Funda¸c˜ao Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica - IE
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Vari´avel Complexa 1
(3aLista de Exerc´ıcios)
1. Calcule:
a) log(1) g) log(√i)
b) log(−1) h) Log(−ei)
c) log(i)i)Log(1 −i)
d) log(−i) j) (1 + i)i
e) log(e)l)(−1) 1
π
f) log 1+i
√2m) z0(onde z6=0)
2. Verifique que 2log(1 + i)6=log(1 + i)2(na verdade, 2log(1 + i)⊂log(1 + i)2).
3. Resolva as equa¸c˜oes abaixo de 2 maneiras distintas.
a) ez=−3
b) ez=i
c) logz =i
d) logz =1
2πi
4. Determine o valor principal de:
a) ii
b) 1
2e(−1−i√33πi
5. Verifique que se z=reiθ ez−1=ρeiφ,ent˜ao
Re [log(z−1)] = 1
2log(1 + r2−2r cos θ)(z6=1).
6. Usando o valor principal, escreva as componentes uevda fun¸c˜ao f(z)=ziem
coordenadas polares.
7. Resolva a equa¸c˜ao senz =√3 de 2 maneiras distintas.
8. Mostre que arctgz =i
2log 1−iz
1+iz e(arctg z)0=1
1+z2.
9. ´
E verdade que |ab|=|a||b|,onde aebs˜ao n´umeros complexos para os quais ab
existe? Justifique.
10 (Desafio)
Descubra o erro na seguinte ”demonstra¸c˜ao”de que 1 = e:
(i) e2πi =1⇔(e2πi)
1
2πi =1 1
2πi =1;
(ii) (e2πi)
1
2πi =e;
De (i) e (ii), 1 = e.