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Funções: Composta E Inversa
Rafael Massato Kawamura
Função Composta
Devemos entender que a função composta nada mais é que uma função “dentro” de outra. Usa-se duas notações para se representar uma composição de funções, ou seja: (1) F(g(x)) (2) Fog Para podermos calcular essa composição, devemos começar representando as funções de fora para dentro, ou seja, primeiro a função f(x) e logo em seguida a função g(x), “dentro” da primeira função. Quando por exemplo, calculamos f(1) na função f(x) = x + 2, basta substituirmos todas variáveis x pelo valor 1, então teríamos, pelo exemplo f(1) = 1 +2, então f(1) = 3. No caso da função composta é a mesma coisa, a mudança é apenas que ao invés de substituirmos o “x” por algum número, substituímos o “x” por uma função correspondente.
Ex1) Dada as funções f(x) = x + 3 e g(x) = x + 2, calcular: a) F(g(x)) b) G(f(x)) c) Fof d) F(f(f(x)))
Resolução: a) F(g(x)) Temos então que calcular o valor de f(g(x)) a partir de duas funções dadas. Representa-se primeiro a função f(x) e dentro dela iremos substituir pela g(x) todos as variáveis “x”. Teremos então: F(x) = x + F(g(x)) = (x +2 ) + 3 F(g(x)) = x + Ou seja, aonde existia a variável “x”, substituímos pela função g(x).
b) G(f(x)) G(x) = x + G(f(x))= (x+3) + 2 G(f(x))= x + 5 Nesse caso tivemos que f(g(x)) por coincidência é igual a g(f(x)), mas isso não será sempre válido, pois teremos casos onde haverá diferença.
c) Fof F(x) = x + 3 Fof = (x + 3) + Fof = x + 6 Aqui apenas substituímos a função f(x) dentro da função f(x).
Funções: Composta E Inversa
Rafael Massato Kawamura
d) F(f(f(x))) F(x) = x + 3 F(f(x)) = (x + 3) + F(f(x)) = x + 6 F(f(f(x))) = (x + 3) + 3 F(f(f(x))) = x + 9 Aqui apenas realizamos duas composições, primeiro a função f(x) dentro da função f(x) e logo em seguida realizamos a composição f(x) dentro da função f(f(x)).
Ex2) Dadas as funções f(x) = x + 3 e g(x) = x^2 , calcular: a) f(g(x)) b) gof c) g(g(x))
Resolução a) F(g(x)) F(x) = x + 3 F(g(x)) = (x^2 ) + 3 F(g(x)) = x^2 + 3
b) gof g(x) = x^2 g(f(x)) = (x + 3)^2 + 3 g(f(x)) = (x^2 + 6x + 9) + 3 g(f(x)) = x^2 + 6x + 12
c) g(g(x)) g(x) = x^2 g(g(x)) = (x^2 )^2 g(g(x)) = x^4 Aqui tivemos a composição da função g(x) dentro da g(x). E pelas regras da potenciação, tivemos o resultado de (x^2 )^2 = x^4.
Ex3) Dadas as funções f(x) = 3x + 1 e g(x) = x^2 , calcular: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(3)) d) g(f(1))
Resolução a) f(g(x)) f(x) = 3x + 1 f(g(x)) = 3(x^2 ) + 1 f(g(x)) = 3x^2 +
b) g(f(x)) g(x) = x^2 g(f(x)) = (3x + 1)^2
Funções: Composta E Inversa
Rafael Massato Kawamura
4) (UFRGS)
Se a função então, f(2x) vale: a) 2 b) 2x c) d)
Função Inversa
Devemos entender que a função inversa “transforma” o que é domínio em imagem e “transforma” o que é imagem em domínio. Antes de fazermos essa transformação, devemos tomar cuidado para ver se a função é bijetora( injetora e sobrejetora ao mesmo tempo), pois se não for, não existirá função inversa.Siga então os passos listados para encontrar a função inversa de dada função: (1) Verifique se a função dada é bijetora (2) Em caso afirmativo, substitua, onde existir “x” na função troque por “y” e vice-versa. (3) Isole o “y” Esses são os passos para se encontrar a função inversa. A notação para a função inversa é dada a seguir: Função inversa= f- Ou seja a notação da inversa é a função “elevada” a menos 1. Devemos lembrar que a notação f(x) é a mesma coisa que y.
Ex1) Dada a função f(x) = x + 1, calcule a sua inversa Resolução (1) A função f(x) é bijetora (2) Trocaremos o “x” por “y” e vice-versa F(x) = x + 1 y = x + 1 x = y + 1 (3) Isolaremos o y x = y + 1 x – 1 = y y = x - 1 Então seguindo os passos encontramos o valor da inversa de f(x).
Ex2) Dada a função y = 3x + 2, calcule a sua inversa. Resolução (1) A função dada é bijetora. (2) Trocaremos x por y e vice-versa y = 3x + 2 x = 3y + 2 (3) Isolaremos o y x = 3y + 2 x – 2 = 3y y =
Funções: Composta E Inversa
Rafael Massato Kawamura
Exercícios
Calcule a inversa da função y = x + 2
Calcule a inversa da função y = 4x + 10
Calcule a inversa da função 2y = 3x – 9
Calcule a inversa da função y/x = 3x
(FCC – SP) A função inversa de é igual a : a) b) c) d)
