Exercícios de Lógica Matemática e Teoria dos Números, Notas de estudo de Matemática

Baixe Exercícios de Lógica Matemática e Teoria dos Números e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciencias Exatas e Tecnologia

Departamento de Matemática

Material Didático para a disciplina

Fundamentos de Matemática

Paulo de Souza Rabelo

Aracaju - SE

Sumário

• Introdução
• 1 Noções de Lógica
  • 1.1 Cálculo Proposicional
    • 1.1.1 Conjunção
    • 1.1.2 Disjunção
    • 1.1.3 Negação
    • 1.1.4 Implicações
    • 1.1.5 Se, e somente se
  • 1.2 Tautologias e Contradições
  • 1.3 Formas Normais Disjuntiva e Conjuntiva
  • 1.4 Quantificadores
  • 1.5 Validade de Argumentos
    • 1.5.1 Tabela-Verdade
    • 1.5.2 Regras de Inferência
    • 1.5.3 Árvore de Refutação
    • 1.5.4 Argumentos envolvendo quantificadores
• 2 Técnicas de Provas
  • 2.1 O Método Direto
  • 2.2 Prova por Contradição (Redução ao Absurdo)
  • 2.3 Provas tipo P se, e somente se, Q
  • 2.4 Prova por Casos
  • 2.5 Provas de Existência
  • 2.6 Provas de Unicidade
  • 2.7 Uso de Contra-Exemplos
  • 2.8 Indução Matemática
• 3 Conjuntos
  • 3.1 Uma pausa para o rigor
• 4 Relações
  • 4.1 Relações de Equivalência
  • 4.2 Relação de Ordem
  • 4.3 Funções

Introdução

O que é Lógica? Lógica é a ciência que estuda princípios e métodos de inferência, tendo o ob- jetivo principal de determinar em que condições certas coisas se seguem (são consequências), ou não, de outras. Obviamente, como definição, isso deixa bastante a desejar: precisamos explicitar o que é "inferência", por exemplo, e o que se quer dizer com ”se seguem“ ou ”con- sequência". Vamos começar com o problema apresentado no seguinte mini-conto de fadas extraído do livro do Mortari (ver [12]):

Há não muito tempo atrás, num país distante, havia um velho rei que tinha três filhas, inteligentíssimas e de indescritível beleza, chamadas Guilhermina, Genoveva e Griselda. Sentindo-se perto de partir desta para melhor, e sem saber qual das filhas designar como sua sucessora, o velho rei resolveu submetê-las a um teste. A vencedora não apenas seria a nova soberana, como ainda receberia a senha da conta secreta do rei (num banco suíço), além de um fim de semana, com despesas pagas, na Disneylândia. Chamando as filhas à sua presença, o rei mostrou-lhes cinco pares de brincos, idênticos em tudo com exceção das pedras neles engastadas: três eram de esmeralda, e dois de rubi. O rei vendou então os olhos das moças e, escolhendo ao acaso, colocou em cada uma delas um par de brincos. O teste consistia no seguinte: aquela que pudesse dizer, sem sombra de dúvida, qual o tipo de pedra que havia em seus brincos herdaria o reino (e a conta na Suíça, etc.).

A primeira que desejou tentar foi Guilhermina, de quem foi removida a venda dos olhos. Guilhermina examinou os brincos de suas irmãs, mas não foi capaz de dizer que tipo de pedra estava nos seus (e retirou-se, furiosa). A segunda que desejou tentar foi Genoveva. Contudo, após examinar os brincos de Griselda, Genoveva se deu conta de que também não sabia determinar se seus brincos eram de esmeralda ou rubi e, da mesma forma que sua irmã, saiu batendo a porta. Quanto a Griselda, antes mesmo que o rei lhe tirasse a venda dos olhos, anunciou corretamente, alto e bom som, o tipo de pedra de seus brincos, dizendo ainda o porquê de sua afirmação. Assim, ela herdou o reino, a conta na Suíça e, na viagem à Disneylândia, conheceu um jovem cirurgião plástico, com quem se casou e foi feliz para sempre.

