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Capítulo 9
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
9.1 Introdução
Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo
fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:
Funções definidas em intervalos do tipo:
[a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞),
ou seja para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente.
A função integranda é descontínua em um ponto.
Observação 9.1.
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são
de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equa-
ções diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em
Estatística.
9.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema:
Problema: Calcular a área da região R determinada pelo gráfico da função:
f : [1, +∞) −→ R
x −→
x^2
e o eixo dos x.
Primeiramente note que a região R é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal
região.
364 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
11
Figura 9.1: Gráfico de y =
x^2
, x ≥ 1.
Seja Rb a região determinada pelo gráfico de y =
x^2
e 1 ≤ x ≤ b, acima do eixo dos x.
11
Figura 9.2: Gráfico de y =
x 2 , 1 ≤ x ≤ b.
A área de Rb é:
A(Rb) =
∫ (^) b
1
dx
x 2
x
∣b 1
b
É intuitivo que para valores de b, muito grandes, a área da região limitada Rb é uma boa apro-
ximação da área da região ilimitada R. Isto nos induz a escrever:
A(R) = lim b→+∞
A(Rb),
quando o limite existe. Neste caso:
A(R) = lim b→+∞
A(Rb) = lim b→+∞
b
1
dx
x 2 = lim b→+∞
b
) = 1 u.a.
É comum denotar A(R) por: ∫ (^) +∞
1
dx
x^2
Esta integral é um exemplo de integral imprópria com limite de integração infinito. Motivados
pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições:
366 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Então, ∫ (^) +∞
−∞
x dx
(x^2 + 1)^2
= lim a→−∞
a
x dx
(x^2 + 1)^2
∫ (^) b
0
x dx
(x^2 + 1)^2
[5] Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de y = 2 −x , o
eixo dos x e à direita do eixo dos y.
A(R) =
0
dx
2 x^
= lim b→+∞
∫ (^) b
0
dx
2 x^
= lim b→+∞
[
−x
ln(2)
]∣
b
0
ln(2)
u.a.
[6] Seja p ∈ R. Calcule
1
dx
x p
∫ (^) b
1
dx
x p
1 − p
(b 1 −p − 1), p 6 = 1
a) Se p > 1 temos: lim b→+∞
b
1 −p = 0; logo,
1
dx
xp^
p − 1
b) Se p < 1 temos: lim b→+∞
b
1 −p = ∞; logo,
1
dx
xp^
c) Se p = 1, temos:
1
dx
x
= lim b→+∞
∫ (^) b
1
dx
x
= lim b→+∞
ln(b) = ∞. Em geral:
1
dx
xp^
∞ se p ≤ 1 1
p − 1
se p > 1.
Portanto, a integral converge para p > 1 e diverge para p ≤ 1.
1 4
1
1 4
1
1 4
1
1 4
1
Figura 9.3: Gráficos de y = 1 x e y = 1 x^2 , para x > 0 , são,respectivamente.
[7] Calcule a área da região limitada por f (x) =
x^2 + 1
e o eixo dos x.
9.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 367
11
Figura 9.4: Gráfico de f (x) =
1 x^2 +
A =
−∞
dx
x^2 + 1
−∞
dx
x^2 + 1
0
dx
x^2 + 1
= lim b→−∞
b
dx
x^2 + 1
∫ (^) b
0
dx
x^2 + 1
= lim b→−∞
(−arctg(b)) + lim b→+∞
arctg(b)
π
2
π
2
= π u.a.
[8] Calcule o volume do sólido de revolução, obtido ao girar ao redor do eixo doxs x, o gráfico
de f (x) =
x
x^2 + 1
0
1
2 - 0.
0.5-0.
Figura 9.5: Gráfico do volume do exemplo [8].
V = π
−∞
x 2
(x^2 + 1)^2
dx =
−∞
x 2
(x^2 + 1)^2
dx +
0
x 2
(x^2 + 1)^2
dx
π 2
u.v.
