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Estudo geral de funções
Tipologia: Notas de estudo
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Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa (PROPEP) Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências Mestrado Profissional em Ensino das Ciências na Educação Básica
Apostila
Autores Carlos José Borges Delgado Clicia Valladares Peixoto Friedmann Jacqueline de Cassia Pinheiro Lima
Outubro de 2010
básica sobre funções: conceito de função, domínio, imagem, unicidade, variáveis, classificação e formas de representação. As três apostilas restantes são específicas sobre Função Afim, e envolvem sempre a presença de exercícios contextualizados ou interdisciplinares. Na segunda apostila foram trabalhadas as duas primeiras representações da função afim: língua natural e a forma algébrica. Na terceira, se introduziu a forma tabular e, na quarta a representação gráfica. Em todas as apostilas foram trabalhadas as conversões (articulações) entre os vários registros presentes, bem como os tratamentos necessários nas resoluções dos exercícios resolvidos.
PARTE 1 No Ensino Fundamental são estudadas equações do 1º grau e equações do 2º grau. Descubra qual(is) das expressões abaixo são equações do 1º grau ou equações do 2º grau, quando escritas na forma geral.
1 ) 4 x 1 4 x
2 ) x 6 xx
3 ) 3 x^2 ( 1 x ) 4 0
4 ) x x^5 3
5 ) 2 x 8 0
6) f ( x ) 5 x 8
7) x^2 3 x 9
8 ) 10 2 ( 4 x ) 9) f ( x ) 2 x^2 4 x 4 10 ) 8 6 x x^2 11 ) 3 x^2 6 x 12 ) x ( 2 3 x ) 2 ( x 3 ) 0 13 ) 5 x 10 14 ) (^) 2 x 3 x x^ 612
Respostas: a) São Equações do 1º grau as equações de números: ............................................. b) São Equações do 2º grau as equações de números: .............................................
(respostas no final da apostila)
Tente encontrar uma equação que permita chegar à solução, em cada uma das questões abaixo. A seguir desenvolva-a até descobrir o resultado final.
1ª questão : O triplo da idade de André mais 18 é igual a 81 anos. Qual é a idade de André?
2ª questão : A sequóia é considerada a espécie de árvore mais alta do mundo. Se multiplicarmos por 2 a altura que uma sequóia pode atingir e adicionarmos 96 metros, obtemos 330 metros. Qual é a altura que essa árvore pode atingir?
3ª questão : A soma de dois números consecutivos é 37. Quais são esses números?
4ª questão : Um ciclista desistiu da competição ao completar 1 4 do percurso total.
Se ele tivesse corrido mais 2 quilômetros, teria cumprido 13 do percurso total.
Quantos quilômetros tem o percurso total?
5ª questão : Na casa de Geraldo tem um jardim de formato retangular com 38 metros de perímetro. O comprimento do jardim é 5 metros maior que sua largura. Quais são as dimensões do jardim da casa de Geraldo?
6ª questão : A diferença atual entre a idade de Carlos e da Bruna é de 15 anos. Daqui a 5 anos a idade de Bruna será a metade da idade de Carlos. Quais são as idades atuais de Carlos e Bruna?
Utilize este espaço e o verso da folha para os cálculos necessários
(respostas no final da apostila)
Carolina pergunta a Ana como ela pode escrever na forma de equação o que está pensando: “A soma de dois números é 7. Quais são esses possíveis números?” Ana respondeu à Carolina: São 2 números, então primeiro deves representar um número por x e, o outro por y. Assim podes escrever a equação que pensou da seguinte forma: x + y = 7. Esta equação tem duas incógnitas, x e y. Chamamos então de uma equação do 1º grau com duas incógnitas. Entretanto, podemos ter situações que envolvem duas equações com duas incógnitas, em cada uma. Neste caso temos um sistema de equações na qual os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equações.
Exemplo 1: Dois números têm soma 111 e diferença 33. Quais são esses números? Se denominarmos um dos números de x e o outro por y então podemos construir um sistema de equações para esta situação.
x y II
x y I
Temos 2 métodos principais para chegarmos à solução, vamos vê-los.
Quando adicionamos membro a membro as equações I e II. Ele é o mais adequado quando o coeficiente de uma das incógnitas da 1ª equação (I) é o oposto do coeficiente da mesma incógnita da 2ª equação (II). Somando as duas equações eliminamos uma incógnita. Assim somando as equações I e II temos:
Exemplo 3: Encontre a solução do sistema
x y II
x y I
Para rearrumar o sistema, podemos multiplicar a equação I por – 4, assim:
x y II
x y I
x y x
x y II
x y I
Substituindo x = 20 na equação I, temos: 3 x y 90 60 y 90 y 90 60 30
Resposta: x = 20 e y = 30.
Neste método, primeiro escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas. Depois substituímos, na outra equação, o valor da incógnita isolada e assim encontramos o valor da incógnita que estamos calculando. Substituindo seu valor em uma das duas equações iniciais, determinamos o valor da incógnita que isolamos inicialmente. Aplicando este método nos exemplos acima, teremos que encontrar as mesmas soluções encontradas pelo método da adição.
