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Vari´avel Complexa 1 - 6a^ Lista de Exerc´ıcios
Prof. Lineu da Costa Neto
- Obtenha a representa¸c˜ao em S´erie de Laurent para f(z) nos dom´ınios indicados:
a) f(z) = (^) z1+2 (^2) +zz 3 em 0 < |z| < 1; b) f(z) = (^4) z−^1 z 2 em 0 < |z| < 4; c) f(z) = (^) (z−1)z·(z−3) em 0 < |z − 1 | < 2; d) f(z) = e^1 /z^ em |z| > 0; e) f(z) = (^) (z−1)^1 ·(z−2) em
{ e.1) 0 < |z − 1 | < 1; e.2) |z − 1 | > 1; f) f(z) = e zz 2 em |z| > 0; g) f(z) = (^) (z−1)−·^1 (z−2) em
{ g.1) 1 < |z| < 2; g.2) |z| > 2; h) f(z) = z z+1− 1 em |z| > 1; i) f(z) = z− z 21 em |z − 1 | > 1; j) f(z) = senhz z 2 em |z| > 0; l) f(z) = (^) z (^2) ·(1^1 −z) em
{ l.1) 0 < |z| < 1; l.2) |z| > 1; m) f(z) = (^) (ze−−1)z 2 em |z − 1 | > 0; n) f(z) = e^1 /z^2 em |z| > 0; o) f(z) = cos h
( (^1) z
) em |z| > 0; p) f(z) = z · cos
( (^1) z
) em |z| > 0;
- Verifique que os 1os^ termos da S´erie de Laurent de cada uma das fun¸c˜oes a seguir s˜ao dados por: a) f(z) = (^) z (^2) ·senhz^1 = (^) z^13 − 16 · (^1) z + 3607 z + · · · (0 < |z| < π); b) f(z) = cosecz = (^1) z + (^) 3!^1 z −
[ (^1) 5! −^ (3!)^12
] z^3 + · · · (0 < |z| < π); c) f(z) = (^) ez^1 − 1 = (^1) z − 12 + 121 z − 7201 z^3 + · · · (0 < |z| < 2 π); d) f(z) = (^) z(ze 2 z (^) +1) = (^1) z + 1 − 12 z − 56 z^2 + · · · (0 < |z| < 1);
- Mostre que:
a)
∫ C
dz z^2 · senhz =^ −
πi 3 ,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z|^ = 1^ orientado positivamente; b)
∫ C^ e^ z^12 dz = 0, onde C ´e o c´ırculo |z| = 2, orientado positivamente;
c)
∫ C
e−z (z − 1)^2 dz^ =^ −
2 πi e ,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z|^ = 2,^ orientado positivamente; d)
∫ C
5 z − 2 z(z − 1)dz^ = 10πi,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z|^ = 2,^ orientado positivamente; e)
∫ C
3 z^3 + 2 (z − 1) · (z^2 + 9)dz^ =^ πi,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z^ −^2 |^ = 2,^ orientado positivamente; f)
∫ C
3 z^3 + 2 (z − 1) · (z^2 + 9)dz^ = 6πi,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z|^ = 4,^ orientado positiva- mente; g)
∫ C
dz z^3 (z + 4) =^
πi 32 ,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z|^ = 2,^ orientado positivamente; h)
∫ C
dz z^3 (z + 4) = 0,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z^ + 2|^ = 3,^ orientado positivamente; i)
∫ C^ z^ ·^ e
(^1) z (^) dz = πi, onde C ´e o c´ırculo |z| = 1, orientado positivamente;
j)
∫ C^ tgzdz^ =^ −^4 πi,^ onde^ C^ ´e o c´ırculo^ |z|^ = 2,^ orientado positivamente;
- Seja g(z) = (^) zf−^ (zz)o , onde f ´e anal´ıtica em zo.
a) Mostre que se f(zo) 6 = 0, ent˜ao zo ´e um p´olo simples da fun¸c˜ao g e que f(zo) = Res(g; zo). b) Mostre que se f(zo) = 0, ent˜ao zo ´e uma singularidade remov´ıvel de g.
- Mostre que as singularidades zo de cada uma das seguintes fun¸c˜oes s˜ao p´olos. Determine a ordem de cada p´olo e o res´ıduo da fun¸c˜ao no p´olo: a) f(z) = (^) zz 2 +1 (^) − 2 z c) f(z) = 1 − ze 42 z e) f(z) = (^) cosz z b) f(z) = tghz d) f(z) = (^) (ze−^2 1)z 2 f) f(z) = (^) z 2 e (^) +zπ 2 g) f(z) = cosec^2 z ; zo = 0 h) f(z) = z−^3 cosec (z^2 ) ; zo = 0
8. (VC1 & E.D.O. 1)
Seja f : [0, ∞) → R uma fun¸c˜ao seccionalmente cont´ınua em cada intervalo [0, A] (A > 0) e de ordem exponencial (isto ´e, f cresce “mais devagar” que a exponencial quando t → ∞). Definimos a Transformada de Laplace de f por: F (s) = L(f) =
∫ (^) ∞ 0 e
−st (^) · f(t)dt, onde s ∈ R.
a) Usando a defini¸c˜ao, mostre que L(eat) = (^) s−^1 a , se s > a.
b) Usando a defini¸c˜ao, mostre que (a ∈ R)
L(cos at) = (^) s (^2) +sa 2 , se s > 0. L( sen at) = (^) s (^2) +aa 2 , se s > 0. c) Usando a linearidade de L, o item a) e a f´ormula de Euler eia^ = cos a + i sen a, obtenha b) (sem calcular a integral impr´opria).
Respostas:
- a) f(z) = (^) z^22 − ∑^ ∞ n=
(−1)nzn−^2 = z^12 +^1 z − 1 + z − z^2 + z^3 − · · ·
b) f(z) = ∑^ ∞ n=
zn−^1 4 n+1^ =^
4 z +
16 +^
z 64 +^
z^2 256 +^ · · · c) f(z) = (^) 2(−z−^1 1) − 3
∑^ ∞ n=
(z − 1)n−^1 2 n+1^ =^
2(z − 1) −^
4 −^
8 (z^ −^ 1)^ −^
16 (z^ −^ 1)
d) f(z) = ∑^ ∞ n=
n!zn^ = 1 +
z +^
2 z^2 +^
6 z^3 +^ · · ·
e)
e.1) f(z) = − (^) z−^11 − ∑^ ∞ n=
(z − 1)n
e.2) f(z) = − (^) z−^11 + ∑^ ∞ n=
(z − 1)n+ f) f(z) = ∑^ ∞ n=
zn−^2 n! =
z^2 +
z +
2 +^
z 6 +^
z^2 24 +^ · · ·
g)
g.1) f(z) = ∑^ ∞ n=
zn+1^ +
∑^ ∞ n=
zn 2 n+
g.2) f(z) = ∑^ ∞ n=
1 − 2 n zn+ h) f(z) = 1 + 2 ∑^ ∞ n=
z−n
