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A Sequência de Fibonacci
Renan da Silva
1 Propriedades Básicas
A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica descrita pelo matemático italiano Leonardo de Pisa (1180-1250, aproximadamente), mais conhecido como Fibonacci. Vejamos como ela é de nida.
De nition 1. A sequência de Fibonacci é a sequência (Fn) de nida pela recorrência { F 1 = F 2 = 1 Fn = Fn− 1 + Fn− 2 ∀n ≥ 3
Às vezes é conveniente de nirmos F 0 = 0, nesse caso a recorrência é válida para todo n ≥ 2.
Veja os primeiros termos da sequência: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 ,... Da de nição, segue que Fn = Fn+1 − Fn− 1. Algumas vezes, essa última fórmula pode ser mais útil que a primeira de nição. Veremos agora várias propriedades básicas da sequência de Fibonacci.
Proposition 2. F 1 + F 2 + ... + Fn = Fn+2 − 1 , ∀n > 1.
Demonstração. Note que: F 1 + F 2 = 1 + 1 = 2 = 3 − 1 = F 4 − 1. Logo, a proprosição é verdadeira para n = 2. Suponha verdadeira para n > 2 , então: F 1 + F 2 + ... + Fn + Fn+1 = Fn+2 − 1 + Fn+1 = Fn+3 − 1 Portanto, a proposição é verdadeira para todo n > 1.
Proposition 3. F 1 + F 3 + ... + F 2 n− 1 = F 2 n∀n ≥ 1
Demonstração. De fato, F 1 = 1 = F 2. Suponha a proposição verdadeira para um n > 1. Daí, F 1 + F 3 + ... + F 2 n− 1 + F 2 n+1 = F 2 n + F 2 n+1 = F2(n+1). Portanto, por indução, a proposição é verdadeira para todo n ≥ 1.
Proposition 4. F 12 + F 22 + ... + F (^) n^2 = FnFn+1, ∀n ≥ 1.
Demonstração. Com efeito, F 1 = 1 = 1 1 = F 1 F 2 e supondo a a rmação válida para um n > 1 , temos: F 12 + ... + F (^) n^2 + F (^) n^2 +1 = FnFn+1 + F (^) n^2 +1 = Fn+1(Fn + Fn+1) = Fn+1Fn+2. Logo, por indução, a propriedade é verdadeira para todo n ≥ 1.
Proposition 5. F 0 − F 1 + F 2 − ... − F 2 n− 1 + F 2 n = F 2 n− 1 − 1 , ∀n > 1.
Demonstração. Note que, F 0 − F 1 + F 2 = 0 − 1 + 1 = 0 = 1 − 1 = F 1 − 1. Adimita que vale a propriedade para um n > 2 , mostraremos que também é válida para n + 1. De fato, F 0 − F 1 + ... − F 2 n− 1 + F 2 n − F 2 n+1 + F 2 n+2 = = F 2 n− 1 − 1 + F 2 n+1 + F 2 n+2 = F 2 n+2 − F 2 n − 1 = F 2 n+1 − 1 Provando assim, nossa asserssão.
Proposition 6. F 1 + 2F 2 + 3F 3 + ... + nFn = (n + 1)Fn+2 − Fn+4 + 2, ∀n ≥ 1.
Demonstração. Observe que F 1 = 1 = 4 − 5 + 2 = 2F 3 − F 5 + 2. Supondo que a asserssão vale para um n > 1 , temos: F 1 + 2F 2 + ... + nFn + (n + 1)Fn+1 = (n + 1)Fn+2 − Fn+4 + 2 + (n + 1)Fn+1 = = (n + 1)(Fn+1 + Fn+2) − Fn+4 + 2 = (n + 1)Fn+3 − Fn+4 + 2 = = (n + 2)Fn+3 − (Fn+3 + Fn+4) + 2 = (n + 2)F(n+1)+2 − F(n+1)+4 + 2. Portanto, a proposição é verdadeira para todo n ≥ 1.
2 Sequência de Lucas
A sequência de Lucas é uma sequência numérica similar à sequência de Fibonacci, e está intimamente ligada à esta. Ela foi estudada pelo matemático francês François Édouard Lucas (1842-1891). Veja como ela é de nida.
De nition 7. A sequência de Lucas é a sequência {Ln} de nida pela recorrência: { L 1 = 1, L 2 = 3 Ln = Ln− 1 + Ln− 2 ∀n ≥ 3 Seus primeiros termos são: 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , ...