Agora, um probleminha para você resolver: que brincos tinha Griselda, de esmeralda ou de rubi? Pense e responda! Já de volta? Bem, espero que voce tenha feito o esforço e descoberto

INTRODUÇÃO 2

que os brincos de Griselda eram de esmeralda. Contudo, responder ao exercício dizendo apenas que os brincos eram de esmeralda não é suficiente: voce poderia ter tido um palpite feliz, acertando simplesmente por sorte. Para me convencer de que você sabe mesmo a resposta, voce tem de expor as razões que o/a levaram a concluir que os brincos eram de esmeralda; voce tem de justificar essa sua afirmação. Note que as princesas também estavam obrigadas a fazer isto: o velho rei não estava interessado em que uma delas acertasse a resposta por acaso. Ora, enquanto tentava resolver o problema, você deve ter tomado vários pontos de partida e pode ter seguido por vários caminhos à busca de solução. A esse processo de busca vamos chamá-lo de raciocínio, ou de processo de inferência. Basicamente, raciocinar, ou fazer infe- rências, consiste em ”manipular“ a informação disponível - aquilo que sabemos ou supomos ser verdadeiro - e extrair consequências disso, obtendo informação nova. O resultado de um processo (bem sucedido) de inferência é que você fica sabendo algo que não sabia antes: que os brincos de Griselda são de esmeralda; que o assassino foi o mordomo; que o melhor time do país é o Vasco. É claro que este processo também pode terminar num fracasso! Porém, a Lógica não procura dizer como as pessoas raciocinam, mas se interessa primei- ramente pela questão de se aquelas coisas que sabemos (o ponto de partida do processo), de fato constituem uma boa razão para aceitar a conclusão alcançada, isto é, se a conclusão é uma consequência daquilo que sabemos (nossas hipóteses). A importância de uma boa justificativa vem do fato de que muitas vezes cometemos erros de raciocínio, chegando a uma conclusão que simplesmente não decorre da informação disponível. E, claro, há contextos nos quais uma afirmação só pode ser aceita como verdadeira se muito bem justificada: na ciência de um modo geral, por exemplo, ou em um tribunal (onde alguém só pode ser condenado se não houver dúvida quanto a sua culpa). Com relação ao problema dos brincos das princesas, uma justificação de que os brincos de Griselda são de esmeralda pode ser algo como o que se segue:

Existem apenas dois pares de brincos de rubi; logo, se tanto Genoveva quanto Griselda estivessem com brincos de rubi, Guilhermina, a primeira, saberia que os seus são de esmeralda. Guilhermina, contudo, não soube dizer qual o tipo de pedra em seus brincos. Logo, ou Genoveva e Griselda tinham ambas brincos de esmeralda, ou uma tinha brincos de rubi e a outra, de esmeralda. Mas disso se segue agora que, se Griselda tivesse brincos de rubi, Genoveva, a segunda, teria visto isso, e saberia que os seus são de esmeralda. Genoveva, contudo, também não soube dizer qual o tipo de pedra em seus brincos. Logo, Griselda não tinha brincos de rubi, ou seja, seus brincos eram de esmeralda.

Essa listagem de razões mostrando como deduzir, ou como demonstrar, a partir dos dados do problema, a conclusão a respeito de qual pedra estava nos brincos de Griselda, é o que chamamos de argumento. Vamos definir lógica como o estudo do argumento: como retirar conclusões legítimas de uma informação dada? O objetivo nessa disciplina é mostrar que existem argumentos, considerados válidos, de uso frequente em matemática, seja para resolvermos problemas ou provarmos determinadas afirmações (teoremas). A veracidade desses argumentos estará baseada em princípios lógicos (primeira parte do curso) e será verificada através de tabelas-verdade, regras de inferência e

