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SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
Cícero Thiago B. Magalhães
Nível Avançado
INTRODUÇÃO
O nome seqüência de Fibonacci, foi dado pelo matemático francês Edouard Lucas no século XIX.
Porém, a seqüência surgiu de um problema que estava proposto na obra "Liber Abaci" de Leonardo
de Pisa (1180 – 1250), conhecido como Fibonacci. O problema era o seguinte: "Um homem põe um
casal de coelhos dentro de um cercado. Quantos pares de coelhos serão produzidos em um ano, se a
natureza desses coelhos é tal que a cada mês um casal gera um novo casal, que se torna fértil a partir
do segundo mês?" Depois de séculos de trabalho, é possível hoje citar uma quantidade enorme de
propriedades da seqüência do número de coelhos existentes após n meses. O objetivo deste trabalho é
apresentar algumas propriedades básicas desta seqüência.
Definição
A seqüência de Fibonacci é definida da seguinte maneira:
f 1 (^) = f 2 = (^1) e f (^) n = f (^) n − 1 + fn − 2 , ∀ n >2.
Por conveniência, algumas vezes usaremos f 0^ =0.
Propriedades básicas
(I) Para todo n^ ≥^ 1 :^ f 1^ +^ f^ 2 +^ ...^ +^ f^ n =^ f^ n + 2 −^1
Prova: n^ =^ 1 :^ f 1^ =^ f 3 −^1
Vamos supor q^ ≥^1 e f 1^ +^ f^ 2 +^ ...^ +^ fq^ =^ f^ q + 2 −^1
n = q + 1 : f 1 (^) + f (^) 2 + ... + fq + f (^) q + 1 = fq (^) + 2 − 1 + f (^) q + 1 = fq + 3 − 1
(II) Se m^ ≥^1 e n^ >^ 1,então fn^ + m =^ f^ n − 1 f^ m + f^ n fm + 1
Prova: Vamos fazer indução sobre m :
m = 1 : f (^) n + 1 = f (^) n − 1 f 1 (^) + f (^) n f (^) 2 = fn (^) − 1 + fn (verdadeira)
m = 2 : f (^) n + 2 = f (^) n − 1 f (^) 2 + fn f (^) 3 = f (^) n − 1 + 2 f (^) n = ( f (^) n − 1 + f (^) n )+ fn = f (^) n + fn + 1 (verdadeira)
Seja q > 2 e suponhamos a propriedade válida para todo k^ , 2^ ≤^ k^ <^ q , e para todo n > 1. Esta
suposição, mais o fato de que a propriedade vale também para k = 1, nos garante:
f (^) n + ( q − 2) = f (^) n − 1 fq (^) − 2 + fn fq − 1
fn (^) + ( q −1) = f (^) n − 1 f (^) q − 1 + f (^) n fq
Somando membro a membro essas igualdades e levando em consideração a fórmula recursiva que
define (^ fn ) :
f (^) n + q = f (^) n − 1 f (^) q + f (^) n fq + 1
Ou seja, a fórmula vale também para q , sempre que n > 1. O princípio da indução nos garante então
que vale para todo m^ ≥^1 e qualquer n > 1.
(III) Dois números de Fibonacci consecutivos fn^ e f^ n + 1 são primos entre si.
A prova fica como exercício.
(IV) Se m^ |^ n ,^ então f^ m |^ fn.
Prova: Por hipótese n = mq , para algum q^ ∈^ `.^ Usaremos indução sobre r.
Se q = 1, então m = n e é fácil ver que f^ m |^ f^ n .Seja q^ ≥^1 e admitamos que fm^ |^ fmq.
Então, usando a propriedade (II):
fm q (^) ( +1) = f (^) mq + m = f (^) mq − 1 f (^) m + f (^) mq fm + 1
Como fm^ | fmq^ − 1 fm e f^ m | f^ mq f^ m + 1 (pois, pela hipótese de indução, fm divide f^ mq ),então fm
divide a soma desses dois produtos. Ou seja: f^ m |^ f^ m q ( +1).
(V) Seja d = mdc ( m , n ), então mdc (^ f^ m ,^ fn^ )^ = fd.
Prova: Indução em m + n. Se m = 1, mdc ( m , n ) = 1 e mdc ( fm , fn ) = mdc (1, fn ) = 1 = f 1. Se m + n = 2 é
trivial. Se m = n não há o que provar.
Se 2 ≤^ m^ <^ n , f^ n =^ f^ m + ( n − m ) =^ f^ m − 1 f^ n − m +^ f^ m f^ n − m + 1 ⇒^ m dc^ (^ f^ m ,^ fn )=
( III ) mdc ( f (^) m , f (^) m − 1 f (^) n − m ) = mdc ( f (^) m , fn − m ),que é igual, por hipótese de indução a
fmdc m n (^) ( , − m ) = fmdc m n ( , ).
Veja também a solução do problema proposto No. 92 na Eureka! 20, pp 55 – 57.
(VI) Seja
2 x = x + 1,então, para n = 2, 3, … nós temos que
n x = f xn + f (^) n −
Prova: É trivial o caso n = 2. E se (^1)
n x = f xn + f (^) n − para algum n ≥ 2,então
1 ( 1 )
n n x x x f xn f (^) n x
= ⋅ = + −
2 = f xn + fn (^) − 1 x
= f (^) n ( x + 1)+ f (^) n − 1 x
= ( fn + f (^) n − 1 ) x + fn
= f (^) n + 1 x + fn ,
como desejado!
Vejamos que as raízes de
2 x = x + (^1) são os números
α = (^) e
β =
Então, para todo n = 2, 3, … nós temos
1
n α = f (^) n α + f (^) n −
e
n β = f (^) n β + f (^) n −
Subtraindo as duas últimas equações temos que (^ ),
n n α − β = fn α − β (^) e notando que α − β = (^5) ,
nós encontramos a fórmula de Binet
n n fn
α − β
α − β
Problema 1
Seja
α = (^) Determine todos os n ∈ ` (^) tais que n 2 α − n α (^) seja inteiro.
Problema 6:
Sejam L 0 (^) = 2, L 1 = 1,e Ln (^) + 2 = Ln (^) + 1 + Ln ,para n ≥ 0,a seqüência de Lucas.
Prove que, para todo m^ ≥1,
2 2 1 1
k m ,
m
k
L f (^) +
onde f^ n é a seqüência de Fibonacci.
Problema 7:
Achar o termo geral pn^ se p 0^ =^1 e
3 pn (^) + 1 = 5 pn − 3 pn ,para n ≥0.
Problema 8:
Todo natural pode ser unicamente escrito como soma de números de Fibonacci distintos, de índices
não consecutivos e maiores que 1. (Teorema de Zeckendorff).
Problema 9:
Sejam a e b inteiros positivos tais que
93 b (^) é divisível por
19 a (^) e
93 a (^) é divisível por
19 b .Prove que (^4 ) ( )
fn a b
fn ab para todo n > 1.
Problema 10:
Prove que nenhum número de Fibonacci é potência de 7.
Problema 11:
Sejam (^ f^ n )a seqüência de Fibonacci e, para todo inteiro positivo n ,
2 2 Vn = f (^) n + f (^) n + 2.
Prove que, para todo inteiro positivo n , Vn^ , Vn^ + 1 , Vn^ + 2 são lados de um triângulo de área
1 . 2
REFERÊNCIAS:
[1] Ross Honsberger, Mathematical Gems III , MAA, 1985.
[2] Hygino H. Domingues, Fundamentos da Aritmética, Atual, 1991.
