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PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad
GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Luiz de Sousa Santos Júnior
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ Antonio José Medeiros
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky
DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EaD Hélio Chaves
COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes
SUPERITENDÊNTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonça
DIRETOR DO CENTRO Helder Nunes da Cunha
COORDENADOR DO CURSO NA MODALIDADE EAD João Benício de Melo Neto
CHEFE DO DEPARTAMENTO Jurandir de Oliveira Lopes
COODENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira
EQUIPE DE APOIO Copyright © 2008. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do Piauí (UFPI). Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.
PRESIDENTE DA REPÚBLICA
XXXX Lopes, J. de Oliveira Fundamentos da Matemática Elementar /Jurandir de Oliveira Lopes – Teresina: UFPI/UAPI
72p. Incluir bibliografia 1 – xx
Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ Antonio José Medeiros COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes SUPERITENDÊNTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonça DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA NA MODALIDADE EAD João Benício de Melo Neto COODENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira DIAGRAMAÇÃO João Paulo Barros Bem Joaquim Carvalho de Aguiar Neto
L864f Lopes, J. de Oliveira Fundamentos da Matemática Elementar /Jurandir de Oliveira Lopes – Teresina: UFPI/UAPI, 2008 72p
1.Matemática. 2.Universidade Aberta do Piauí. I.Titulo. C.D.D.- 510
SUMÁRIO GERAL
UNIDADE 1: Conjunto dos Números Naturais 1.1 Introdução 1.2 Princípio da Indução Matemática 1.3 Operações: Adição e multiplicação 1.4 Relação de ordem 1.5 Princípio da Boa Ordem
UNIDADE 2: Conjunto dos Números Inteiros 2.1 Introdução 2.2 Operações: Adição e Multiplicação 2.3 Relação de Ordem 2.4 Valor Absoluto ou Módulo 2.5 Princípio do Menor Inteiro 2.6 Princípio da Indução Matemática em Z 2.7 Múltiplos e Divisores 2.8 Máximo Divisor Comum 2.9 Números Primos 2.10 Mínimo Múltiplo Comum
UNIDADE 3: Conjunto dos Números Racionais 3.1.Introdução 3.2.Operações: Adição e Multiplicação 3.3 Relação de Ordem 3.4 Valor Absoluto ou Módulo
UNIDADE 4: Conjunto dos Números reais 4.1Introdução 4.2 Operações: Adição e Multiplicação 4.3 Relação de Ordem 4.4 Valor Absoluto ou Módulo 4.5 Representação Decimal
Apêndice I
Apêndice II
Apêndice III
Apêndice IV
1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
1.1 Introdução
Os números naturais foram os primeiros a serem criados, com intuito de contar. Mas, afinal, o que é o conjunto N dos números naturais? Bem, podemos intuitivamente escrevê-lo dizendo quais são seus elementos: eles são os números da forma. 1 , 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1 , 4 + 3 = 1 ,... n =( n − 1 )+ 1 , ou seja, N = { 1 , 2 , 3 , 4 ,⋅⋅⋅, n ,⋅⋅⋅} Ocorre, porém, que dificilmente poderemos provar algumas propriedades desses números utilizando apenas esta descrição, pois apesar de sabermos intuitivamente quais são esses números que acima representa, teríamos dificuldade de descrevê-lo de modo suficientemente explícito. Uma maneira consiste em dar uma propriedade que caracterizem de modo único o conjunto dos números naturais.
1.2 Princípio da Indução Matemática
A propriedade que vamos anunciar é chamada de Princípio da Indução Matemática. Mais precisamente: Princípio da Indução Matemática. Seja X um subconjunto dos números naturais (ou seja, X ⊂ N ) tais que: i) 1 ∈ X; ii) Se n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X; Então (^) X = N. Essa simples propriedade fornece uma das mais poderosas ferramentas de demonstração Matemática: A demonstração por indução. Suponha que seja dada uma sentença matemática P ( n )
associada a cada n natural, a qual se torna verdadeira um falsa quando substituímos por n. Mais adiante citaremos alguns
Mais informações sobre o conjunto dos números naturais pode ser encontrado em:
- www.educ.fc.u l.pt/docentes/o pombo/semin ario/fregeruss el/ peano .htm
- www.obm.org. br/eureka/artig os/ inducao .d oc
exemplos de sentenças abertas definidas sobre o conjunto dos naturais. Agora anunciaremos um resultado suma importância para Matemática e, por conseguinte definir a soma e multiplicação em N. Teorema 1.1 (Prova por indução matemática). Seja a P ( n )
sentença aberta sobre N. Suponha que: i) P ( 1 )é verdadeira, e. ii) Se a validez de P ( n )implicar na validez de P ( n + 1 ) Então P ( n ) é válida para todo o conjunto números naturais. Demonstração: Considere o seguinte conjunto
X = { n ∈ NP ( n )é verdadeira }
1 ∈ X , pois P ( 1 )é verdadeira. Suponha agora que n ∈ X , isto é, P ( n )é verdadeira, com isto garantimos a validez de P ( n + 1 ),
logo n + 1 ∈ X. Assim pelo Princípio da indução matemática temos que X = N , portanto P ( n )é válida para todo o conjunto
números naturais. C.Q.D.