CAPÍTULO 1

Noções de Lógica

Lógica Matemática encontra aplicações em muitas áreas de computação: as leis da lógica são empregadas no design de circuitos digitais, inteligência artificial, programação de computa- dores e de linguagens, banco de dados relacionais, etc. Lógica é particularmente importante porque é a base matemática de software: ela é usada para formalizar a semântica de liguagens de programação e para verificar a corretude de programas. Para entender matemática, devemos entender o que faz um argumento correto, isto é, uma prova. Uma vez provado que uma afirmação matemática é verdadeira, chamamos ela um teo- rema. Uma coleção de teoremas sobre um tópico organiza o que sabemos sobre esse tópico. Provas jogam um papel essencial quando verificamos que programas computacionais produ- zem uma saída correta para todos os valores de entrada, quando estabelecemos a segurança de um sistema e quando criamos inteligência artificial. Sistemas autômatos têm sido construídos permitindo que computadores produzam suas próprias provas. Embora lógica remonta ao tempo de Aristóteles (384-322 a.C.) e seus silogismos, sua for- malização ganhou impulso no século XIX com a descoberta da geometria não-euclidiana - a troca do axioma das paralelas por outro axioma resultou numa geometria diferente que era tão consistente quanto à de Euclides. Sistemas lógicos - axiomas e regras de inferência - foram desenvolvidos com o entendimento que conjuntos diferentes de axiomas levariam a teoremas diferentes. As questões investigadas incluíram:

• Consistência Um sistema lógico é consistente se é impossível provar simultaneamente uma afirmação e sua negaçao.
• Independência Os axiomas de um sistema lógico são independentes se nenhum axioma pode ser provado dos demais.
• Correção Todos os teoremas que podem ser provados no sistema lógico são verdadeiros.
• Completude Todas as afirmações verdadeiras podem ser provadas no sistema lógico.

Durante a primeira metade do século XX, lógica voltou a ser um assunto discutido quando o matemático David Hilbert propôs que a matemática, começando com a aritmética, poderia ser axiomatizada em um sistema que era simultaneamente consistente e completo. Em 1931, Kurt Gödel mostrou que esse objetivo não pode ser atingido: qualquer sistema axiomático é incompleto, no sentido que ele contém afirmações que não podem ser provadas dentro do sistema. Na segunda metade do século XX, lógica matemáticfca tem sido aplidada em ciência da computação e tem se tornado um de seus mais importantes fundamentos teóricos.

1.1 CÁLCULO PROPOSICIONAL 5

Uma das principais aplicações de lógica para ciência da computação está na verificação de programas. Algoritmos agora controla nossos sistemas críticos em transporte, medicina, comunicações e finanças, de forma que é difícil pensar em uma área na qual não se dependa do funcionamento correto de um sistema computadorizado. Desde que um algoritmo é uma descrição formal de um cálculo, ele pode ser verificado do mesmo modo que um teorema matemático, usando lógica.

1.1 Cálculo Proposicional

Uma característica especial que distingue matemática de outras ciências é o tipo de raciocínio utilizado. Cientistas fazem observações/experimentações de casos particulares ou fenômenos e buscam uma teoria geral que descreve ou explique as observações. Esta visão é chamada raci- ocínio indutivo, e é testada por fazer outras observações. Se os resultados são incompatíveis com as expectativas teóricas, o cientista usualmente rejeita ou modifica a teoria. O papel das premissas é fornecer um forte apoio à conclusão, mas a verdade da conclusão não é garantida. Por exemplo, diante do fato que os números 31, 331, 3.331, 33.331. 333.331, 3.333.331, são todos primos, poderíamos ser induzidos a afirmar que todo número com este formato é primo. Esta proposição é falsa, pois 333.333.331 não é um número primo. Matemáticos também usam, com frequência, o raciocínio indutivo para descrever modelos e relações entre quantidades e estruturas. Mas o que caracteriza o pensamento do matemático é o raciocínio dedutivo, no qual usamos lógica para retirar conclusões baseadas em afirmações aceitas como verdadeiras. Se as premissas são verdadeiras e as leis aplicadas estão corretas, então a conclusão é necessariamente verdadeira. Caso os resultados de alguma teoria matemá- tica são incompatíveis com a realidade, a falha não está na teoria, mas nas hipóteses tomadas. Assim, o matemático não está restrito ao campo do fenômeno observável. Por exemplo,

Todos os geômetras são matemáticos. Euclides é um geômetra. Assim Eucli- des é um matemático.

Humm... Entendi! Veja só: Deus é amor e o amor é cego. Steven Wonder é cego. Logo, Steven Wonder é Deus! Isto é verdadeiro ou falso? Os objetos fundamentais em lógica são as proposições e estas devem constituir de sentenças declarativas em que se pode atribuir um valor lógico. Não é o caso do "argumento“ anterior.