Observe que a sequência de Lucas obedece à mesma recorrência que a sequência de Fibonacci, diferindo apenas nos seus termos iniciais. É de se esperar, portanto, que as duas sequências tenham propriedades semelhantes. De fato, é o que realmente acontece, como veremos na proposição seguinte:
Proposition 8. Para todo n ≥ 1 , valem as propriedades: a) L 1 + L 2 + ... + Ln = Ln+2 − 3. b) L 1 + L 3 + ... + L 2 n− 1 = L 2 n − 2 c) L 0 + L 2 + ... + L 2 n = L 2 n+1 − 1 d) L^21 + L^22 + ... + L^2 n = LnLn+1 − 2 e) L 0 − L 1 + L 2 − ... − L 2 n− 1 + L 2 n = L 2 n− 1 + 1 f ) L 1 + 2L 2 + 3L 3 + ... + nLn = (n + 1)Ln+2 − Ln+4 + 4
As demonstrações são análogas às feitas para a sequência de Fibonacci e são deixada para o leitor. As duas sequências estão intimamente ligadas. Existem muitas relações entre elas. Vejamos algu- mas:
Proposition 9. Ln = Fn− 1 + Fn+1, ∀n ≥ 1.
Demonstração. Note que L 1 = 1 = 0 + 1 = F 0 + F 2 e L 2 = 3 = 1 + 2 = F 1 + F 3. Supondo a propriedade verdadeira para n e n − 1 , maiores que 2, então: Ln+1 = Ln + Ln− 1 = Fn− 1 + Fn+1 + Fn− 2 + Fn = (Fn− 2 + Fn− 1 ) + (Fn + Fn+1) = Fn + Fn+2. Portanto, a proposição é verdadeira para todo n.
Proposition 10. 2 Fn+m = FnLm + FmLn, ∀n, m ≥ 1.
Demonstração. Faremos indução sobre m. Para m = 1, temos: 2 Fn+1 = Fn+1 + Fn+1 = Fn + Fn− 1 + Fn+1 = = Fn + (Fn− 1 + Fn+1) = Fn + Ln = FnL 1 + F 1 Ln pois Ln = Fn− 1 + Fn+1 (proposição 9) e F 1 = L 1 = 1. Suponha a propriedade válida para todo k < m, mostraremos que também é válida para m. De fato:
Antes de demonstramos o teorema, duas observações. Note que o somatório acima é, na verdade, a soma dos números das diagonais do triângulo de Pascal. Observe o o triângulo abaixo e veri que os primeiros casos:
Além disso, temos que: Se n for par,
Fn =
n 2 ∑
k=
n − k k − 1
Se n for ímpar,
Fn =
n+1 2 ∑
k=
n − k k − 1
Usaremos esses casos particulares na demonstração. Agora, vamos à demonstração do teorema:
Demonstração. Usaremos indução sobre n. Para n = 1, temos:
∑^1
k=
1 − k k − 1
= 1 = F 1
E para n = 2, temos:
∑^1
k=
2 − k k − 1
= 1 = F 2
Suponha agora que a propriedade seja verdadeira para n − 1 e n, maiores que 2. Mostraremos que também é verdadeira para n + 1. Dividiremos em dois casos: Caso 1: n é par. Logo, n − 1 e n + 1 são ímpares. Nesse caso, temos: (n+1)+ ∑^2
k=
n + 1 − k k − 1
n+2 2 ∑
k=
n + 1 − k k
n+2 2 ∑
k=
[(
n − k k − 1
n − k (k − 1) − 1
)]
n+ ∑^2
k=
n − k k − 1
n+ ∑^2
k=
n − k (k − 1) − 1
n ∑^2
k=
n − k k − 1
n+ ∑^2
k=
n − k (k − 1) − 1
Precisamos ajeitar o último somatório. Para isso, faça p = k − 1 e observe que quando k varia de 1 até n+2 2 , então p varia de 0 até n 2. Como p não pode ser 0, então ele deve variar de 1 até n 2. Portanto,
(n+1)+ ∑^2
k=
n + 1 − k k − 1
n 2 ∑
k=
n − k k − 1
n 2 ∑
p=
(n − 1) − p p
n 2 ∑
k=
n − k k − 1
(n−1)+ ∑^2
p=
(n − 1) − p p − 1
= Fn + Fn− 1 = Fn+
Caso 2: n é ímpar. Logo, n − 1 e n + 1 são pares. Nesse caso, temos:
n+ ∑^2
k=
n + 1 − k k − 1
n+ ∑^2
k=
[(
n − k k − 1
n − k (k − 1) − 1
)]
n+ ∑^2
k=
n − k k − 1
n+ ∑^2
k=
n − k (k − 1) − 1
n+1 2 ∑
k=
n − k k − 1
n− 21 ∑
p=
(n − 1) − p p − 1
= Fn + Fn− 1 = Fn+
Portanto, por indução, o teorema é verdadeiro para todo n ≥ 1.
