Funda¸c˜ao Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica - IE
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Vari´avel Complexa 1 - 5aLista de Exerc´ıcios
Prof. Lineu da Costa Neto
1. Usando o Teorema de Cauchy - Goursat, verifique que ZC
f(z)dz =0,onde
a) f(z)= 1
z2+4;C=c´ırculo unit´ario |z|=1;
b) f(z)=1
z;C=c´ırculo de centro 2 e raio 1 (isto ´e, |z−2|= 1);
c) f(z)=z·ez2;C=c´ırculo unit´ario |z|=1
d) f(z)=tgz;C=c´ırculo unit´ario |z|=1
e) f(z)=ez+z
z−2;C=c´ırculo unit´ario |z|=1.
2. a) Seja Ba fronteira da regi˜ao entre o c´ırculo |z|= 4 e o quadrado com lados
sobre as retas x=±1ey=±1, onde B´e orientada de modo a deixar a regi˜ao
`a sua esquerda. Verifique ZB
f(z)dz = 0, onde f(z)= z
1−ez.
b) Idem ao item a), onde f(z)= 1
z2(z2+9) eB´e a fronteira da regi˜ao entre os
c´ırculos |z|=2e|z|= 1, orientada de modo a deixar a regi˜ao `a sua esquerda.
3. a) Seja C1um caminho fechado no dom´ınio interior a um outro caminho fechado
C2, onde C1eC2s˜ao ambos orientados no sentido positivo (anti-hor´ario).
Mostre que se f´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica sobre C1eC2e na regi˜ao entre C1
eC2, ent˜ao RC1f(z)dz =RC2f(z)dz.
b) Conclua que ZC1
dz
z3(z2+ 10) =ZC2
dz
z3(z2+ 10),onde C1´eoc´ırculo |z|=1eC2
´e o c ´ırculo |z|= 2 (ambos orientados positivamente).
4. Calcule as seguintes integrais:
a) Zi/2
ieπzdz Resposta: 1+i
π
b) Zπ+2i
0cos z
2dz Resposta: e+1
e
c) Z3
1(z−2)3dz (Resposta: 0)
5. Considere a fun¸c˜ao f(z)= 1
z2.
a) Verifique que ZC
f(z)dz = 0 para todo contorno fechado Cque n˜ao passe pela
origem (ou seja, do qual a origem seja ponto interior ou ponto exterior), embora
fn˜ao seja anal´ıtica em z= 0. Tal enunciado contradiz o Teorema de Morera?
b) Verifique que f´e limitada para z→∞, mas fn˜ao ´e constante. Tal enunciado
contradiz o Teorema de Liouville?