Definição 1.1.1. Uma proposição é uma afirmação que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Chamamos este fato de princípio do meio excluído.

Exemplo 1.1.2. (1)

2 é um número irracional;

(2) Todo triângulo é isósceles;

(3) Que horas são?

(4) x + 1 = 2 ;

(5) Existem infinitos números primos;

1.1 CÁLCULO PROPOSICIONAL 7

1.1.1 Conjunção

Se um aluno chegasse para o professor e dissesse: "Não tenho tempo para lazer, pois trabalho e estudo". Em que situação o professor diria: "Voce está mentindo!"? E em qual situação o aluno estaria dizendo a verdade?

Numa conjunção, se P e Q são proposições, então P ∧ Q é uma afirmação verdadeira quando ambos, P e Q, são verdadeiros, e falsa caso contrário.

Esta afirmação é usualmente apresentada na forma de uma tabela-verdade, na qual são exibidas todas as possibilidades para os valores de P e Q (ver Tabela 1.2). Notemos que o número de possibilidades para uma proposição composta por n proposições é 2n.

P Q P ∧ Q V V V V F F F V F F F F

Tabela 1.2 Tabela-verdade para a conjunção

Exemplo 1.1.3. (1) Trabalho como professor de matemática no Estado e no município.

(2) O número 2 é um número primo e um número par.

(3) Três é maior que 1 e menor que 5 (em símbolos, 1 < 3 < 5 ).

1.1.2 Disjunção

Consideremos agora as seguintes afirmações:

(1) Você prefere viajar de carro ou de avião?

(2) Eu vou comer um hambúrguer ou uma pizza.

Em que sentido elas são válidas? A afirmação ( 1 ) é dita está na forma exclusiva, significando que "ou um ou outro, mas não ambos". Em matemática, usamos a disjunção na forma inclusiva, como em ( 2 ), significando que ambas as possibilidades também pode ocorrer.

Assim, numa disjunção, se P e Q são proposições, então P ∨ Q é uma afirmação verdadeira quando pelo menos uma das componentes for verdadeira, e falso quando ambas, P e Q, forem falsas.

Exemplo 1.1.4. (1) 7 > 3 ou 1 + 1 = 5.

(2) Este ano o Flamengo ganhará o campeonato brasileiro ou a taça libertadores.

1.1 CÁLCULO PROPOSICIONAL 8

P Q P ∨ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Tabela 1.3 Tabela-verdade para a disjunção

1.1.3 Negação

Seja P uma proposição. A negação de P, denotada por ∼ P (ou ¬P, ou ainda no(P)), é verda- deira quando a proposição P é falsa, e é falsa quando P é verdade.

P ∼ P V F F V

Tabela 1.4 Tabela-verdade para a negação

Exemplo 1.1.5. (1) Se P representa a afirmação "este é um curso fácil", ∼ P significa que "este curso é difícil". A quem atribuirmos o valor verdadeiro? A P ou a ∼ P?

(2) Se P significa "quatro é um número par", então ∼ P afirma que "quatro é ímpar".

Observação 1.1.6. Verifique que ∼ (∼ P) = P. Na linguagem comum, uma dupla negação é usada para enfatizar uma afirmação e não para tornar ela positiva. Por exemplo, ao dizer "não quero cola nenhuma na prova", a intenção do aluno é mostrar que ele não vai aceitar qualquer tipo de cola na prova.

Lógica Proposicional é central em design de computadores porque hardware é geralmente constituído por componentes tendo dois níveis de voltagem que são associados aos símbolos 0 (F) e 1 (V). Circuitos são descritos por elementos idealizados chamados portas lógicas, por exemplo Veremos que toda lógica proposicional pode ser expressa por composições destes

Figura 1.1 Portas lógicas

três conectivos, de forma que combinações destas portas lógicas são utilizadas para formar circuitos. Por exemplo, uma luz da sala deve ser conectada aos interruptores em dois locais

1.1 CÁLCULO PROPOSICIONAL 10

conclusão; por exemplo, "Seja x um número inteiro positivo. Se x é ímpar, então x^2 é ímpar", quer dizer que "Se x é um inteiro positivo e x é ímpar, então x^2 é ímpar". Direi a voces o seguinte: "Se vocês estudarem, então vocês passarão na disciplina Funda- mentos de Matemática". Em que situação estarei mentindo? Somente no caso de vocês terem estudado e tiverem sido reprovados. Observe que você podem não estudar e mesmo assim conseguir aprovação! Assim, uma implicação P ⇒ Q é falsa somente quando a hipótese P é verdadeira e a conclusão Q é falsa. Um modo de entender o valor verdade de uma afirmação

P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V

Tabela 1.5 Tabela-verdade para a implicação

condicional é pensar nela como uma obrigação, uma promessa ou um contrato.