4 Estimativas para os Números de Fibonacci
Nessa secção, pretendemos dar um tratamento mais quantitativo para a sequência de Fibonacci. Pode- mos nos perguntar, por exemplo, o quão rápido, encontraremos, na sequência dos naturias, um número de Fibonacci, ou quão grande eles podem se tornar. Vejamos a proposição seguinte:
Proposition 14. ∀n ≥ 0 , Fn < 2 n.
Demonstração. Para n = 0, temos 0 = F 0 < 1 = 2^0. Logo, a proposição vale para n = 0. Supondo que vale para um n > 0 , mostraremos que também vale para n + 1. De fato, 2 n^ > Fn ⇒ 2. 2 n^ > 2 Fn ⇒ 2 n+1^ > Fn + Fn > Fn + Fn− 1 = Fn+1. Portanto, por indução, a proposição é verdadeira para todo n ≥ 0.
Entretanto, tal estimativa não é tão boa. Ela diz, por exemplo, que F 5 é menor que 32, quando, obiviamente F 5 = 5. Podemos, estar interessado, também, na maneira como os números de Fibonacci estão espalhados entre os números naturais. Ou seja, dado um natural n, quando, a partir de n, podemos ter certeza que encontraremos um número de Fibonacci? O próximo teorema responde essa questão.
Theorem 15. Para todo natural n ≥ 1 , há pelo menos um número de Fibonacci entre n e 2 n.
Demonstração. Se n é um número de Fibonacci, então acabou. Se não, seja Fk o maior número de Fibonacci menor que n, isto é, n > Fk. Mas então, 2 n > 2 Fk = Fk + Fk > Fk + Fk− 1 = Fk+1. E como Fk é o maior número de Fibonacci menor que n, devemos ter Fk+1 > n. Logo, temos que n < Fk+1 < 2 n, e portanto existe um número de Fibonacci entre n e 2 n.
Observe que essa é a melhor estimativa que se pode fazer. Entretanto, o teorema não diz qual(is) o(s) número(s) de Fibonacci encontraremos entre n e 2 n.
Corollary 16. Existe pelo menos um número de Fibonacci entre dua potência consecutivas de 2.
Demonstração. Faça n = 2k^ no teorema anterior e segue-se o resultado.
Pode ser difícil de acreditar que uma sequência formada apenas por números naturais seja dada por uma fórmula como acima. O leitor é então convidado a prová-la por indução sobre n. Podemos agora provar nossa conjectura feita acima, a saber, a razão entre dois números de Fibonacci consecutivos ca cada vez mais próxima de 1,618. Enunciaremos isso como um teorema:
Theorem 18. O limite da razão F Fn+1n , quando n tende ao in nito é aproximadamente 1,618.... Em símbolos:
lim n→∞
Fn+ Fn
Demonstração. Substituíndo os valores de Fn+1 e Fn no limite acima e usando algumas propriedades operátorias dos limites de sequências, temos:
lim n→∞
Fn+ Fn
= lim n→∞
√^1 5
[(
1+ √ 5 2
)n+ −
1 − √ 5 2
)n+1]
√^1 5
[(
1+ √ 5 2
)n −
1 − √ 5 2
)n] = lim n→∞
1+ √ 5 2
)n+
( 1+ √ 5 2
)n =
= lim n→∞
uma vez que
lim n→∞
)n = lim n→∞
)n+ = 0
, pois − 1 < 1 −
√ 5 2 <^0.
