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Taxa de variação de uma função afim
Como fica a taxa de variação média de uma função afim? Se y e x estão
relacionadas por y = ax + b , então
a x x
ax x x x
ax b ax b x x
y y x
y
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
Isto é,
x
y
= a.
Neste caso, tem-se que a taxa de variação média de uma função afim é constante e não
depende do intervalo de variação de x 1 a x 2 (compare esta observação com os exemplos
ilustrados na unidade anterior). Com respeito ao comentário acima, vale a seguinte
Propriedade: A relação de dependência da variável y com relação à variável x é uma
função afim se, e somente se, a taxa de variação média de y com relação a x em todo
intervalo é sempre constante.
Observação: Em uma função afim, y = ax + b , o coeficiente a determina a taxa de
variação da função.
Observação: Já vimos nesta unidade que, numa relação afim y = ax + b , o coeficiente a
indica se a função é crescente, decrescente ou constante, dependendo de ser a > 0, a < 0
ou a = 0, respectivamente. Com a descrição do coeficiente a como a taxa de variação da
função, vemos agora que o coeficiente a diz mais precisamente com que rapidez y varia
em função de x. Por exemplo, nas duas funções afins, y = 7 x e y = 13 x , além de
sabermos que y varia de modo crescente nas duas equações, sabemos mais ainda: que y
varia com mais rapidez na segunda.
Aplicação: Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira, obtém os
seguintes dados:
em 5 s recolhe 15 litros; em 10 s recolhe 30 litros; em 15 s recolhe 45 litros; em 20 s recolhe 60 litros e etc.
Calculando a taxa de variação média em cada intervalo de 5 s, por exemplo, encontra-se
o valor constante x
y
= 3. Assim, o melhor modelo para representar o fenômeno
descrito é uma função afim. Pelos dados fornecidos, temos a = 3 e b = 0 (= f (0)), e
encontramos a equação
y = 3 x.
Exemplo: Só para ilustrar, pelo exemplo de queda livre visto na unidade anterior, y =
5 x^2 , tem-se que a taxa de variação entre o intervalo de 0 a 1 é x
y
= 5, enquanto
que a taxa de variação no intervalo de 1 a 2 é x
y
= 15. Como a taxa de
variação não é constante, a relação entre a distância e o tempo não é uma função afim.
De fato, já tinha sido visto que a equação da distância em relação ao tempo é d = 5 t^2.
Atividade 6: a) Em um lago, a pressão p varia com a profundidade h de acordo com a fórmula p =
h + 1, para h 0 ( p em atmosferas e h em metros).
i) Represente o gráfico da pressão em função da profundidade. ii) Qual a taxa de variação da pressão em relação à profundidade? Em que unidade é medida? iii) Se descermos 20 metros a partir de um determinado ponto, de quanto varia a pressão?
b) Um tanque contém inicialmente 20 litros de água. Uma torneira despeja água no tanque à razão constante de 5 litros por minuto. i) Qual o volume de água no tanque após 10 minutos? ii) Qual o volume V de água no tanque após t minutos? iii) Qual a taxa de variação de V em relação a t? Em que unidades é medida?
c) A massa m do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t de acordo com a
expressão m = 30 4 t ( m em Kg e t em horas). i) Qual a taxa de variação da massa em relação ao tempo? Interprete. ii) Em quanto tempo o tanque perde 10 kg de oxigênio?
Funções Partidas
g) h ( x ) =
0 , 5 1 , ( 0 , 2 ]
x x
x x
xx ; h) f ( x ) =
1 , 5 2 , [ 3 , 1 ]
x x
x
x x .
Atividade 7: Baseada no gráfico, determine a expressão de f ( x ).
a)
b)
Solução das atividades
Atividade 1 solução: a) Quando x = 0, temos y = 3.0 + 1 = 1. Logo, o ponto (0, 1) pertence ao gráfico de da função. b) Quando y = 0, temos 0 = 3 x + 1, donde x = 1/3. Olhando o desenho com cuidado, parece que o valor está de acordo, isto é, parece que a reta está cortando o eixo x em um terço da unidade.
Atividade 2 solução:
a) 1 ) 2) Observação: nos itens (1) e (2), as duas equações tem o mesmo coeficiente linear, b = 1. Veja como as duas retas cruzam o eixo y. Note também que o coeficiente angular da segunda equação é maior, a = 2, do que o coeficiente angular da primeira equação, a =
- Veja, no desenho, como isto afeta a inclinação das retas.
Atividade 3 – solução:
a) S = { x : x > 2
b) S = [3, +)
c) x 2 < 0 S = (, 2)
d) 2 x + 3 > 0
S = ( 2
e) A solução de da 1ª inequação é representada na reta numérica por