Observação 1.1.8. É claro que podemos partir de falsidades e chegar em verdades. Por exem- plo, "se 1 = − 1 , então 1 = 1 "(basta elevar ao quadrado a hipótese). Logo a veracidade de uma implicação não nos permite concluir nada sobre os valores lógicos da hipótese e da conclusão.

Na literatura, existem algumas formas equivalentes de escrever uma implicação P ⇒ Q:

(1) "Q se P". Por exemplo, "Rubinho Barrichello seria campeão mundial de Fórmula 1 se não fosse Michael Schumacher."

(2) "Q é uma condição necessária para P". Por exemplo, "Estudar é uma condição necessária para ser aprovado".

(3) "P somente se Q". Por exemplo, "xy é ímpar somente se x e y são ímpares".

(4) "P é suficiente para Q". Isto significa que se você quer que Q seja verdadeiro, é suficiente mostrar que P é verdadeiro.

Exemplo 1.1.9. Recorde que um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Considere a seguinte afirmação: "Se um quadrilátero é um quadrado, então ele é um retângulo."Reescreva- a usando as formas ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) e ( 4 ) acima.

Em matemática e em particular lógica, a afirmação "significa a mesma coisa“ é frequente- mente usada e tem um significado preciso.

Definição 1.1.10. Duas afirmações P e Q, simples ou compostas, são logicamente equiva- lentes se possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, se possuem os mesmos valores lógicos. Denotamos este fato por P ≡ Q.

1.1 CÁLCULO PROPOSICIONAL 11

Assim, verificamos que

∼ (P ∨ Q) ≡∼ P∧ ∼ Q e ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P∨ ∼ Q.

Ou seja, dizer que "não é verdade que Vasco ou São Paulo será campeão brasileiro este ano"é equivalente a dizer que "nem Vasco, nem São Paulo será campeão brasileiro este ano". Observe a semelhança das equivalências acima com as leis de De Morgan para conjuntos:

(A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc^ e (A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc,

onde Ac^ significa o complementar do conjunto A. Uma outra equivalencia lógica importante é (P ⇒ Q) ≡ (∼ P∨Q). Assim, podemos expres- sar a negação de uma implicação por ∼ (P ⇒ Q) ≡ (P∧ ∼ Q). Logo, se não é verdade que eu serei aprovado em Fundamentos de Matemática se estudar, isto é equivalente a dizer que eu es- tudarei, mas não serei aprovado. Desde que a afirmação "Se − 5 < −3, então (− 5 )^2 < (− 3 )^2 "é falsa, sua negação seria verdadeira, ou seja, − 5 < −3 e (− 5 )^2 ≥ (− 3 )^2. Podemos formar novas afirmações condicionais a partir de uma implicação, a saber:

A Inversa de uma implicação P ⇒ Q é ∼ P ⇒∼ Q.

O erro inicial mais comum que pessoas cometem em lógica se origina no uso da linguagem comum. Por exemplo, ao dizer que "se chover não irei à praia", em geral interpretamos isso como "se não chover, vou à praia". Mas o fato é que foi dito apenas o que acontece caso chova! Quando digo que se você for ao Forrócaju eu vou, nada me impede que mesmo que você não vá eu deixe de ir. Construindo as tabelas-verdade de P ⇒ Q e ∼ P ⇒∼ Q verificaremos que essas implicações não são equivalentes. Em geral, a veracidade de P ⇒ Q nada diz sobre a veracidade de ∼ P ⇒∼ Q.

Exemplo 1.1.11. (1) "Se eu sou sergipano, então eu sou brasileiro“ é uma implicação válida, porém sua inversa é falsa: "Se eu não sou sergipano, então eu não sou brasileiro".

