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O que é uma função quadrática?
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão:
f(x) = ax² + bx + c
Onde a , b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplo: f(x) = 2x³ + 3x + 5, sendo, a = 2 b = 3 c = 5 Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável.
Como resolver uma função quadrática?
Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax² + bx + c, sendo: f (-1) = 8 euação 1 f (0) = 4 equação 2 f (2) = 2 equação 3 Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos: (equação I) f (-1) = 8 f(x)= ax²+bx+c expressão base 8= a(-1)² +b(-1) +c a-b+c= (equação II) f (0) = 4_ 4=a(0)² +b(0) +c c=
(equação III) f(2)= f(x)= ax ²+bx+c 2= ax²+bx+c 2=a(2)²+b(2)+ 2=4a+2b+ 4a+2b+2= Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas ( a e b ):
(Equação I) a-b+c=
c=4 equação a - b + 4 = 8 a-b+4-8= a - b - 4= a-b= a = b + 4 Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b : c= a= b+4 -2,6+4 = + 1, b= -2, (Equação III) 4a+2b+2= 4(b+4) +2b+2= 4b+ 16 +2b +2= 2 4b +2b +16 +2 -2 = 6b + 16 = 6b = - b= - 16 /
b = – 5 c = 6 Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: a=1 b=5 c=
=b²-√4ac raiz quadrada b² -4ac=
= 5²-4 X 1X 6 = 25 -24 = 1 delta maior que 0
Portanto, as raízes são 2 e 3. Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b 2 – 4. ac , o qual é chamado de discriminante. Assim,
● Se Δ > 0 , a função terá duas raízes reais e distintas (x 1 ≠ x 2 ); ● Se Δ menor que 0, a função não terá uma raiz real; ● Se Δ = 0 , a função terá duas raízes reais e iguais (x 1 = x 2 ).
Gráfico da função quadrática
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções quadráticas são necessários conhecer vários pontos.
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no máximo dois pontos dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos:
● Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos; ● Se Δ menor que 0, o gráfico cortara um ponto no eixo y ● Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto.
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula:
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima. É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo, ou seja:
Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, calcular os zeros da função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, quando x = 0. A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação entre os pontos encontrados.