1.3 Adição e Multiplicação
No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações fundamentais: a) Adição: Dados n , m ∈ N fazem corresponder à soma m + n ∈ N b) Multiplicação: Dados n^ ,^ m ∈ N fazem corresponder à soma mn ∈ N
Justificaremos a boa definição através da indução sobre n : a) Adição: P ( 1 ): Assim dados 1 , m ∈ N é claro que m + 1 ∈ N , logo P ( 1 )é válida.
Suponhamos válida P (^ n ), ou seja, dados n^ ,^ m ∈ N temos que
m. + n ∈ N.
6 ( 12 + 22 + 32 +L + n^2 )= n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) Hipótese de Indução ( H.I ) Provaremos validez P ( n + 1 ), isto é.
6 [ 12 + 22 + 32 +L + n^2 +( n + 1 )^2 ]=( n + 1 )( n + 2 )( 2 n + 3 ) ( Tese )
Com efeito: Temos que
6 [ 12 + 22 + 32 +L+ n^2 +( n + 1 )^2 ]= 6 ( 12 + 22 + 32 +L+ n^2 )+ 6 ( n + 1 )^2
= n ( n + 1 )( 2 n + 1 )+ 6 ( n + 1 )^2 = ( n + 1 )[ n ( 2 n + 1 )+ 6 ( n + 1 )] = ( n + 1 )( n + 2 )( 2 n + 3 )
Portanto a sentença P ( n )é valida para todo n ∈ N.
1.4 Relação de Ordem
Faz-se necessário introduzir uma relação de ordem nos conjuntos dos números naturais.
Definição: Dados n^ ,^ m ∈ N dizem que m é menor do que n (e
escreve-se). m < n () se existe^ r ∈ N tal que^ n^ =^ m + r. A relação de ordem m < n goza das seguintes propriedades: a) Transitividade: Se m < n e n < p então m < p.
b) Tricotomia: Dados n , m ∈ N , só podem ocorrer uma, e
somente uma das alternativas: m = n, m < n ou n < m. c) Monotonicidade: Se (^) m < n então, para todo (^) r ∈ N , tem-se. m + r < n + r e m. r < n. r. Mostraremos que as três propriedades são satisfeitas: a) : Se m < n e n < p então existem r 1 (^) , r 2 ∈ N tais que n = m + r 1_._ e p = n + r 2. Assim p = m + r 1 + r 2 , sendo que r 1 (^) + r 2 ∈ N , segue-se que m^ <^ p.
b) Dados n^ ,^ m ∈ N têm que m = n, do contrário, existe r ∈ N tal que n = m + r ou não existe, assim m < n ou n < m. c) Exercício a cargo do leitor. Dizemos que m menor ou igual do que n (e escreve-se m ≤ n ) se m = n ou m < n. Algumas sentenças abertas estão associadas para n ∈ N tal que n ≥ a para algum a ∈ N. Assim para esse tipo de sentenças temos o seguinte resultado
Teorema 1.2 (Prova por indução matemática). Seja a P ( n )
sentença aberta para todo n ≥ a , com a ∈ N. Suponha que: i) P ( a )é verdadeira, e. ii) Se a validez de P ( n )implicar na validez de P ( n + 1 ), para n ≥ a Então P ( n )é válida para todo número natural n ≥ a.
Demonstração: Considere o seguinte conjunto
X = { m ∈ NP ( n = m + a − 1 )é verdadeira }
1 ∈ X , pois P^ ( a )é verdadeira. Suponha agora que m ∈ X , isto
é, P ( n = m + a − 1 )é verdadeira, com isto garantimos a validez
de P ( n + 1 = m + 1 + a − 1 )para n ≥ a, logo (^) m + 1 ∈ X. Assim pelo
Princípio da indução matemática temos que X = N , assim m ≥ 1 ⇒ m + a ≥ a + 1 ⇒ n = m + a − 1 ≥ a. Portanto P ( n ) é válida
para todo n ≥ a. C.Q.D. Exemplos:
a) P ( n ): 2 n + 1 ≤ n^2 , para todo n ≥ 3.