(2) "Se x é par, então x^2 é par“ é uma implicação verdadeira que possui um inversa também verdadeira: "Se x é ímpar, então x^2 é ímpar".

A Contrapositiva de uma implicação P ⇒ Q é ∼ Q ⇒∼ P.

Surpreendentemente estas afirmações são logicamente equivalentes (verifique!). Assim por exemplo, a contrapositiva da afirmação "Se x é um número primo, então x = 2 ou x é ímpar“ é "Se x 6 = 2 e x é par, então o número x não é primo".

A Recíproca de uma implicação P ⇒ Q é Q ⇒ P.

A veracidade de P ⇒ Q nem sempre conduz à veracidade de Q ⇒ P (construa as tabelas- verdade e verifique que essas proposições não são logicamente equivalentes). Quando digo que "Mário é rico, logo é feliz", verificamos que a recíproca não é verdadeira. Agora, ao dizer "Quando penso em alguém só penso em você“ esta implicação possui recíproca verdadeira. Para quem já estudou em Cálculo I o conceito de derivada de uma função, o seguinte exemplo, "Se uma função é derivável num ponto, então ela é contínua nesse ponto“ é uma implicação verdadeira, porém sua recíproca é falsa. Por exemplo, a função modular f (x) = |x| na origem.

1.3 FORMAS NORMAIS DISJUNTIVA E CONJUNTIVA 13

P Q P ∨ Q P ⇒ (P ∨ Q)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

Tabela 1.7 Tabela-verdade representando uma tautologia

P Q ∼ P ∼ Q ∼ P ∧ Q P∨ ∼ Q (∼ P ∧ Q) ∧ (P∨ ∼ Q) V V F F F V F V F F V F V F F V V F V F F F F V V F V F

Tabela 1.8 Tabela-verdade para uma contradição

Observação 1.2.1. Existe uma diferença sutil, mas importante entre o conectivo bicondicional e o conceito de equivalência lógica. Quando escrevemos P ⇔ Q expressamos uma simples fórmula. Equivalência lógica, por outro lado, é uma relação entre duas expressões lógicas (fórmulas). Os dois conceitos estão relacionados da seguinte forma: duas expressões lógicas α e β são logicamente equivalentes se, e somente se, α ⇔ β é uma tautologia.

Exemplo 1.2.2. Verifique que [P ∧ (Q ∨ R)] ⇔ [(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)] é uma tautologia.

É possível ter tautologias e contradições mais complicadas (e não intuitivos). Por exemplo, a tabela-verdade da afirmação

[(P ∧ Q) ⇒ R] ⇒ [P ⇒ (Q ⇒ R)]

expressa uma tautologia. Como mais um exemplo de contradição, verifique com uma tabela- verdade que a afirmação [Q ⇒ (P∧ ∼ Q)] ∧ Q é sempre falsa.

1.3 Formas Normais Disjuntiva e Conjuntiva

Até agora temos encontrado tabelas-verdade associadas com várias sentenças compostas. Agora, faremos o inverso: dada a tabela-verdade, determinaremos uma sentença lógica que fornece a referida tabela. Existem duas expressões lógicas equivalentes, a saber: forma normal disjuntiva (FND) - por ser uma disjunção (∨) de conjunções (∧); e forma normal conjuntiva (FNC) - por ser uma conjunção (∧) de disjunções (∨). Por exemplo, qual a sentença lógica que fornece a tabela-verdade abaixo? Para encontrar a FND, olhamos para as linhas em que o resultado da função lógica é verda- deiro, isto é, linhas 1,2,4,6 e 7. Então criamos fórmulas que fornece um resultado verdadeiro através de conjunções. Assim, a tabela-verdade fornece um resultado verdadeiro quando pelo menos uma das conjunções é verdadeira. Isto fornece a forma FND para a tabela:

DNF : (P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q∧ ∼ R) ∨ (P∧ ∼ Q∧ ∼ R) ∨ (∼ P ∧ Q ∼ R) ∨ (∼ P∧ ∼ Q ∧ R).

