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tcc sobre fibonacci e pitágoras
Tipologia: Teses (TCC)
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Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial à obtenção do grau de licenciado em Licenciatura em Matemática. Orientador: Prof. Mestre Nicolas Alcan- tra De Andrade
Ao Prof. Mestre Nicolas Alcantra De Andrade por me orientar em em meu trabalho de conclusão de curso de graduação. À aluna Danielle Gonzaga do curso de Pedagogia da Universidade Federal do Ceará, e companheira de vida, que forneceu o conhecimento necessário para a estruturação correta deste trabalho. Ao aluno Fabrício Mendes do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Ceará, pelas discussões sobre o tema deste trabalho. Ao aluno Massimo Pinto do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Ceará, por ter me guiado pela plataforma digital ShareLatex. À minha mãe, Luciane Torres, que me auxiliou a simplificar este trabalho, deixando-o ao alcance a todos os públicos, mas não diminuindo seu nível. Agradeço a todos os professores por me proporcionar o conhecimento não apenas racional, mas a manifestação do caráter e afetividade da educação no processo de formação profissional, por tanto que se dedicaram a mim, não somente por terem me ensinado, mas por terem me feito aprender. E à todos que de alguma forma me ofereceram suporte em toda minha empreitada dentro da Universidade Federal do Ceará.
“Se você não gosta do seu destino, não aceite. Em vez disso, tenha a coragem de o mudar do jeito que você quer que seja.” (Masashi Kishimoto)
It is common sense that our world and the laws that govern it are explained and demonstrated by the sciences; including, with a prominent place, Mathematics. Therefore, this work brings together Mathematical subjects that alone carry diverse applications and importance, and under- takes to understand them and relate them. Nevertheless, this work is also concerned with being accessible to all audiences, thus being both a gateway for those who have not yet discovered their relationships with the sciences as a very interesting reading for those who have already defined and explained their feelings of affection for the scientific knowledge. The bibliographical rese- arch was used in which, after choosing the theme and elaborating the work plan, several papers addressing the subject were identified, fichados and analyzed in detail. The results obtained provide an enchanting insight into the relationships that exist between the chosen subjects and that have occurred in a way that propels the reader to the search for new knowledge. Finally, it was concluded that each of these subjects, by themselves, carry beauty and interesting properties more than enough to dwell on them in order to know all their mysteries, but it is in their relations that beauty and our interest in them intensify in this way, instigating each of us to go deeper into the mysteries that surround us and sustain our reality.
Keywords: Fibonacci’s Sequence. Golden section. Pythagorean Suits. Leonardo Fibonacci. Pitágoras. Euclides
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1 INTRODUÇÃO
O seguinte trabalho apresentará ao leitor temas da Matemática que levam a fama de possuírem as mais belas propriedades e aplicações. Tais temas são a Sequência de Fibonacci, a Secção Áurea e os Ternos Pitagóricos. É de senso comum que esses conhecimentos se fazem presente em diversas áreas do saber humano; como por exemplo, engenharias, artes e biologia. Consequentemente, é atribuído uma beleza e importância mais do que merecida uma vez que esses temas são encontrados tanto em construções humanas como na natureza. Por carregarem tais características, levanta-se a questão: Há relações entre tais saberes? Se existem, de que forma se dão? É esperado que tais relações realmente existam, uma vez que é possível encontrar elementos específicos de alguns Ternos Pitagóricos pertencendo a Sequência de Fibonacci e encontrar o famoso chamado número de ouro quando operamos com termos sucessores da Sequência. Além disso, é interessantes entrarmos no mérito histórico que percorre esses três temas, ligando-os através dos seus principais pensadores, Pitágoras de Samos e Leonardo Fibonacci, que já levavam consigo símbolos um do outro; como por exemplo, o famoso símbolo da escola pitagórica: O pentagrama. O seguinte trabalho tem como objetivo geral, provar a existência de relações entre os temas escolhidos de modo que as demonstrações sejam atrativas tanto para os entusiastas da Matemática quanto ao público que não compartilha da mesma paixão. Para tal, foram adotados como objetivos específicos os seguintes tópicos: Apresentar o contexto histórico dos temas, demonstrar propriedades relevantes e apresentar as mais fascinantes aplicações dos temas. A estruturação tomada por esse trabalho e suas conclusões tem como consequência construir pontes entre o lado belo da Matemática e a base que mantém essa ciência sólida, e entre a própria ciência e pessoas que não se agradam muito com a mesma. Por si só, a disseminação de tal conhecimento, de forma que aguce a curiosidade de quem lê, é justificativa mais que suficiente para que esse trabalho tenha importância tanto para a sociedade quanto para a comunidade cientifica, pois o mesmo pode ser tratado como porta de entrada para pessoas que nunca se imaginaram tendo interesse por tais conhecimentos; desta forma, enriquecendo o futuro da Matemática. A metodologia desse trabalho consiste em uma pesquisa bibliográfica, na qual, após a escolha do tema, a elaboração do plano de trabalho, a identificação e a localização dessas bibliografias, as mesmas foram fichadas e analisadas minuciosamente.