P ( 3 ) : 2. 3 + 1 ≤ 23 ⇔ 7 ≤ 8 , é verdade.
Suponhamos válida P ( n ), ou seja,
2 n + 1 ≤ n^2 , para todo n ≥ 3. ( H.I ) Provaremos validez P ( n + 1 ), isto é.
EXERCÍCIOS
- 13 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( n^2 /4).( n +1) 2 , ∀ n ≥ 1
- 1 + 4 + 7 + ... + (3 n -2) = ( n /2).(3 n -1), ∀ n ≥ 1
- 13 + 3^3 + 5^3 + ... + (2 n -1) 3 = n^2 (2 n^2 -1), ∀ n ≥ 1
- 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n. n! = (n + 1)! - 1, ∀ n ≥ 1
- 2 n^ > n^2 , ∀ n > 4;
- 2 n^ > n^3 , ∀ n ≥ 10;
- n! > 3n^ , ∀ n ≥ 7.
- 1 2 3⋅ ⋅ + 2 3 4⋅ ⋅ + 3 4 5⋅ ⋅ + ... + n n ( + 1)( n +2) ( 1)( 2)( 3) 4 =^ n n^ +^ n^ +^ n + , n ≥ 1.
- (^) 1 3^1 ⋅ + (^) 3 5^1 ⋅ + (^) 5 7^1 ⋅ + ...+ (^) (2 n − 1)(2^1 n + 1) = 2 n^ n + 1 , n ≥ 1.
- Se m ≤ ne n ≤ m , prove que m = n.
- Seja A = { x ∈ N | n < x < n + 1 } com n ∈ N. Prove que A é vazio.
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
2.1 Introdução Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o “zero”, cujo símbolo é 0. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto é definido por: Z = { 0 , ± 1 ,± 2 ,± 3 ,± 4 ,⋅⋅⋅,± n ,⋅⋅⋅} ={⋅⋅⋅,− 4 ,− 3 ,− 2 ,− 1 , 0 ,+ 1 ,+ 2 .,+ 3 ,+ 4 ,⋅⋅⋅} Inteiros podem ser adicionados ou subtraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis. Como foi definido o conjunto dos números inteiros, é óbvio que N ⊂ Z .A construção lógico formal dos números inteiros é feita no apêndice I.
2.2 Adição e Multiplicação No conjunto dos números inteiros estão definidas as operações adição e multiplicação as quais gozam das seguintes propriedades que serão aceitas como verdades (axiomas). Dados quaisquer a , b , c ∈ Z , temos:
1. Adição a) a + ( b + c )=( a + b )+ c (associativa) b) a + b = b + a (comutativa) c) (^) a + 0 = a ( 0 é elemento neutro da adição ) d) a + ( − a )= 0 ( − a é elemento simétrico da adição) 2. Multlipicação a) a ( bc )= ( ab ) c (associativa) b) ab = ba (comutativa) c) a 1 = a (^1 é elemento neutro da adição )
Saiba mais em:
- www.brasi lescola.co m/matema tica/ nume ros - inteiros .ht m
- www.testo nline.com. br/cur prim os .htm
d) ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto) e) (^) ab = 1 ⇒ a =± 1 e (^) b =± 1 f) a ( b + c )= ab + ac (a multiplicação é distributiva em relação à adição) O conjunto que satisfaz as propriedades acima citada é chamado de anel de integridade. Portanto o conjunto dos números inteiros munidos da operação soma e multiplicação é um anel de integridade. Exemplo: Mostre que não existe a ∈ Z tal que a^2 − a = 1. De fato, de a^2 − a = 1 ⇒ a ( a − 1 )= 1 , por e) temos que a =± 1 e a − 1 =± 1 , das duas equações conclui-se não pode existir a ∈ Z.
1.4. Relação de Ordem em Z A relação de ordem dos inteiros segue de maneira similar ao do conjunto dos números naturais.
Definição: : Dados n , m ∈ Z dizemos que m é menor do que n
(e escreve-se m < n ) se existe r ∈ N tal que n = m + r. Exemplo: − 3 < 10 , pois 10 = − 3 + 13 e − 7 <− 2 , pois − 2 =− 7 + 5 A relação de ordem m < n goza das seguintes propriedades: a) Transitividade: Se m < n e n < p então m < p.
b) Tricotomia: Dados n^ ,^ m ∈ N , só pode ocorrer uma, e somente
uma das alternativas: m = n, m < n ou n < m. c) Monotonicidade: Se m < n então, para todo p ∈ N , tem-se
m + p < n + p e^ mp^ <^ np. Demonstraremos a validez das três propriedades. Como já foram provados os itens a) e b) na unidade anterior, faremos à apenas a demonstração do item c).