1.4 QUANTIFICADORES 14

P Q R Função Lógica V V V V V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V V F F F F

Verifique que os resultados falsos são automaticamente fornecidos por essa expressão. Por outro lado, para encontrar a FNC, olhamos as linhas em que o resultado da tabela é falso, ou seja, linhas 3, 5 e 8; e tomamos disjunções envolvendo as proposições P,Q e R de forma que forneça este resultado. Por fim, tomando as conjunções dos mesmos obtemos a forma norma conjuntiva:

FNC : (∼ P ∨ Q∨ ∼ R) ∧ (P∨ ∼ Q∨ ∼ R) ∧ (∼ P∨ ∼ Q∨ ∼ R).

1.4 Quantificadores

A menos que algum valor de x tenha sido associado, a sentença "x > 3“ não é uma proposição porque não podemos afirmar seu valor lógico. Quando a variável x é trocada por certos valores, por exemplo 7, a proposição resultante é verdadeira, enquanto para outros valores de x, digamos 2, ela é falsa. Este é um exemplo de uma sentença aberta ou predicado. Isto é, uma sentença contendo uma ou mais variáveis que torna-se uma proposição somente quando as variáveis são trocadas por objetos particulares. Por notação, se uma sentença aberta é chamada P e as variáveis são x 1 , x 2 , · · · , xk, escrevemos P(x 1 , x 2 , · · · , xk). A sentença "x 1 = x 2 + x 3 “ é aberta com três variáveis P(x 1 , x 2 , x 3 ). Assim, P( 2 , 1 , 1 ) é verdadeira, enquanto P( 1 , 2 , 3 ) é falsa.

Definição 1.4.1. Uma variável é um símbolo representando um objeto não especificado que pode ser escolhido de um dado conjunto U. O conjunto U é chamado o conjunto universal.

Exemplo 1.4.2. Suponha Z o conjunto universal e seja R(x, y, z) o predicado x^2 + y^2 = z^2. Encontre dois exemplos diferentes em que R(x, y, z) é falso e dois exemplos diferentes em que R(x, y, z) é verdadeiro.

Outro modo para construir proposições a partir de uma sentença aberta é quantificar a va- riável, no seguinte sentido:

Definição 1.4.3. Para uma sentença aberta P(x) com variável x num universo de discurso U, a sentença ∀x ∈ U, P(x) (lida: para todo x em U, P(x)) é verdadeira precisamente quando P(x) é verdadeiro qualquer que seja x em U. O símbolo ∀ é chamado o quantificador universal.

Definição 1.4.4. A sentença ∃x ∈ U, P(x) (lida existe x em U tal que P(x)) é verdadeira quando existe pelo menos um x no universo de discurso U tal que P(x) é verdadeiro. O símbolo ∃ é chamado o quantificador existencial.

1.5 VALIDADE DE ARGUMENTOS 16

(2) Considere as seguintes equivalências lógicas:

∼ [∀x, (P(x) ⇒ Q(x))] ≡ ∃x, ∼ (P(x) ⇒ Q(x)) ≡ ∃x, ∼ (∼ P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x, (P(x)∧ ∼ Q(x)).

Assim, se P(x) significa "x é uma loira"e Q(x) significa "x é burra", então ∀x, P(x) ⇒ Q(x) significa que "toda loira é burra"e a negação seria "existe pelo menos uma loira que não é burra".

(3) Fazemos a negação de uma combinação de quantificadores, negando um de cada vez. Por exemplo, tomando a função f : R → R dada por f (x) = x^2 e a afirmação que para todo y ∈ R existe x ∈ R tal f (x) = y, em símbolos, ∀y ∈ R, ∃x ∈ R; P(x, y) = ” f (x) = y” (isto define a sobrejetividade da função f ), sua negação, conforme uso da equivalência lógica acima, será: ∃y ∈ R, ∀x ∈ R; ∼ P(x, y). Ou seja, existe pelo menos um y real tal que qualquer que seja x ∈ R nunca teremos f (x) = y.

Diferente do que foi discutido antes, quando se trata de predicados, não podemos usar tabela verdade para verificar a veracidade dessas equivalências.