9.3. APLICAÇÃO 369
Por exemplo:
Continuando este processo, podemos definir a função Γ, para x < 0 por:
Γ(x) =
x
Γ(x + 1).
Muitas vezes não é possível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, podemos
indagar se uma integral imprópria converge ou diverge.
Proposição 9.1. Sejam f e g funções integráveis em [a, +∞) tais que f (x) ≥ g(x) > 0 para todo
x ≥ a.
- Se
a
f (x) dx converge, então
a g(x) dx converge.
- Se
a
g(x) dx diverge, então
a
f (x) dx diverge.
A prova, segue diretamente das definições. Seja f (x) ≥ 0 , para todo x ≥ a. Para mostrar a con-
vergência da integral de f , é preciso que f seja menor que uma função cuja integral converge.
Para mostrar a divergência da integral de f , é preciso que f seja maior que uma função cuja
integral diverge.
Exemplo 9.2.
[1] Analise a convergência da integral:
+∞
1
sen(x) + 2 √ x
dx.
Considere a seguinte desigualdade:
x
x
sen(x) + 2 √ x
Por outro lado:
1
x
dx diverge; logo, pela proposição, parte 2, temos que a integral dada
diverge.
[2] Analise a convergência da integral
+∞
1
e −x^2 dx.
1
1
1
1
Figura 9.6: Gráfico de e −x^2 em azul e de e −x em vermelho, respectivamente.
370 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Claramente
ex
2 ≤^
ex^
, para todo x ≥ 1 ; então, como
∫ +∞
1
e −x dx = lim b→+∞
(−e −b
e
temos que a integral dada converge.
9.4 Probabilidades
Uma função f : R −→ R positiva e integrável é chamada densidade de probabilidade se:
∫ (^) +∞
−∞
f (x) dx = 1
Assim denotamos e definimos a probabilidade de um número x estar comprendido entre a e b
(a < b); por:
P (a ≤ x ≤ b) =
∫ (^) b
a
f (x) dx
Analogamente definimos as outras possibilidades:
P (a ≤ x) =
a
f (x) dx e P (x ≤ b) =
∫ (^) b
−∞
f (x) dx
Também podemos definir o valor esperado ou esperança do número x, como
E(x) =
−∞
x f (x) dx
E a variância do número x é definida por:
V (x) =
−∞
[
x − E(x)
] 2
f (x) dx
A variável independente x é chamada variável aleatória contínua (v.a.c).
Proposição 9.2.
V (x) = E(x
2 ) −
[
E(x)
] 2
De fato,
V (x) =
−∞
[
x − E(x)
] 2
f (x) dx
−∞
[
x
2 − 2 xE(x) +
[
E(x)
] 2 ]
f (x) dx
−∞
x
2 f (x) dx − 2 E(x)
−∞
x f (x) dx +
[
E(x)
] 2
−∞
f (x) dx
= E(x 2 ) − 2
[
E(x)
] 2
[
E(x)
] 2
−∞
f (x) dx
= E(x 2 ) −
[
E(x)
] 2
Utilizamos o fato de que
−∞
f (x) dx = 1.
372 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Como o equilíbrio (não se perde nem se ganha) acontece quando vende 130 toneladas, devemos
calcular:
P (x < 130) =
100
dx
100
Isto é, tem uma probabilidade de 30%.
9.5.2 Distribuição Exponencial
Definimos a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial de parâmetro α,
por:
f (x) =
α e −αx se x ≥ 0
0 se x < 0 ,
α > 0. Observe que f (x) ≥ 0 , para todo x.
Figura 9.7: Gráfico da distribuição exponencial.
Note que:
∫ (^) +∞
−∞
f (x) dx = α
0
e
−αx dx = α lim b→+∞
∫ (^) b
0
e
−αx dx = lim b→+∞
(1 − e
−αb ) = 1.
