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Vari´avel Complexa - Lista 2
- Mostre que
a) lim z→ 0 √x^ x 2 ·+^ y y 2 = 0 b) lim z→ 0 z^ ·^ Re |z|( z)= 0
- Verifique que as seguintes fun¸c˜oes n˜ao possuem limite quando z → 0 : a) f(z) = ¯z z b) f(z) = Re |z(|z ) c) f(z) = Im(z
|z|^2
- Calcule os seguintes limites: a) lim z→ 0
[ (^) sen(x + y) x + y +^ i(y
] f) lim z→i^ z
z^6 + 1 b) lim z→i^ iz
z + i g)^ z→lim1+i
z^2 − z + 1 − i z^2 − 2 z + 2 c) lim z→ 2 i^ z
(^2) − iz + 2 z^2 + 4 h) lim^ z→i
3 z^4 − 2 z^3 + 8z^2 − 2 z + 5 z − i d) lim z→−i^ z
z + i i)^ z→lim 2 eπ 3 i
z^3 + 8 z^4 + 4z^2 + 16 e) (^) z→−lim 2 i^ z
(^3) − 8 i z + 2i
- Analise a continuidade das seguintes fun¸c˜oes nos pontos indicados:
a) f(z) =
z^2 , se z 6 = i 0 , se z = i
; zo = i
b) f(z) =
z^2 + 4 z − 2 i ,^ se^ z^6 = 2i 4 i , se z = 2i
; zo = 2i
- Determine as regi˜oes onde as seguintes fun¸c˜oes s˜ao anal´ıticas e calcule suas derivadas
a) f(z) = (^) (z (^3) − 1) 1 · (z (^2) + 2) d) f(z) = z
(z + 2)(z^2 + 2z + 2) b) f(z) = (^) (^1 z + (^1) z^ )^2
e) f(z) = (z^2 − i)^3 · (iz + 1)^2 c) f(z) = (1 − 4 z^2 )^3
- Verifique que as seguintes fun¸c˜oes n˜ao tˆem derivada em nenhum ponto: a) f(z) = Re(z) e) f(z) = ex(cosy − seny) b) f(z) = ¯z f) f(z) = 2x + ixy^2 c) f(z) = z − z¯ g) f(z) = ey(cosx + isenx) d) f(z) = z^2 · z¯
- Verifique que as seguintes fun¸c˜oes tˆem derivada apenas em zo = 0 e calcule f′(0) : a) f(z) = z · Re(z) b) f(z) = |z|^2 c) f(z) = z · Im(z)
- a) Analise a continuidade, a diferenciabilidade e a analiticidade da fun¸c˜ao f(z) = x^3 + i(1 − y)^3 b) Determine os pontos onde f ´e diferenci´avel para f(z) = x^2 + iy^2. c) Determine os pontos onde f ´e diferenci´avel para f(z) = y − ix.
- Mostre que f(z) satisfaz as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann em z = 0 mas f′(0) n˜ao existe: a) f(z) =
√ |Re(z)| · |Im(z)| b) f(z) =
{ (^) ¯z 2 0 z^ ,,^ sese^ zz^6 = 0= 0
- a) Mostre que f(z) = √r
[ cosθ 2 + isenθ 2
] ´e anal´ıtica no dom´ınio A = {z = (r, θ) ∈ C|r > 0 e − π < θ < π} e que f′(z) = (^2) f^1 (z). b) Mostre que f(z) = logr + iθ ´e anal´ıtica no dom´ınio A =
{ z = (r, θ) ∈ C|r > 0 e − π 2 < θ < π 2
} e que f′(z) = (^1) z.
- a) Mostre que u = u(x, y) = x^3 − 3 xy^2 ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica em R^2 e ache uma conjugada harmˆonica v = v(x, y) tal que v(0, 0) = 2. b) Idem para u = u(x, y) = 2x − 2 xy, com a condi¸c˜ao de que v = v(x, y) satisfa¸ca v(0, 0) = 0.
- Seja f(z) anal´ıtica num dom´ınio D. Mostre que:
a) Se f′(z) = 0 em D, ent˜ao f(z) ´e constante em D. b) Se f(z) ´e anal´ıtica em D, ent˜ao f(z) ´e constante em D.