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2 SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
Amplamente conhecida mundialmente, a Sequência de Fibonacci carrega consigo peculiaridades tão belas quanto curiosas e é definida pela seguinte lei: F 1 = 1 , F 2 = 1 , Fn = Fn− 1 + Fn− 2 , ∀n ≥ 3 , na qual F 1 representa o primeiro termo, F 2 representa o segundo termo e os demais termos Fn, que tem como posição n na sequência igual a três ou maior, são formados pela soma de seus dois antecessores Fn− 1 e Fn− 2 , como por exemplo o terceiro termo que é formado pela soma do segundo termo e do primeiro termo, F 3 = F 2 + F 1. Assim, nos fornecendo a famosa sequência: (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...). Aplicações são encontradas em áreas que aparentemente não se relacionam de nenhuma maneira. Exemplos dessas áreas e seus representantes são: Artes, representadas pelos famosos quadros de Leonardo da Vinci, Mona Lisa e A Última Ceia, e a música quando formamos acordes de forma que o mesmo dá o nome para a primeira nota e seu complemento é formado pela terceira nota, quinta nota e oitava nota (1,3,5 e 8); Biologia, representada pela árvore genealógica dos zangões, que tem como peculiaridade o fato de que os mesmos provém de ovos não fecundados, em quanto que ovos fecundados geram apenas abelhas fêmeas.
Figura 1 – Árvore genealógica de um zan- gão
Fonte: (SILVA, 2017)
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2.1 Contexto Histórico
Na Itália, precisamente em Pisa, no ano de 1170, nasce o que viria ser considerado como o maior matemático da idade média, Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa. Filho do comerciante, Guglielmo dei Bonacci, Leonardo acompanhou o pai em suas atividades no porto de Pisa, que era bastante influente no mercado do Mediterrâneo e que proporcionou ao matemático o contato com a matemática hindu e árabe praticada no comércio oriental. Leonardo Fibonacci expressou bastante interesse nos algarismos indo-arábicos, afirmando que os mesmos eram superiores aos algarismos romanos utilizados na Europa, no que se refere ao registro de número e operações entre eles. Por consequência, foi um dos maiores divulgadores do sistema decimal de numeração, utilizado mundialmente nos dias atuais, por meio do seu livro Liber Abacci (1202) que foi utilizado por mais de três séculos no ensino de cálculos aritméticos e ,no qual, Leonardo Fibonacci explica os métodos de cálculo com inteiros e frações, o cálculo de raízes quadradas e cúbicas e a obtenção de raízes de equações lineares e quadráticas. Fibonacci escreveu outros livros além do já citado, como por exemplo Practica Geometriae (1220), Epistola ad magistrum Theodorum (??), Flos super solutionibus quorundam questionum ad numerosum vel ad geometriam vel ad utrumque pertinentium (1225), Liber quadratorum (1225), Di minor guisa e Commentário ao Livro X de ’Os Elementos’ de Euclides, ambos perdidos atualmente. Contudo, é em Liber Abacci que encontramos o problemas que originou a Sequência de Fibonacci: "Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais existirão ao final de um ano?"
Figura 2 – Problemas dos Coelhos
Fonte: (PRISCILA MELO, 2015)
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F 1 + F 2 + F 3 + ... + Fn = Fn+ 2 − 1
2.2.2 A soma dos termos de posição impar
F 1 + F 3 + F 5 + ... + F 2 n− 1 = F 2 n, ∀n ≥ 1
Da mesma forma que fizemos em 2.2.1, faremos uma pequena alteração na nossa lei de formação de modo que seja conveniente para o que queremos:
F 1 = F 2
F 3 = F 4 − F 2
F 5 = F 6 − F 4
...