Por outro lado, a probabilidade de que um número x ∈ (a, b) é:
P (a ≤ x ≤ b) = α
∫ (^) b
a
e −αx dx = e −a α − e −b α
O valor esperado do número x:
E(x) = α
+∞
0
x e −αx dx =
α
A variância:
V (x) = α
0
[
x −
α
]
e
−αx dx =
α^2
Esta função de densidade de distribuição é frequentemente utilizada para determinar a vida
útil de equipamentos eletrônicos e do tempo entre ocorrências de eventos sucessivos, como por
exemplo, o tempo entre chegadas de clientes a uma agência bancária.
9.5. EXEMPLOS 373
Exemplo 9.4.
[1] Para determinado tipo de baterias de telefone celular, a função de densidade de probabili-
dade dara que x horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida aleatoriamente é:
f (x) =
e −x/ 20
se x ≥ 0
0 se x < 0.
Determine a probabilidade de que uma bateria escolhida aleatóriamente tenha um tempo de
vida útil entre 10 a 15 horas e de uma que funcione pelo menos 50 horas. Determine a esperança
e a variância.
Devemos calcular P (10 ≤ x ≤ 15) e P (x ≥ 50), então:
P (10 ≤ x ≤ 15) =
10
e −x/ 20
dx = 0. 134 ∼= 13.4%
P (x ≥ 50) =
50
e −x/ 20
dx = 0. 082 ∼= 8.2%.
Determinemos a esperança e a variância:
E(x) = 20 e V (x) = 400.
10 20 30 40 50 60
Figura 9.8: Gráfico da distribuição exponencial do exemplo [1].
[2] O tempo de espera entre o pedido de atendimento num banco é uma v.a.c. com distribuição
exponencial com média igual a 10 minutos. Determine a probabilidade do tempo de espera
superior a 10 minutos. Ache a esperança e a variância.
Note que:
f (x) =
- 1 e − 0. 1 x se x ≥ 0
0 se x < 0.
Logo:
P (10 ≤ x) =
+∞
10
- 1 e − 0. 1 x = e
e:
E(x) = 10 min. e V (x) = 100 min.
9.6. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 375
- Se f é uma função integrável em [a, b), então:
∫ (^) b
a
f (x) dx = lim ε→b−
∫ (^) ε
a
f (x) dx
a
y=f(x)
b
Figura 9.10:
- Se f é uma função integrável em [a, b] exceto em c tal que a < c < b, então:
∫ (^) b
a
f (x) dx =
∫ (^) c
a
f (x) dx +
∫ (^) b
c
f (x) dx = lim ε→c−
∫ (^) ε
a
f (x) dx + lim ε→c+
∫ (^) b
ε
f (x) dx
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;
caso contrário, são ditas divergentes.
Exemplo 9.5.
Calcule as seguintes integrais impróprias:
[1]
∫ π 2
0
cos(x) √ sen(x)
dx.
Fazendo u = sen(x) temos:
cos(x) √ sen(x)
du √ u
sen(x). Logo,
∫ π 2
0
cos(x) √ sen(x)
dx = lim ε→ 0 +^
sen(x)
π 2
ε
= lim ε→ 0 +
sen(ε)) = 2.
[2]
2
0
dx √ 4 − x^2
2
0
dx √ 4 − x^2
= lim ε→ 2 −
ε
0
dx √ 4 − x^2
= lim ε→ 2 −^
arcsen(
x
2
ε
0
= lim ε→ 2 −
(arcsen(
ε
2
π
2
[3]
− 4
dx 3
x + 2
376 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Observe que a função integranda não é definida em − 2 ∈ [− 4 , 1].
− 4
dx 3
x + 2
= lim ε→− 2 −
∫ (^) ε
− 4
dx 3
x + 2
ε
dx 3
x + 2
lim ε→− 2 −
(x + 2)
2 3
ε
− 4
lim ε→− 2 +
(x + 2)
2 3
1
ε
[
lim ε→− 2 −
3
4 + ε
2 (^3) ) + lim ε 2 →− 2 +
3
9 − ε
2 (^3) )
]
[4] Calcule o comprimento da astróide
3
x 2
3
y 2 =
3
a 2 , a > 0.
Figura 9.11: A astróide.
