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DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA PROJETO : TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Software GeoGebra
1ª Parte - Conhecendo o Software GeoGebra
Trata-se de um programa livre, desenvolvido por Markus Hohenwarter, disponível, em
português, no endereço eletrônico http://www.geogebra.at/.
O GeoGebra é um software matemático que junta Geometria, Álgebra e Cálculo. Para
tanto, há duas janelas de visualização: a janela algébrica e a geométrica. Cada objeto
visualizado na janela geométrica tem sua representação algébrica mostrada na janela
algébrica.
Nesta seção apresentamos algumas informações básicas sobre a utilização do
software GeoGebra. Outras informações poderão ser obtidas no “ajuda” do programa (em
inglês) ou no endereço eletrônico anteriormente citado.
Ao abrir o software , visualizamos a seguinte tela:
Nela podemos observar as duas janelas: a janela algébrica (à esquerda) e a janela
geométrica (à direita). A janela algébrica pode ser fechada, clicando no x que aparece em
seu canto direito superior. Para visualizá-la novamente, clique em Exibir (no alto da tela) e
selecione Janela de álgebra , conforme mostrado a seguir:
Ainda em Exibir, observe que a opção Eixo está ativada, por isso aparecem os eixos
cartesianos na janela geométrica. Para retirá-los basta desmarcar essa opção. Se desejar
que a janela geométrica fique quadriculada, selecione Malha. Essas alterações podem ser
feitas também clicando com o botão direito do mouse sobre a janela geométrica. Isso faz
abrir uma caixa com algumas opções, conforme figura a seguir.
Nos itens abaixo, descrevemos algumas opções encontradas na barra de botões:
Em todos os botões aparece uma setinha no canto inferior direito. Esta, ao ser
clicada, permite visualizar as opções existentes.
Clicando na setinha do botão , visualizamos as seguintes opções:
Clicando na setinha do botão ,
visualizamos as seguintes opções:
Reta perpendicular – clicando-se em uma reta e em um ponto fora dela, constrói-se uma reta perpendicular à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta. A ordem na qual clicamos nos dois objetos (reta e ponto ou ponto e reta) é indiferente.
Reta paralela – clicando-se em uma reta e em um ponto fora dela, constrói-se uma reta paralela à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta. A ordem na qual clicamos nos dois objetos é indiferente.
Mediatriz – clicando-se nas extremidades de um segmento de reta, constrói-se uma reta perpendicular a este passando pelo seu ponto médio.
Bissetriz – marcando-se três pontos A, B e C, constrói-se a bissetriz do ângulo
AB ˆ^ C. Clicando-se sobre duas linhas
concorrentes, já traçadas, constrói-se as bissetrizes dos ângulos determinados pelas linhas.
Tangentes – as tangentes a uma cônica podem ser construídas de duas maneiras: i) selecionando-se um ponto A e uma cônica c (nesse caso, são traçadas todas as tangentes a c por A); ii) selecionando-se uma linha g e uma cônica c (nesse caso, constrói-se todas as tangentes a c, que são paralelas a g).
Reta polar ou diametral – a reta polar ou diametral a uma cônica pode ser construída de duas maneira: i) selecionando-se um ponto e uma cônica; ii) selecionando-se uma linha ou um vetor e uma cônica.
Clicando na setinha do botão ,
visualizamos as seguintes opções:
Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – marcando-se um ponto A e um ponto B, traça-se o círculo com centro A, passando por B.
Círculo dados centro e raio – marca-se o centro A e digita-se a medida desejada para o raio, em uma janela que se abre automaticamente.
Círculo definido por três pontos – marcando-se três pontos não-colineares, traça-se o círculo que passa por eles.
Semicírculo dados dois pontos – marcando-se dois pontos A e B , traça-se
o semicírculo de diâmetro
AB.
Arco circular dados o centro e dois pontos - marcando-se três pontos A, B e C, traça-se o arco circular com centro A, começando no ponto B e terminando no ponto C (obs.: o arco é traçado mesmo que o ponto C seja marcado fora do arco).
Arco circumcircular dados três pontos – essa ferramenta permite traçar um arco circular por três pontos não colineares.
Setor circular dados o centro e dois pontos - marcando-se três pontos A, B e C, traça-se o setor circular com centro A, começando no ponto B e terminando no ponto C (obs.: o arco é traçado mesmo que o ponto C seja marcado fora setor).
Setor circumcircular dados três pontos - marcando-se três pontos não colineares, traça-se um setor circular por esses pontos.
Cônica definida por cinco pontos
- marcando-se cinco pontos constrói-se a cônica que passa por eles (a cônica só será definida se quaisquer quatro dos cinco pontos não forem colineares).
Clicando na setinha do botão ,
visualizamos as seguintes opções:
Ângulo – com essa ferramenta traçam-se ângulos: i) entre três pontos; ii) entre dois segmentos; iii) entre duas retas (ou semi-retas); iv) entre dois vetores; v) interiores de um polígono.
