
Exemplo 2: Determine se 151 é primo ou composto.
Solução:
Neste caso o que nos resta é dividir 151, a partir do 2, até que o quociente seja menor que o divisor.
2 151 pois 151 = 2 · 75 + 1 (quociente 75; divisor 2)
3 151 pois 151 = 3 · 50 + 1 (quociente 50; divisor 3)
.. .
13 151 pois 151 = 13 · 11 + 8 (quo- ciente 11; divisor 13)
Como 11 < 13 , ou seja o quociente é menor que o divisor, então pelo Critério de Aristóteles afirma-se que 151 é primo.
Exemplo 3: Determine todos os in- teiros primos que podem ser escrito como n^2 + 1 , para algum n ∈ Z.
Solução:
Seja p um primo tal que p = n^2 − 1 então:
p = ( n + 1 )( n − 1 )
como p é primo então só pode ser de- composto na forma p = 1 · p. Portanto ( n + 1 ) = 1 ou então ( n − 1 ) = 1.
Se ( n + 1 ) = 1 então n = 0 o que im- plica em p = − 1. O que não é possível pois p é primo.
Se ( n − 1 ) = 1 então n = 2 o que im- plica em p = 3. Logo o único número primo possível, nessa condição, é o número 3.
Exemplo 4: Se n é um inteiro e n^3 − 1 é primo, mostre que n = 2 ou n = − 1.
Solução:
p = n^3 − 1 = ( n − 1 )( n^2 + n + 1 )
Como p é primo só pode ser decom- posto na forma p = 1 · p , o que nos
deixará duas possibilidades: ou ( n − 1 ) = 1 , ou então, n^2 + n + 1 = 1.
Se n − 1 = 1 então n = 2 e p = 7 que é primo.
Se n^2 + n + 1 = 1 então n = 0 ou n = − 1.
… Se n = 0 então p = − 1 o que não é possível pois p é primo.
… Se n = − 1 então p = − 2 que é primo.
Logo n = − 1 ou n = 2.
Exemplo 5: Para todo inteiro n > 3 , prove que n^4 + 4 é um número composto.
Solução:
n^4 + 4
= n^4 + 4 + 4 n^2 − 4 n^2
= ( n^4 + 4 n^2 + 4 ) − 4 n^2
= ( n^2 + 2 )^2 − ( 2 n )^2
como ( ^2 − b^2 ) = ( + b )( − b ) então:
( n^2 + 2 )^2 −( 2 n )^2 = ( n^2 + 2 + 2 n )( n^2 + 2 − 2 n )
⇒ n^4 + 4 = ( n^2 + 2 + 2 n )( n^2 + 2 − 2 n )
como n > 3 então n^4 + 4 é composto do produto de dois números diferentes. Logo não pode ser um número primo.
Exemplo 6: Se n^2 + 2 é primo, prove que n é múltiplo de 3.
Solução:
Raciocinando sobre n temos três pos- sibilidades:
) n ≡ 0 ( mod 3 ).
… Nesse caso n = 3 q (para algum q ∈ R) e fica provado o que queremos.
) n ≡ 1 ( mod 3 ).
… Nesse caso n = 3 q + 1 (para al- gum q ∈ R). E sendo p = n^2 + 2 então p = ( 3 q + 1 )^2 − 2 o que é um absurdo, pois implicaria em p ser um número par.
) n ≡ 2 ( mod 3 ).
… Nesse caso n = 3 q + 2 ⇒ p = ( 3 q + 2 )^2 − 2. O também é um absurdo, pois novamente acarretaria na condição de p ser um número par.
Portanto n ≡ 0 ( mod 3 ) , ou seja, n é múltiplo de 3.
Exemplo 7: Se p ≥ 5 é um número primo, prove que p^2 + 2 é um número composto.
Solução: Observe que p^2 + 2 pode ser escrito como:
p^2 + 2 = ( p + 1 )( p − 1 ) + 3
Sabe-se que entre três números con- secutivos um deles sempre é divisível por três, assim: p − 1 ou p ou p + 1 deve ser divisível. Entretanto, como por hipótese p ≥ 5 então o número divisível
Solução:
Vamos completar o esboço da demon- stração respondendo as perguntas lev- antadas.
Suponha que esse conjunto seja finito: digamos que seus elemen- tos sejam p 1 , p 2 , ..., pn. Construa o número p = p 1 p 2 ...pn + 1. Esse número não é nenhum dos p , pois p é claramente maior que todos eles. Logo, p é composto , já que não é nenhum dos primos listados. Então é divisível por
um dos p , ( 1 ≤ ≤ n ) já que todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira (a menos de uma ordem) como um produto de fatores primos (Teorema fundamental da aritmética). Segue, en- tão, que p | 1 , pois se um dos p di- vide p então ele também deve dividir a diferença p − p 1 p 2 ...pn = 1 e por conse- quência o valor 1. Esse absurdo , pois 1 não é divisível por nenhum número primo, mas apenas por si mesmo o que garante a infinitude do conjunto dos primos.
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