Integrais Improprias, Notas de estudo de Engenharia de Petróleo

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Integrais Imprópias

Alânnio Barbosa Nóbrega [email protected]

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Introdução

Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie- dades: primeiro, que o domínio de integração [a, b] fosse finito; segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter- valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se- guintes perguntas:

1)Qual a área da região sob a curva y = lnx x^2 no intervalo [ 1 , +∞)?

e

2)Qual a área da região sob a curva y =

x no intervalo ( 0 , 1 ]?

dme

Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Introdução

Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie- dades: primeiro, que o domínio de integração [a, b] fosse finito; segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter- valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se- guintes perguntas:

1)Qual a área da região sob a curva y = lnx x^2 no intervalo [ 1 , +∞)?

e

2)Qual a área da região sob a curva y =

x no intervalo ( 0 , 1 ]?

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Introdução

Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie- dades: primeiro, que o domínio de integração [a, b] fosse finito; segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter- valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se- guintes perguntas:

1)Qual a área da região sob a curva y = lnx x^2 no intervalo [ 1 , +∞)?

e

2)Qual a área da região sob a curva y =

x no intervalo ( 0 , 1 ]?

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Integrais Impróprias do Tipo I

1)Se f é contínua em um intervalo [a, +∞), então: ∫ (^) +∞

a

f (x)dx = lim b→+∞

∫ (^) b

a

f (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo (−∞, b], então: ∫ (^) b

−∞

f (x)dx = (^) a→−∞lim

∫ (^) b

a

f (x)dx

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Integrais Impróprias do Tipo I

1)Se f é contínua em um intervalo [a, +∞), então: ∫ (^) +∞

a

f (x)dx = lim b→+∞

∫ (^) b

a

f (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo (−∞, b], então: ∫ (^) b

−∞

f (x)dx = (^) a→−∞lim

∫ (^) b

a

f (x)dx

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

3)Se f é contínua em um intervalo (−∞, +∞), então: ∫ (^) +∞

−∞

f (x)dx =

∫ (^) c

−∞

f (x)dx +

c

f (x)dx,

onde c é um número real qualquer.

Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limite não existir dizemos que a integral imprópria diverge.

dme

Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

3)Se f é contínua em um intervalo (−∞, +∞), então: ∫ (^) +∞

−∞

f (x)dx =

∫ (^) c

−∞

f (x)dx +

c

f (x)dx,

onde c é um número real qualquer.

Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limite não existir dizemos que a integral imprópria diverge.

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Exemplos

1

lnx x^2 dx passo 1

Escreva

1

lnx x^2 dx = lim b→+∞

∫ (^) b

1

lnx x^2 dx

passo 2

Usando integração por partes temos

∫ (^) b

1

lnx x^2 dx = − lnb b

b

passo 3

Usando L’Hopital mostramos que (^) b→lim+∞ − lnb b

b

dme

Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Exemplos

1

lnx x^2 dx passo 1

Escreva

1

lnx x^2 dx = lim b→+∞

∫ (^) b

1

lnx x^2 dx

passo 2

Usando integração por partes temos

∫ (^) b

1

lnx x^2 dx = − lnb b

b

passo 3

Usando L’Hopital mostramos que (^) b→lim+∞ − lnb b

b

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Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Conclusão

Portanto,

1

lnx x^2 dx^ =^1

dme

Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

Conclusão

Portanto,

1

lnx x^2 dx^ =^1

dme

Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

2. Para quais valores de p a integral

1

dx xp^ converge?

passo 1

Escreva

1

dx xp^ = (^) b→lim+∞

∫ (^) b

1

dx xp

passo 2

Se p 6 = 1 mostramos que

∫ (^) b

1

dx xp^

1 − b

bp−^1

passo 3

Então (^) b→lim+∞(

1 − b

bp−^1

p − 1 ,^ se^ p^ >^1 +∞, se p < 1.

dme

Exemplos Integrais Impróprias do Tipo IIExemplos

2. Para quais valores de p a integral

1

dx xp^ converge?

passo 1

Escreva

1

dx xp^ = (^) b→lim+∞

∫ (^) b

1

dx xp

passo 2

Se p 6 = 1 mostramos que

∫ (^) b

1

dx xp^

1 − b

bp−^1

passo 3

Então (^) b→lim+∞(

1 − b

bp−^1

p − 1 ,^ se^ p^ >^1 +∞, se p < 1.