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Função composta e função inversa
Resumo
Função composta
Função composta é aquela que tem como abscissa a imagem de outra função.
h x ( ) = g f [ ( )] x = g f
Ou seja, a abscissa de g(x) é a imagem de f(x).
Observe como isso funciona:
Condição de existência
Para que haja a função composta da função g com a função f, o domínio de g deve ser igual ao contradomínio
de f.
Repare que no esquema anterior, f tem como domínio o conjunto A e contradomínio o conjunto B. Já a função
g tem como domínio o conjunto B e contradomínio o conjunto C. Ou seja, o domínio de g é igual ao
contradomínio de f.
Determinação da função composta
Partimos do exemplo de duas funções f(x) = x + 1 e g(x) = 2x
Calcular f[g(x)] significa encontrar a lei de formação da função composta de g com f. Tendo como base as
funções do exemplo, usamos o passo a passo abaixo:
- Partimos de f(x) = x + 1
- Em seguida, substituímos x por g(x):
f[g (x)] = g(x) + 1
- Enfim, como g(x) = 2x, temos:
g[f(x)] = 2x + 1.
Função inversa
Definimos função inversa
1
( f )
−
de uma função f do seguinte modo:
1
( , ) a b f ( , b a ) f
−
Ou seja, para todo par ordenado (a, b) pertencente à função f, existe um par ordenado (b, a) correspondente na
função inversa f
Condição de existência
A relação inversa de f: A → B é uma função f
: B → A, se e somente se, f é uma função bijetora.
Lei de formação
Para encontrarmos a lei de formação de uma função inversa, devemos seguir os seguintes passos:
I. Na lei de formação de f, devemos trocar o y por x e o x por y.
II. Depois, devemos isolar o novo y.
Ex: Vamos achar a inversa de f(x) = x + 1.
y = x + 1
x = y + 1 (trocando x por y e y por x)
y = x – 1 = f
(x)
Gráfico
O gráfico de uma f
é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y = x, chamada de função identidade.
- A função real de variável real definida por para é invertível. Sua inversa g pode
ser expressa na forma onde a, b,c e d são inteiros.
Nessas condições a soma a+b+c+d é um número inteiro múltiplo de:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
- Sejam f e g funções reais de variáveis real definidas por e o valor da função
composta f(g(x)) no elemento x=2 é igual a:
a) 1
b) 8
c) 2
d) 4
- Sabe-se que a função é invertível. Assim é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 12
- Sendo uma função real inversível, seu conjunto imagem é:
a)
b)
c)
d)
e)
- Se a função é definida por e sua inversa, então é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
- Considere as funções e , definidas para todo número real x. O número de soluções da
equação f(g(x))=g(f(x))
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
- O polinômio do 2° grau f(x) que verifica a identidade f(x+1)=x²-7x+6 é:
a)
b)
c)
d)
- Dadas as funções f(x)=2x-1 e g(x)=x²+3x+c, o maior valor inteiro de c tal que a equação g(f(x))=
apresente raízes reais é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
- e
- b
- c
- d
- b
ou zero, isto
é,