Ângulo com amplitude fixa – marcam-se dois pontos e digita-se a medida desejada para o ângulo, em uma janela que se abre automaticamente.
Distância - essa ferramenta fornece, na janela algébrica, a distância entre: i) dois pontos; ii) duas linhas; iii) um ponto e uma linha.
Atividade 2 a. Abra um arquivo novo. b. Construa um quadrado ABCD que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. c. Marque os ângulos internos do quadrado. d. Mostre, na janela geométrica, a medida dos ângulos e dos lados do quadrado (clique sobre o objeto com o botão direito do mouse; no menu que abrirá clique em Propriedades ; na janela que aparecerá, selecione todos os segmentos e ângulos, com o botão control do teclado apertado; em exibir rótulo, coloque Nome & Valor e clique em Aplicar ). e. Movimente um dos vértices e confira sua construção, observando as medidas dos ângulos e dos lados. f. No menu, no alto da tela, clique em Exibir e, a seguir, clique em Protocolo de construção. Reveja a seqüência de passos de sua construção. Ao terminar, feche essa janela.
Atividade 3 a. Abra um arquivo novo. b. Construa um triângulo retângulo ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. c. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. d. Movimente um dos vértices e confira sua construção. e. Salve a construção feita (esta será utilizada na atividade 6).
Atividade 4 a. Abra um arquivo novo. b. Construa um triângulo isósceles ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. c. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. d. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. e. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos da base.
Atividade 5 a. Abra um arquivo novo. b. Construa um triângulo eqüilátero ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. c. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. d. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. e. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos internos.
Atividade 6
a. Abra o arquivo que contém o triângulo retângulo. b. Trace a mediana relativa a hipotenusa. Mostre na janela geométrica a medida dessa mediana e da hipotenusa. c. Compare as medidas indicadas no item b. d. Movimente um dos vértices e compare novamente a medida da mediana relativa à hipotenusa com a medida da hipotenusa. e. Enuncie com suas palavras a propriedade que você observou.
Atividade 7
a. Abra um arquivo novo. b. Construa um triângulo ABC.
c. Marque os pontos médios dos lados
AB e
AC. Organize de modo que o ponto médio
de
AB seja D e o ponto de médio de
AC seja E (caso seja necessário, faça uso da ferramenta Renomear ).
d. Trace
DE. Observe, na janela algébrica, as medidas de
DE e
BC recursos do software , determine a razão DE/BC (estando visível o Campo de entrada. Utilizando os,
no rodapé da tela, digite d/b, se assim estiverem nomeados, respectivamente,
DE e
BC e clique Enter ). e. Movimente um dos vértices do triângulo e observe na janela algébrica a razão DE/BC. f. Descreva a propriedade observada.
Atividade 8
a. Abra um arquivo novo. b. Construa um triângulo ABC. c. Utilizando a ferramenta Mediatriz (no menu que contém a ferramenta Reta
perpendicular ), construa a mediatriz do lado
AB e a do lado
AC. Marque o ponto D, interseção dessas retas.
d. Trace a mediatriz do lado
BC , movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D. e. Trace a circunferência de centro D que passa por A. Observe as posições dos pontos B e C em relação à circunferência. f. Movimente um dos vértices do triângulo e enuncie com suas palavras a propriedade que você observou. g. Salve a construção feita.
Atividade 9
a. Abra um arquivo novo. b. Construa um triângulo ABC. c. Trace duas alturas desse triângulo e marque o ponto D, interseção dessas retas. d. Trace a terceira altura, movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D (ortocentro do triângulo ABC). e. Movimente novamente um dos vértices de forma a obter triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos. f. Relacione a posição do ortocentro com a classificação dos triângulos quanto à medida de seus ângulos (acutângulo, obtusângulo ou retângulo).
Atividade 10
a. Abra um arquivo novo. b. Construa uma circunferência pelo centro (A) e um de seus pontos (B). c. Marque três outros pontos (C, D e E) da circunferência. d. Construa os segmentos EC, ED, AC e AD. e. Marque o ângulo inscrito CÊD e o ângulo central CÂD. Observe, na janela algébrica a medida desses ângulos e compare-as.
Atividade 14
a. Abra um arquivo novo. b. Construa uma circunferência pelo centro (A) e um de seus pontos (B). c. Utilizando a ferramenta Tangentes (no menu que contém a ferramenta Reta perpendicular ), construa duas semi-retas de mesma origem tangentes à circunferência. d. Marque os pontos de interseção (D, E) da circunferência com as semi-retas.
e. Trace
CD e
CE. Observe, na janela algébrica a medida desses segmentos e compare- as. f. Movimente o ponto C e compare, novamente, a medida dos segmentos CD e CE. g. Movimente o centro (A) da circunferência e compare, novamente, a medida dos segmentos CD e CE. h. Enuncie com suas palavras a propriedade que você observou.
