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Vari´avel Complexa - Lista 1
- Escreva na forma a + bi os seguintes n´umeros complexos:
a) (2 + 3i) · (7 + i) c)
( 1
i
1 + i
) 2
b) (8 + 6i)^2 d)
−3 + 4i
- Seja z = x + yi ∈ C. Encontre as partes real e imagin´aria de:
a) z^3 b)
z^2
c)
z − 1
z + 1
- Represente na forma polar os seguintes n´umeros complexos:
a) −1 + i
3 c) − cos
( π 7
)
( π 7
)
b) −^12 + i
√ 3 2 d)^
3 −i
√ 3 2
- Reduza `a forma a + bi os seguintes n´umeros complexos:
a) (1 + i)^25 c)
(1+i)^9 (1−i)^7
b)
( 1+i
√ 3 1 −i
) 30
- Calcule:
a)
i e) 4
−i
b)
−i f) 4
c)
− 1 g)
−2 + 2i
d) 4
i h)
1 + i
- Resolva:
a) |z| − z = 1 + 2i e) z^3 = ¯z
b) z^2 − 2 z + 2 = 0
- Mostre que: (n ∈ N, n ≥ 2 ; 0 < α < π)
a) (1 + i)n^ = 2n/^2
( cos nπ 4 +^ i^ sen^
nπ 4
)
b) (
3 − i) n = 2 n
( cos nπ 6 −^ i^ sen^
nπ 6
)
c) (1 + cos α + i sen α)n^ = 2n^ cosn α 2
( cos nα 2 + i sen nα 2
)
- Descreva geometricamente os conjuntos de pontos do plano complexo que satisfazem
as seguintes rela¸c˜oes:
a) 0 < |z + i| < 2 e) Im
( z− 1 z+
) = 0 i) Im(z^2 ) < 0
b) 1 < |z − 1 | < 3 f) Re
( z− 1 z+
) = 0
c) 0 < arg < π 4 g)^ Re^
( z+ i+
)
0
d) Re
( 1 z
) = (^1) a , a > 0 h) Re(z^2 ) < 0
- Mostre que:
a) 1+itgθ 1 −itgθ = cos 2θ^ +^ i^ sen 2θ
b) Se z = x + yi ∈ C, ent˜ao |x| + |y| ≤
2 |z|.
c) Se z, w ∈ C, ent˜ao |z + w|^2 + |z − w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2 ) (Identidade do
paralelogramo): Interprete tal resultado geometricamente.
d) Se α ∈ C ´e uma raiz de um polinˆomio P (z) com coeficientes reais, ent˜ao
α¯ ∈ C tamb´em o ´e.
e) Use d) e o Teorema Fundamental da Algebra para concluir que todo polinˆ´ omio
com coeficientes reais e de grau ´ımpar possui pelo menos uma raiz real.
- a) Sejam z 1 , z 2 ∈ C∗. Mostre que Re(z 1 · z¯ 2 ) = |z 1 |·|z 2 | ⇔ θ 1 −θ 2 = 2kπ (k ∈ Z),
onde θ 1 = arg z 1 e θ 2 = arg 2.
b) Mostre que se z ∈ C, z 6 = 1, ent˜ao 1 + z + z^2 + · · · + zn^ = 1 −z
n+ 1 −z
c) Use b) para mostrar que se w ∈ C ´e uma raiz n-´esima da unidade e w 6 = 1,
ent˜ao 1 + w + w^2 + · · · + wn−^1 = 0
d) (Desafio) Mostre a identidade trigonom´etrica de Lagrange
1 + cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ =
sen
[( n + 1 2
) θ
]
2 sen
( θ 2
) (^) (0 < θ < 2 π) (n ∈ N)
Sugest˜ao: Fa¸ca z = cos θ + i sen θ em b) (considerando apenas a parte real) e
utilize identidades trigonom´etricas.