F 2 n− 3 = F 2 n− 2 − F 2 n− 4
F 2 n− 1 = F 2 n − F 2 n− 2
Somando membro a membro todas as igualdades acima, efetuando os cancelamentos que ocorrerão no segundo membro das equações, obtemos o desejado:
F 1 + F 3 + F 5 + ... + F 2 n− 1 = F 2 n
2.2.3 A soma dos termos de posição par
F 2 + F 4 + F 6 + ... + F 2 n = F 2 n+ 1 − 1 , ∀n ≥ 1
Repetindo o tratamento usado em 2.2.2, temos o seguinte:
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F 2 n− 2 = F 2 n− 1 − F 2 n− 3
F 2 n = F 2 n+ 1 − F 2 n− 1
Somando membro a membro todas as igualdades acima, efetuando os cancelamentos que ocorrerão no segundo membro das equações, obtemos o seguinte resultado:
F 2 + F 4 + F 6 + ... + F 2 n = F 2 n+ 1 + F 1 − F 3
Como F 1 = 1 e f 3 = 2, temos o desejado:
F 2 + F 4 + F 6 + ... + F 2 n = F 2 n+ 1 − 1
2.2.4 A soma do quadrado dos termos
F 12 + F 22 + ... + F n^2 = Fn.Fn+ 1 , ∀n ≥ 1
Afim de tornar as demonstrações mais interessantes para o leitor, faremos uso da indução matemática. Para os que não estão familiarizados com essa técnica, ela consiste de dois passos:
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F k^2 + 2 = Fk+ 2 .Fk+ 2 = Fk+ 2 .(Fk + Fk+ 1 ) = Fk+ 2 .Fk + Fk+ 2 .Fk+ 1 =
= Fk+ 2 .(Fk+ 2 − Fk+ 1 ) + Fk+ 2 .Fk+ 1 = Fk+ 2 .Fk+ 2 − Fk+ 2 Fk+ 1 + Fk+ 2 .Fk+ 1 =
= F k^2 + 2 − (Fk+ 1 + Fk).Fk+ 1 + Fk+ 2 .Fk+ 1 = F k^2 + 2 − F k^2 + 1 − Fk+ 1 .Fk + Fk+ 2 .Fk+ 1 =
= F k^2 + 2 − (Fk+ 2 .Fk + (− 1 )k) − Fk+ 1 .Fk + Fk+ 2 .Fk+ 1 =
= F k^2 + 2 − Fk+ 2 .Fk + (− 1 )k+^1 − Fk+ 1 .Fk + Fk+ 2 .Fk+ 1 =
= Fk+ 2 .(Fk+ 1 + Fk+ 2 − Fk) − Fk+ 1 .Fk + (− 1 )k+^1 =
= Fk+ 2 .(Fk+ 3 − Fk) − Fk+ 1 .Fk + (− 1 )k+^1 = Fk+ 2 .Fk+ 3 − Fk+ 2 .Fk − Fk+ 1 .Fk + (− 1 )k+^1 =
= Fk+ 2 .Fk+ 3 − Fk.(Fk+ 2 + Fk+ 1 ) + (− 1 )k+^1 = Fk+ 2 .Fk+ 3 − Fk.Fk+ 3 + (− 1 )k+^1 =
= Fk+ 3 .(Fk+ 2 − Fk) + (− 1 )k+^1 = Fk+ 3 .Fk+ 1 + (− 1 )k+^1 ⇔
⇔ F k^2 + 2 = Fk+ 3 .Fk+ 1 + (− 1 )k+^1
Como queríamos demonstrar.
2.2.6 O termo de posição n + m
Fn+m = Fn− 1 .Fm + Fn.Fm+ 1 , ∀m ≥ 1 , ∀n > 1
Utilizando o processo de indução matemática:
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Fn+(k+ 1 ) = Fn+k + Fn+(k− 1 ) = Fn− 1 .Fk + Fn.Fk+ 1 + Fn− 1 .Fk− 1 + Fn.Fk =
= Fn− 1 .(Fk + Fk− 1 ) + Fn.(Fk+ 1 + Fk) = Fn− 1 .Fk+ 1 + Fn.Fk+ 2 ⇔
⇔ Fn+(k+ 1 ) = Fn− 1 .Fk+ 1 + Fn.Fk+ 2
Como queríamos demonstrar.
2.2.7 O termo de posição 2n
F n^2 + 1 − F n^2 − 1 = F 2 n, ∀n > 1
Sempre afim de variar nossos métodos de provas e enriquecer o conhecimento do leitor, usaremos conhecimentos adquiridos até agora para demonstrarmos essa propriedade.
F n^2 + 1 − F n^2 − 1 = (Fn+ 1 + Fn− 1 ).(Fn+ 1 − Fn− 1 ) = (Fn+ 1 + Fn− 1 ).Fn = Fn.Fn+ 1 + Fn.Fn− 1 Neste momento, usaremos a propriedade 2.2.6 para obter o seguinte:
F n^2 + 1 − F n^2 − 1 = Fn.Fn+ 1 + Fn.Fn− 1 = Fn+n = F 2 n ⇔ F n^2 + 1 − F n^2 − 1 = F 2 n Como queríamos demonstrar.
2.2.8 A soma de quadrados de números consecutivos
F n^2 + 1 + F n^2 + 2 = F 2 n+ 3 , ∀n ≥ 0
Essa última propriedade será de grande importância quando relacionarmos a Sequên- cia de Fibonacci com os Ternos Pitagóricos.
