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Apostilas de Matemática Básica sobre Função Afim, Taxa de variação de uma função afim, Funções Partidas.
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Metas Esta unidade é sobre a noção particular de função, conhecida como função afim.
Objetivos Ao final desta unidade você deve: conhecer a noção de função afim; saber esboçar o gráfico de uma função afim a partir de sua expressão; saber determinar a expressão de uma função afim a partir de uma representação do seu gráfico.
Uma função afim é uma função do tipo f : , com f ( x ) = ax + b , onde a , b são constantes pré fixadas. Apesar da simplicidade desta função, ela é bastante importante no estudo geral das funções, além de modelar vários problemas práticos. Podemos começar o estudo de uma função afim pela descrição do seu gráfico. A representação gráfica no plano cartesiano 2 da função afim coincide com a representação de uma reta no plano. Isto é, o conjunto {( x , y ) 2 | y = ax + b } marcado no plano R^2 forma uma reta.
y = ax + b
O aluno pode verificar esta afirmação sobre o gráfico da função afim estudando algumas equações e representando-as numa folha quadriculada. Ou, pode verificar em algum programa matemático como fica o gráfico de alguns exemplos. Um programa bom para isto é o GeoGebra. Veja, por exemplo, a figura obtida neste programa para o gráfico da função dada por y = 3 x + 1.
b) Nos gráficos obtidos no item anterior, marque, para cada item, a raiz da função, isto é, o x tal que f ( x ) = 0. c) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, o gráfico das funções dadas por f ( x )
= 12 x , g ( x ) = 2 x e h ( x ) = 3 x.
d) Diga se é verdadeiro ou falso. ii) A reta y = 2 x tem uma inclinação maior do que a reta y = 3 x. iii) As retas y = 4 x , y = 4 x 2 e y = 4 x + 15 são paralelas. iiii) As retas y = 2 x + 1 e y = 5 x 2 são concorrentes.
A primeira aplicação do esboço de gráfico de funções afins se dá na resolução de inequações envolvendo expressões polinomiais do 1º grau. A saber, o fato do valor da expressão y = ax + b ser positivo, nulo ou negativo pode ser imediatamente reconhecido pelo desenho do gráfico da função f ( x ) = ax + b. Vejamos, como exemplo, a figura a seguir que representa uma parte do gráfico da função f : , com f ( x ) = 3 x 6.
Desenho obtido no GeoGebra Pela figura do gráfico, é imediato a avaliação do sinal do valor de y = 3 x 6, qualquer que seja o ponto x. Temos que, para pontos x maiores do que 2, y = 3 x 6 é um número positivo. Para pontos x menores de 2, y = 3 x 6 é um número negativo. E quando x = 2, y = 3 x 6 = 0. Note que a avaliação foi feita sem nos preocuparmos com o valor exato da expressão y = 3 x 6. Por exemplo, podemos verificar, no desenho, que o valor de y = 3 x 6 para x = 3 é 3, um número positivo, e podemos verificar que o valor de y = 3 x 6 para x = 1 é 3, um número negativo. Mas, para a resolução da
inequação, não precisamos saber o valor de y = 3 x 6, só precisamos saber se este é positivo, negativo ou nulo. Isto é imediato do desenho do gráfico da função. Outro aspecto desta abordagem geométrica é evitar a manipulação algébrica. Por exemplo, o aluno deve ter aprendido na unidade 4 a resolver a inequação 3 x 6 > 0 procedendo da seguinte maneira: 3 x 6 > 0 3 x > 6 x > 6/3 x > 2. Esta mesma resposta pode ser obtida imediatamente da representação gráfica da função. Vejamos outro exemplo. Agora, os coeficientes não são dados, só um esboço do gráfico de uma função que tem como expressão y = ax + b , onde a < 0. Note, leitor, que o desenho é só um esboço, mesmo. Não existe graduação na reta nem marcação de valores, com exceção da raiz da função, x 0. Ainda assim, este desenho rústico é suficiente para o estudo das inequações ax + b > 0 ou ax + b < 0.
Pelo desenho, para x < x 0 , os valores y = ax + b são positivos e, para x > x 0 , os valores y = ax + b são negativos. Temos que ax + b = 0 quando x = x 0.
Atividade 3: Resolva as inequações. Para analisar o sinal de cada expressão polinomial do 1º grau, faça um esboço bem simples do gráfico. a) 2 x 1 > 0 b) x + 3 0 c) x + 1 < 3 d) 3 x 2 < 5 x +
e)
x x f)
x x g)
x
Exemplo: Vejamos uma inequação envolvendo produto de duas expressões polinomiais do 1º grau, (2 x + 4)( 3 x + 7) > 0. A solução deste problema é baseada na regra de sinais para a multiplicação, positivo com positivo é positivo, positivo com negativo, ou
Exemplo: A relação entre y e x é uma função afim. Sabendo que y = 1, se x = 1, e y = 3, se x = 1, determinar a equação da função. Solução: Se a expressão relacionando y com x é uma função afim então y = ax + b. Para resolver esta questão, é preciso encontrar os valores a e b. Para isto, usando as informações fornecidas, basta determinar a solução do sistema
a b
a b 3
Resposta: y = – 2 x – 1.
Atividade 5: a) Encontre a equação da reta que contém os pontos: i) (0, 1) e (1, 0); ii) (4, 1) e (2, 1); iii) (0, 1) e (1, 2); iv) (0, 2) e (1, 3); v) (2, 1) e (2, 3). b) Encontre a equação da reta a partir dos dados fornecidos. i) a = 2 e a reta passa por (2, 7); ii) b = 1 e a reta passa por (1, 0); iii) a = 3 e y = 3 quando x = 1; iv) a = 3 e y tem valor 8 no ponto x = 1; v) a reta corta o eixo y em 2 e y = 1 se x = 1; vi) a reta intercepta o eixo x em 5 e (1, 2) pertence à reta; vii) a reta é paralela ao eixo x e (1, 3) pertence à reta; viii) b = 2 e y = 2 quando x = 33. c) Suponha que custa $15 para fabricar um determinado produto, além de uma despesa fixa diária de $400. Se x unidades forem produzidas por dia e y Reais for o custo total diário para o fabricante, determine a expressão de y como função de x. d) Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo retângulo, de catetos medindo 10m e 20m. Determinar a fórmula da área do galpão em função de x dado no desenho (é preciso expressar y em função de x ).
e) Determine a imagem da função f : [0, 5) , f ( x ) = 3 x 1. f) Observe o gráfico da f a seguir e determine sua expressão.
x
y