O leitor pode observar que o limite acima é precisamente 1+
√ 5
- Esse número é conhecido como o número de ouro e é representado pela letra grega ϕ e aparece por toda a matemática. O número ϕ é exatamente a razão da divisão de um segmente em média e extrema razão. Dizemos que o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão se é válida a proporção:
AB AC
AC
BC
onde AC > BC. Em palavras, isso quer dizer que a razão do segmento todo para a maior parte é igual à razão desta para a menor parte. Podemos achar o valor númerico dessa razão com um pouco de matemática elementar. De fato, se AB = a e AC = x, então BC = a − x e portanto a razão acima é: a x
x a − x
Após alguma manipulação, temos x^2 + ax − a^2 = 0
cuja raíz positiva é
x =
a
5 − a 2 Portanto, a razão ax é
a x
a a √ 5 −a 2
= ϕ
Isto é, ao dividirmos um segmento em méida e extrema razão, o valor da razão é justamente o número ϕ. Os gregos antigos apreciavam o retângulo cuja razão dos lados é igual a ϕ. Eles o chamavam de retângulo áureo e o número ϕ de número de ouro.
5 Fibonacci e Divisibilidades
Os números de Fibonacci possuem muitas propriedades concernentes a teoria dos números. Antes de entramos no assunto propriamente dito, precisamos de um resultado preliminar que nos será útil mais adiante.
Proposition 19. ∀n, m ≥ 1 temos Fm+n = Fm− 1 Fn + FmFn+1.
Demonstração. Por indução sobre n. Para n = 1, temos Fm+1 = Fm− 1 + Fm = Fm− 1 F 1 + FmF 2. E para n = 2, temos Fm+2 = Fm+1 + Fm = Fm + Fm− 1 + Fm = Fm− 1 + 2Fm = Fm− 1 F 2 + FmF 3 Suponha a propriedade verdadeira para n e n − 1 maiores que 1, mostraremos que também é verdadeira para n + 1. De fato, Fm+n+1 = Fm+n + Fm+n− 1 = Fm− 1 Fn + FmFn+1 + Fm− 1 Fn− 1 + FmFn = = Fm− 1 (Fn + Fn− 1 ) + Fm(Fn+1 + Fn) = Fm− 1 Fn+1 + FmFn+2. Logo, por indução a propriedade é verdadeira para todo n ≥ 1.
Agora, vamos ver algumas propriedades dos números de Fibonacci.
Theorem 20. Dois números de Fibonacci consecutivos são primos entre si.
Demonstração. Sejam Fn e Fn+1os dois números. Faremos a prova por indução sobre n. Para n = 1, temos que F 1 = 1 e F 2 = 1 são primos entre si. Suponha então que Fn e Fn+1são primos entre si. Mostraremos que Fn+1 e Fn+2 também o são. De fato, seja d = mdc(Fn+1, Fn+2). Então d|Fn+1 e d|Fn+2. Logo, d|(Fn+2 − Fn+1) = Fn. Então d|Fn+1 e d|Fn e, portanto, por hipótese de indução, d = 1.
O próximo teorema é bem interessante.
Theorem 21. Se m|n então Fm|Fn.
Demonstração. Pela nossa hipótese, temos n = mq para algum q. Faremos indução sobre q. Se q = 1, então é trivial. Suponha então que a propriedade vale para algum q > 1. Pela proposição 19, temos: Fn = Fm(q+1) = Fmq+m = Fmq− 1 Fm + Fmq Fm+ É evidente que Fm|Fmq− 1 Fm e, por hipótese de indução, Fm|Fmq Fm+1. Portanto, Fm|Fn.
Theorem 22. Se r é o resto da divisão de n por m então mdc(Fm, Fn) = mdc(Fm, Fr ).
Demonstração. Temos que n = mq + r para algum q. Logo, podemos escrever mdc(Fm, Fn) = mdc(Fm, Fmq+r ) = mdc(Fm, Fmq− 1 Fr + Fmq Fr+1) Mas se c|b então o mdc(a + b, c) = mdc(a, c) (prove isso). Como Fm|Fmq (teorema anterior), temos que mdc(Fm, Fn) = mdc(Fm, Fmq− 1 Fr + Fmq Fr+1) = mdc(Fm, Fmq− 1 Fr ) Agora, seja d = mdc(Fm, Fmq− 1 ). Note que d|Fmq− 1 e d|Fm. Mas Fm|Fmq (teorema anterior), logo, d|Fmq. Temos que d divide dois números de Fibonacci consecutivos, portanto pelo teorema 20, d = 1. Mas, se mdc(a, c) = 1 então mdc(a, bc) = mdc(a, b) (prove isso também), donde concluímos nal- mente que mdc(Fm, Fn) = mdc(Fm, Fmq− 1 Fr ) = mdc(Fm, Fr ).
Theorem 23. O mdc de dois números de Fibonacci também é um número de Fibonacci e mais mdc(Fn, Fm) = Fd, onde d = mdc(n, m).