A curva não é diferenciável nos pontos de interseção com os eixos coordenados; pela simetria,
calcularemos o comprimento da curva no primeiro quadrante e multiplicaremos o resultado
por 4. Derivando implicitamente a equação da astróide
3
x^2 +
3
y^2 =
3
a^2 em relação a x:
y ′ = −
3
y 3
x
; então,
1 + (y′)^2 =
3
a 3
x
Na última igualdade usamos o fato de que
3
x^2 +
3
y^2 =
3
a^2 ; logo,
L = 4
3
a
a
0
dx 3
x
3
a lim ε→ 0 +
a
ε
dx 3
x
3
a lim ε→ 0 +
[ (^) 3 (a
2 (^3) − ε
2 (^3) )
2
]
= 6 a u.c.
[5] Calcule a área limitada por f (x) =
x − 2
, e pelas retas x = 2 e x = 5. a > 0.
378 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
1 3 6 9
1
1 3 6 9
1
Figura 9.13: Gráfico de f (x) = √^1 x (x+1)
Como
dx √ x (x + 1)
= 2 arctg(
x), então:
0
dx √ x (x + 1)
= lim ε→ 0 +
ε
dx √ x (x + 1)
∫ (^) b
1
dx √ x (x + 1)
= lim ε→ 0 +^
2 arctg(
x)
1
ε
2 arctg(
x)
b
1
[
lim ε→ 0 +
π − 4 arctg(
ε)
4
4 arctg(
b) − π
4
]
= π u.a.
9.7 Exercícios
- Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
1
dx
x
x
(b)
3
dx
x^2 + 9
(c)
+∞
0
dx
(x + 1)(x + 2)
(d)
0
x e
−x^2 dx
(e)
−∞
|x| e
−x^2 dx
(f)
2
dx
x ln(x)
(g)
0
cosh(x)
1 + senh(x)
dx
(h)
−∞
x 5
−x^2 dx
(i)
−∞
x cosh(x) dx
(j)
1
ln(x)
x
dx
(k)
−∞
dx
x^2 + 1
(l)
0
sen(t π) e
−t dt
(m)
−∞
dx
(2 x − 3)^2
(n)
−∞
x
x 2
dx
9.7. EXERCÍCIOS 379
(o)
+∞
−∞
dx
x^2 + 2 x + 5
(p)
1
dx
x^3 + x
(q)
0
e −x sen(x) dx
(r)
1
x
(x^2 + 1)^2
dx
(s)
0
x 3
1 + x^4
dx
(t)
+∞
e^2
dx
x ln^3 (x)
(u)
0
x sen(x) dx
(v)
−∞
dx
x^2 + 1
(w)
1
dx √ 3 x^2
(x)
2
dx
x ln^2 (x)
- Calcule a área das regiões determinadas por:
(a) y = (e x
- e −x ) − 1 (b) y = x − 2 , y = e − 2 x e x ≥ 1
(c) y =
1 x^4 + e o eixo dos x.
- Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
0
dx √ x
(b)
0
cos(x
1 (^3) )
x
2 3
dx
(c)
0
dx √ 16 − x^2
(d)
4
0
e −
√ x √ x
dx
(e)
1 2
dx
x 7
(ln(x))^2
(f)
− 1
dx
x^3
(g)
∫ (^) π
−π
dx
1 − cos(x)
(h)
0
dx √ 2 x − x^2
(i)
4
dx
5
(5 − x)^2
(j)
1
dx
x^2
4 − x^2
(k)
0
dx √ 1 − x 2
(l)
0
dx
(x − 1)^2
(m)
∫ π 2
0
dx
cos(x)
(n)
1
dx √ 4 x − x 2 − 3
(o)
1
0
3 x 2
x 2
dx
(p)
− 2
dx
x
x^2 − 1
(q)
1
dx
x ln 2 (x)
(r)
1
dx
x
ln(x)
(s)
2
0
2 + x
2 − x
dx
(t)
π
0
x^2
sen(
x
) dx
(u)
0
dx
(1 − x^3 )
(v)
2
0
dx
x 3
ln(x)