Demonstração: a) Se (^) a ≥ 0 ⇒ a = a ⇒− a ≤− a ≤ a ≤ a , e a < 0 ⇒ a =− a ⇒− a ≤ a ≤− a ≤ a. Então vale sempre que − a ≤ a ≤ a.
b) Se a , b ≥ 0 ⇒ ab ≥ 0 ⇒ ab = ab = ab ; se a ≥ 0 e b < 0 , temos
que ab ≤ 0 ⇒ ab =− ab = a (− b )= ab ; caso análogo para a < 0
e b ≥ 0_._ Agora se a < 0 e b < 0 , temos que
ab > 0 ⇒ ab = ab =(− a )(− b )= a b. Portanto vale sempre que ab = a b ;
c) Por a) temos que (^) − a ≤ a ≤ a e (^) − b ≤ b ≤ b , somando as
duas desigualdades temos
− ( a + b )≤ a + b ≤ a + b , com isto a + b ≤ a + b e − ( a + b )≤ a + b.
Se a + b ≥ 0 ⇒ a + b = a + b ≤ a + b. Agora Se
a + b < 0 ⇒ a + b =−( a + b )≤ a + b. Portanto, em ambos os
casos obtemos que a + b ≤ a + b.
Exemplo: 1) Resolva a equação a + 1 = 2.
Solução: Da definição, temos que a + 1 = 2 ⇒ a = 2 − 1 ⇒ a = 1 ou − ( a + 1 )= 2 ⇒ a + 1 =− 2 ⇒ a =− 2 − 1 ⇒ a =− 3. Portanto o
conjunto solução é dado por S ={ 1 ,− 3 }.
- Resolva a desigualdade a − 1 < 2.
Solução: Da definição, temos que a − 1 < 2 ⇒ a < 2 + 1 ⇒ a < 3 ou − ( a − 1 )< 2 ⇒ a − 1 >− 2 ⇒ a >− 2 + 1 ⇒ a >− 1. Portanto o
conjunto solução é dado por S = { a ∈ Z |− 1 < a < 3 }.
- Resolva a desigualdade − a + 3 ≥ 5.
Solução: Da definição, temos que − a + 3 ≥ 5 ⇒− a ≥ 5 − 3 ⇒− a ≥ 2 ⇒ a ≤− 2 ou − ( − a + 3 )≥ 5 ⇒ a − 3 ≥ 5 ⇒ a ≥ 5 + 3 ⇒ a ≥ 8. Portanto o conjunto
solução é dado por S = { a ∈ Z | a ≤− 2 ou a ≥ 8 }.
- Prove que (^) a − b ≤ a + b.
Solução: a − b = a +( − b )≤ a +− b = a +− 1 b = a + b.
2.5 Princípio do menor inteiro
Definição: Um subconjunto A não vazio de Z é dito limitado inferiormente de existe a ∈ Z tal que a ≤ x, ∀ x ∈ A. Exemplo: A ={− 2 ,− 1 , 0 , 1 , 2 , 3 K}, neste caso podemos ter
a = K, − 4 ,− 3 ,− 2.
Axioma (Princípio do menor inteiro): Se A é subconjunto não vazio de Z limitado inferiormente, então existe m (^) 0 ∈ A tal que
m (^) 0 ≤ x, ∀ x ∈ A.
É fácil verificar que m 0 é único, que é chamado de mínimo.
No exemplo anterior, temos que m 0 =− 2
2.6 Princípio de Indução em Z
Anunciaremos dois princípio de indução, cuja as demonstrações são relativamente fácil de provar, partindo do pressuposto (axioma) acima.
Teorema 2.1 (Primeiro princípio de indução). Seja a P ( n )
sentença aberta sobre n ≥ a com n ∈ Z. Seja a ∈ Z e suponha que: i) P ( a )é verdadeira, e ii) Se a validez de P (^ n )implicar na validez de P (^^ n +^1 ), para n ≥ a Então P ( n )é válida para todo número inteiro n ≥ a.
Demonstração: A demonstração é similar do Teorema que anunciaremos a seguir.
Teorema 2.2 (Prova por indução matemática). Seja a P ( n )
sentença aberta sobre Z. Seja a ∈ Z e suponha que:
