Função exponencial e logarítmica, Notas de estudo de Matemática

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FUNÇÕES EXPONENCIAIS

E LOGARÍTMICAS

Sumário

• Função exponencial
  • Propriedades da exponenciação e radicalização..........................................................
  • Equações exponenciais.................................................................................................
  • Propriedades da função e gráfico.................................................................................
  • Translação do gráfico
• Função logarítmica
  • Logaritmos
    • Propriedades dos logaritmos
  • Função logarítmica
    • Gráfico
    • Função exponencial e logarítmica
    • Propriedades do gráfico
    • Equações exponenciais.............................................................................................

• Simplificação de raízes

𝑛

𝑚

𝑛∗𝑘

𝑚∗𝑘

3

6

4

Equações exponenciais

Para resolver equações exponenciais devemos colocar a mesma base em ambos os lados

da equação.

Exemplo 1 :

𝑥

Como 64 é o mesmo de 2

6

, podemos reescrever a equação assim:

𝑥

6

Como as bases são iguais podemos igualar os expoentes e resolver:

Exemplo 2:

𝑥

𝑥

Como 16 é o mesmo que 42, e 1/4x é o mesmo que 4-x podemos reescrever a equação

assim:

2 𝑥

−𝑥

Agora é só igualar os expoentes:

Exemplo 3 :

3 𝑥

Temos que primeiro mudar o 25/4 para que ele fique igual a 2/5:

3 𝑥

2

2

3 𝑥

2

3 𝑥

− 2

Com as bases iguais, vamos igualar os expoentes:

Exemplo 4:

𝑥

𝑥+ 2

Como uma das propriedades da exponenciação diz que o produto de potências de

mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes faremos o mesmo. E como 1000 =

3

𝑥+𝑥+ 2

3

2 𝑥+ 2

3

Igualando os expoentes:

Exemplo 5:

𝑥− 3

𝑥− 1

𝑥

Primeiro vamos reescrever o 1° membro:

𝑥

− 3

𝑥

− 1

𝑥

E colocar o 2

x

em evidência:

𝑥

− 3

− 1

0

𝑥

𝑥

Resolvendo:

𝑥

𝑥

𝑥

5

Propriedades da função e gráfico

• A curva exponencial do gráfico sempre passa pelo ponto (0, 1).
• Se a > 1 a função é crescente. Exemplo da função f(x) = 2

x

Dado uma função exponencial f(x) = k * a

x

, onde k é uma constante. O valor de k interfere

na curva exponencial do gráfico, em vez do gráfico intersectar no ponto (0, 1) ele vai intersectar

no ponto (0, k). Comparando as funções f(x) = 2

x

e g(x) = 2 * 2

x

Função logarítmica

Logaritmos

É uma forma de escrever equações exponenciais. Sendo a e b números reais e positivos

com a ≠ 1 os logaritmos são escritos dessa forma:

𝑎

𝑥

• a é a base do logaritmo
• b é o logaritmando
• x é o logaritmo

Propriedades dos logaritmos

• Logaritmo de 1 em qualquer base a, é igual a 0:

𝑎

• O logaritmo de mesma base e logaritmando, é igual a 1:

𝑎

• Uma potência de base a e expoente de log a

b, é igual a b:

𝑙𝑜𝑔 𝑎

𝑏

• Se dois logaritmos são iguais e possuem a mesma base então os logaritmandos

são iguais:

𝑎

𝑎

• Produto de logaritmando:

𝑎

𝑎

𝑎

• Divisão de logaritmando:

𝑎

𝑎

𝑎

• Potência de logaritmando:

𝑎

𝑟

𝑎

• Mudança de base. Caso seja conveniente você pode mudar a base do logaritmo,

normalmente para chegar a uma conta mais fácil. Para isso você deve seguir a

seguinte regra:

𝑎

𝑏

𝑏

Função logarítmica

É a função que tem como base a seguinte lei de formação:

𝑎

Onde x e a > 0 e a ≠ 1.

Gráfico

A função logarítmica é o inverso da função exponencial. Note o exemplo da função log 2

x:

Propriedades do gráfico

• Localiza-se à direita do eixo das ordenadas.
• Intersecta o eixo y no ponto 1.
• É simétrico da função exponencial.

Equações exponenciais

Há casos em não é possível resolver equações exponenciais com o método tradicional.

Exemplo da equação 0,

x

= 0,5. Então podemos transformá-la em um logaritmo para resolver.

Os logaritmos são definidos assim:

𝑎

𝑥

Então podemos fazer o caminho inverso:

𝑥

0 , 9

Podemos colocar log 0,

0,5 na base 10:

0 , 9

log 0 , 9

E agora resolver:

log

log 1 − log 2

log 9 − log 10

0 − log 2

3 ∗ log 3 − 1

Considerando que log 2 ≈ 0,3010 e log 3 ≈ 0,4771 temos

Referências

IEZZI, Gelson et al. Matemática : ciência e aplicações. 1º ano ensino médio. 9. ed. São

Paulo: Saraiva, 2016. v. 1.