Exemplo 1: Dois números têm soma 111 e diferença 33. Quais são esses números?
x y II
x y I
Isolando o valor de x na equação (I), temos: x = 111 – y. Substituindo o valor de x na equação II: x – y = 33; 111 – y – y = 33; 111 – 2y = 33;
Resposta: Os números procurados são 39 e 72.
Exemplo 2: A soma entre a idade de Carlos e o dobro da idade de Lúcia é 125 anos. Qual é a idade de Carlos e de Lúcia, sabendo que Lúcia tem o dobro da idade de Carlos?
Chamando a idade de Carlos de x e, Lúcia de y, temos:
y x II
x y I
Observe que neste caso, a equação (II) já está com o valor de uma das incógnitas isolado (y = 2x), basta então substituí-lo na equação (I). x + 2y = 125; x + 2(2x) = 125; x + 4x = 125; 5x = 125; x ^1255 25 Substituindo x=25 na equação (I): x + 2y = 125; 25 + 2y = 125; 2y = 125 – 25 2 x 100 x ^1002 50
Resposta: Carlos tem 25 anos e Lúcia 50 anos.
Exemplo 3: Encontre a solução do sistema
x y II
x y I
Na equação (I), o coeficiente da incógnita y é 1, então será mais fácil isolá-lo. Ficamos com: 3x + y = 90; y = 90 – 3x Substituindo na equação (II), encontramos o valor de x. 2x+4y = 160; 2x+4(90 – 3x) = 160; 2x+360–12x = 160;
2x–12x = 160–360; –10x = – 200; x ^20010 20
Substituindo x=20 na equação (I), temos: 3 x y 90 60 y 90 y 90 60 30
Resposta: x = 20 e y = 30.
Uma equação do 2º grau é toda equação de incógnita x que tem como forma
geral a expressão ax^2 + bx + c = 0 , com a ≠ 0 e, a, b e c ℝ.
A solução de uma equação do 2º grau dependerá do valor de ∆=b^2 -4ac. Existem três casos considerados. Chamando x 1 e x 2 as soluções da equação, temos: Se ∆>0 então há duas soluções reais e distintas (x 1 ≠ x 2 ); Se ∆=0 então há uma única solução real (x 1 = x 2 ); Se ∆<0 então não há solução dentro do conjunto dos Números Reais.
Exemplo – Seja a equação x^2 – 2x – 8 = 0. Vamos determinar os valores de x para que a igualdade seja verdadeira e sua representação na reta numérica real.
Na equação x^2 – 2x – 8 = 0 temos a = 1, b = – 2 e c = – 8. x^2 – 2x – 8 = 0 usando a fórmula de Bhaskara ou a relação entre as soluções
a = 1 x^1 + x^2 = –^ a
b (^) e x 1. x 2 = a
c (^) chegaremos aos valores de x 1 e x 2
b = – 2 2 4 (^2 ) ( 22. 1 )^4.^1 .(^8 )^224322236226
b b a ac
c = – 8 x 1 (^) ^22 ^6 28 4 e x (^) 2 ^22 ^6 24 2 Logo x 1 (^) 4 e x 2 2
Prova real: x 1 = 4 x 2 = – 2 x^2 – 2x – 8 = 0 x^2 – 2x – 8 = 0 42 – 2.4 – 8 = 0 (– 2) 2 – 2. (– 2) – 8 = 0 16 – 16 = 0 8 – 8 = 0 0 = 0 0 = 0 Comprovando que x 1 = 4 e x 2 = –2 são as soluções da equação x^2 – 2x – 8 = 0
Representação da Solução da Equação do 2º Grau na Reta Numérica Real Os pontos –2 e 4 na reta numérica representam a solução da equação do 2º grau x^2 –2x–8=
A noção de conjunto é bastante simples e fundamental em matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos matemáticos. Apresentaremos, a seguir, uma revisão sobre conjuntos 2 , com as informações necessárias para o estudo da função afim.
Conjunto é uma coleção ou grupo de objetos, chamados elementos.
a) Conjunto: indicamos com letras maiúsculas: A, B, C, ...
b) Elemento: indicamos com letras minúsculas ou por números.
Exemplos: A = { 1, 2, 3 } B = { a, e, i, o, u } C = { preto, vermelho}
c) Conjunto Unitário: é aquele que tem um elemento.
Exemplos: A = { 1 } B = { 20 } C = { x | x é mês com inicial f }
d) Conjuntos Iguais: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B for elemento de A. Simbolicamente, escrevemos: A = B { x, x A e x B }
Exemplos: a) { 1, 5, 7, 9 } = { 9, 5, 1, 7} b) { 2, 4, 6 } = { 6, 2, 4 }
e) Conjuntos Disjuntos: Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem elementos em comum.
Exemplos: A = { 3, 4 } e B = { 5, 6 } C = { 8, -9, 10 } e D = { -8, +9, -10 }
(^2) Não apresentaremos, nesta revisão de conjuntos, os conjuntos numéricos.