1.5 Validade de Argumentos

Um turista está andando pela terra dos honestos e mentirosos. Lá, as pessoas são radicais, umas só falam a verdade e outras só falam mentiras. Chegou a hora do almoço e o turista encontra-se numa estrada com uma bifurcação. O turista sabe que um dos caminhos é para um restaurante e o outro para um abismo, mas não sabe distingui-los. Nesta bifurcação ele encontra um homem nativo. Naturalmente o turista não sabe se ele é honesto ou mentiroso. Como o turista descobre o caminho para o restaurante fazendo uma única pergunta a esse nativo? Para convencer que você sabe a resposta (que não é um chute) você tem de expor as razões que o levaram a conclusão (justificar). Em geral, utilizamos um argumento quando estamos interessados em estabelecer (ou pro- var, ou justificar) a verdade de uma determinada sentença. Assim, argumentamos sobre de- terminadas bases (as premissas), de modo que o que queremos provar (a conclusão) tenha a sua verdade assentada sobre a verdade das premissas. Neste sentido, argumentar corretamente não é o mesmo que está certo. Mesmo que as bases sobre as quais argumentamos não sejam verdadeiras, podemos efetuar boas argumentações.

Exemplo 1.5.1. Consideremos o seguinte argumento: "O conjunto dos números pares é um subconjunto dos números naturais. Todo conjunto possui mais elementos que cada um de seus subconjuntos. Assim, existem mais números naturais que números pares."

No argumento acima, uma das premissas não é verdadeira (qual?). Porém, caso admitamos que ambas as premissas sejam verdadeiras, seremos obrigados a concluir que existem mais números naturais que números pares. Logo, este é um bom argumento.

1.5 VALIDADE DE ARGUMENTOS 17

A importância da lógica é que ela fornece um meio de estabelecer quando uma linha de raciocínio, chamada um argumento, é correta ou não. Um argumento nesse sentido, consiste de um conjunto de proposições (simples ou compostas) chamadas hipóteses (ou premissas) e outra proposição dita conclusão (ou tese), a qual é uma consequência inevitável das hipóteses. Cada passo do argumento segue as leis da lógica. Em matemática, uma afirmação não é aceita como válida sem que seja acompanhada de uma prova. Esta insistência por provas é uma das coisas que torna a matemática distinta de outras ciências. Escrever provas é uma tarefa difícil; não existem procedimentos que assegurem sucesso sempre. Por isto, iniciaremos discutindo provas lógicas. Elas serão escritas no formato coluna, com cada passo sendo justificado por uma regra de inferência.

Definição 1.5.2. Um argumento com hipóteses P 1 , P 2 , · · · , Pn e conclusão Q é dito ser válido, se sempre que P 1 , P 2 , · · · , Pn forem verdadeiros, então Q também o for. Denotaremos um argu- mento por P 1 , P 2 , · · · , Pn ` Q.

Assim, (P 1 ∧ P 2 ∧ · · · ∧ Pn) ⇒ Q

é uma tautologia. Caso contrário, dizemos que o argumento é inválido, isto é, se é possível que, em algum contexto, admitindo que suas premissas sejam verdadeiras se possa ter a conclusão falsa.

É importante ressaltar que não é o conteúdo de um argumento que determina quando ou não ele é válido. O que é importante é sua estrutura.

1.5.1 Tabela-Verdade

A verificação da veracidade ou falsidade de um argumento via tabela-verdade é estabelecida por considerar todos os modos possíveis nas quais as premissas assumem valor verdadeiro e verificar se a conclusão é verdadeira ou falsa.

Exemplo 1.5.3. Verificar mediante tabela-verdade a validade do argumento seguinte: "Se Car- los está com fome, então, ele come. Carlos dorme ou não come. Carlos está acordado. Portanto, Carlos não está com fome."

O primeiro passo consiste na representação do argumento acima na forma simbólica, em termos de proposições simples. Chamando as proposiçòes simples Carlos está com fome, Car- los come e Carlos está acordado de P, Q e R, respectivamente, o argumento pode ser escrito na linguagem da lógica proposicional como

P ⇒ Q, ∼ R∨ ∼ Q, R `∼ P.

Exemplo 1.5.4. Se o congresso afastar Cunha, então Cunha delata 150 deputados, então Temer perde sua base parlamentar na câmara. Se Temer perder sua base parlamentar na câmara, então projetos que retiram ganhos sociais não serão aprovados. Os projetos foram aprovados. Logo, Temer não perdeu sua base parlamentar na câmara e o congresso não afastou Cunha.