6ª) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
7ª) Dado um conjunto com n elementos, o total de subconjuntos pode ser calculado por: Nº Sub = 2n
Exemplo: A = { 1, 2, 3 } n(A) = 3 Nº subconjunto = 2^3 = 8
a) Reunião (ou união) de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, chama-se conjunto união de A e B ao conjunto C dos elementos que pertencem a A ou a B.
Simbolicamente: C = A B = { x | xA ou xB }
Exemplos: a) { 1, 2 } { 3, 4 } = {1, 2, 3, 4} b) { 1, 2, 3 } ø = {1, 2, 3} c) { 1, 2 } { 4, 6 } { 3, 4 } = { 1, 2, 3, 4, 6 }
d)
Observações: 1) se A B então A B = B
b) Intersecção de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B ao conjunto formado por elementos que pertençam simultaneamente a A e B.
Simbolicamente: C = A B = { x | xA e xB }
Exemplos: a) { 1, 2, 3 } { 2, 3, 4 } = { 2, 3 } b) { 2, 4, 6 } { 0, 1, 8 } = ø c) { 1, 2, 3 } ø = ø
d)
Observações: 1) Se A B então A B = A
c) Diferença de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre conjuntos A e B (nesta ordem) ao conjunto C formado pelos elementos que pertençam exclusivamente ao conjunto A.
Simbolicamente: C = A - B = { x | xA e xB } ou C = B - A = { x | xB e xA }
Exemplos: a) {a, b, f } - { b, c, d, e } = { a, f } b) {b, c, d, e } - { a, b, f } = { c, d, e } c) { 2, 4 } - { 2, 4, 6 } = ø d) { } - { 2, 4 } = ø e) { 2, 4 } - { } = {2, 4}
f)
d) Complementar de B em A: Dados dois conjuntos A e B, com a condição de B estar contido em A, chama-se complementar de B em relação a A ao conjunto A - B e escrevemos:
São subconjuntos dos números reais, denominados intervalos, que são determinados por meio de desigualdades.
Intervalo Aberto ( a, b ) ou ] a, b [
Intevalo Fechado [ a, b ]
O conceito de função é um dos mais importantes em matemática, está associado à análise da variação entre grandezas. Ao longo da história, o conceito de função sofreu alterações, somente no início do século XX, passou a ser associado como relações unívocas 3 entre conjuntos. Adotaremos a definição apresentada no livro “A Matemática do Ensino Médio – Vol. 1”- prof Elon Lages Lima et al, 2005.
Dados os conjuntos X, Y, uma função f:X →Y (lê-se “uma função de X em Y”) é uma regra (ou conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento x X um elemento y = f(x) Y. O conjunto X chama-se domínio e Y é o contra- domínio da função f. Para cada x X, o elemento f(x) Y chama-se a imagem de x pela função f, ou o valor assumido pela função f no ponto x X. Escreve-se x f(x) para indicar que f transforma (ou leva) x em f(x).
Observações:
1 – Seja a função f:X→Y, o conjunto X é o domínio da função; o conjunto Y o contra- domínio e, o conjunto de todos os elementos de Y que estão associados ao conjunto X é o conjunto imagem. Representamos o domínio por D(f); o contra-domínio por CD(f) e a imagem por Im(f). O conjunto imagem é sempre um subconjunto do contra- domínio (Im(f)CD(f)).
2 – Uma função não precisa ser uma relação entre conjuntos numéricos; relações entre objetos podem ser associados com funções. Por exemplo a relação entre as chaves de um chaveiro (domínio) e respectivos cadeados e portas (imagem). Seja X o conjunto que representa as chaves do chaveiro. O conjunto Y (contra-domínio) é o conjunto de todos os cadeados e portas. Para cada elemento x (chave) X estará associado um único elemento y (cadeado ou porta) em Y.
(^3) Unívoca: Um elemento do 1º só pode estar associado a um único elemento no 2º conjunto.
D(f) = X = {0,1,2,3,4} CD(f) = Y = {0,1,4,5,7,9,11,13,16} Im(f) = {0,1,4,9,16} f: X → Y x f(x) = x^2
3 – Em uma função, cada um dos elementos x X do domínio só pode estar associado a um único elemento y Y do contra-domínio. Entretanto, um elemento do contra-domínio pode estar associado a mais de um elemento do domínio.
X Y X Y
f: X → Y f: X → Y x f(x) = 7 x f(x) = x^2
4 – Não pode haver nenhum elemento x do domínio X que não esteja associado a um elemento y do contra-domínio Y.
X Y
f: X → Y x f(x) = x + 1
Não representa uma função porque o elemento 5 do domínio X não está associado a um elemento do contra- domínio Y.
5 – Não deve haver ambigüidades: a cada elemento x X, deve-se fazer corresponder um único f(x) em Y.
X Y
f: X → Y
Não representa uma função porque os elementos 1 e 4 do domínio X estão associados a mais de um elemento no contra-domínio Y.
0 1 2
4 5 7 8 9 11
1 0 4 9
0 1 2 3 4
0 5 1 7 4 11 9 13 16
0 1 4 9
0 1 2 3 4 5 1 2 7 3 8 4 9 5
