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Capítulo 6
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.1 Introdução
Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua
derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.
Definição 6.1. Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) no intervalo I se para todo
x ∈ I , tem-se:
F
′ (x) = f (x)
Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será
definida sobre um intervalo.
Exemplo 6.1.
[1] Seja f (x) = x^3 , então F (x) =
x^4
4
é uma primitiva de f em R, pois F ′(x) = x^3 = f (x).
F (x) =
x^4
4
- 5 é também uma primitiva de f em R, pois F ′(x) = x^3 = f (x). Na verdade,
F (x) =
x^4
4
- c, para todo c ∈ R é primitiva de f pois F ′(x) = x^3 = f (x).
[2] Seja f (x) = cos(x), então F (x) = sen(x) + c, para todo c ∈ R é uma primitiva de f. De fato,
F ′(x) = cos(x) = f (x).
[3] Seja:
f (x) =
1 x ∈ [a, b]
0 x /∈ [a, b].
Não existe função definida em todo R cuja derivada seja igual a f (x). Por outro lado, considere
a seguinte função:
F (x) =
0 x < a
x − a x ∈ [a, b]
b − a x ≥ b.
F (x) é uma função contínua em todo R e F ′(x) = f (x) se x ∈ (a, b). Logo, F é uma primitiva
de f em (a, b).
Em geral, uma função f admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. É o que
assegura a seguinte proposição:
232 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Proposição 6.1. Seja F uma primitiva da função f no intervalo I_. Então,_ G(x) = F (x) + c , c ∈ R , é
também primitiva de f no intervalo I_._
A pergunta natural que surge, a seguir, é: se F e G são primitivas de uma função f sobre um
intervalo, será que F e G estão relacionadas de alguma forma? A resposta a esta questão é dada
pela seguinte proposição:
Proposição 6.2. Se F e G são primitivas de uma função f num intervalo I , então existe c ∈ R tal que
G(x) = F (x) + c , para todo x ∈ I_._
Prova: Seja H(x) = F (x) − G(x); então, para todo x ∈ I, temos que: H′(x) = F ′(x) − G′(x) =
= f (x)−f (x) = 0. Como consequência do Teorema do Valor Médio, para todo x ∈ I, H(x) = c;
então, para todo x ∈ I, F (x) − G(x) = c.
Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem por uma constante. Logo, se co-
nhecemos uma primitiva de uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De fato,
basta somar uma constante à primitiva conhecida para obter as outras.
Exemplo 6.2.
[1] Seja f (x) = cos(x). Uma primitiva desta função é F (x) = sen(x); logo, toda primitiva de f
é do tipo G(x) = sen(x) + c, c ∈ R.
-6 -4 -2 2 4 6
1
2
3
Figura 6.1: Gráficos de f e algumas primitivas de cos(x).
[2] Seja f (x) = eax, a 6 = 0. Uma primitiva desta função é F (x) = e
ax a ; logo, toda primitiva de^ f é do tipo G(x) = e
ax a +^ c,^ c^ ∈^ R.
Definição 6.2. Seja F (x) uma primitiva da função f (x) no intervalo I_. A expressão_ F (x) + c, c ∈ R
é chamada a integral indefinida da função f e é denotada por:
∫
f (x) dx = F (x) + c
Note que ∫
f (x) dx = F (x) + c ⇐⇒ F
′ (x) = f (x)
em particular: (^) ∫
f
′ (x) dx = f (x) + c.
234 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma função conhecendo apenas sua deri-
vada; usando a tabela de derivadas do capítulo anterior, obtemos uma lista de integrais cha-
madas imediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e con-
sultando a tabela de derivada. Por exemplo, na tabela de derivadas do capítulo anterior temos
que:
(arctg(x))
′
1 + x^2
; então,
dx
1 + x^2
= arctg(x) + c.
No entanto, não incluimos como imediatas, por exemplo, integrais do tipo
ln(x) dx, pois não
é evidente encontrar uma função que tem como derivada ln(x). Para resolver este impasse,
estudaremos os chamados métodos de integração , que nos permitirão calcular integrais não
imediatas.
6.2 Tabela
Usaremos como variável independente u.
du = u + c
du
u
= ln(|u|) + c
uα^ du =
uα+
α + 1
a
u du =
au
ln(a)
e
u du = e
u
sen(u) du = −cos(u) + c
cos(u) du = sen(u) + c
sec^2 (u) du = tg(u) + c
cosec
2 (u) du = −cotg(u) + c
sec(u)tg(u) du = sec(u) + c
cosec(u)cotg(u) du = −cosec(u) + c
du √ 1 − u^2
= arcsen(u) + c
du
1 + u^2
= arctg(u) + c
du
u
u^2 − 1
= arcsec(u) + c
senh(u) du = cosh(u) + c
cosh(u) du = senh(u) + c
sech
2 (u) du = tgh(u) + c
cosech^2 (u) du = −cotgh(u) + c
sech(u)tgh(u) du = −sech(u) + c
cosech(u) cotgh(u)du = −cosech(u) + c
du √ 1 + u^2
= argsenh(u) + c
du √ u^2 − 1
= argcosh(u) + c
du
u
1 − u^2
= −argsech(|u|) + c
6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 235
Métodos de Integração
Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determi-
nar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na
regra da cadeia.
6.3 Método de Substituição
Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F ◦ g esteja
definida. Usando a regra da cadeia; temos,
F (g(x))
= F ′(g(x)) · g′^ (x) = f (g(x)) · g′^ (x). Logo,
F (g(x)) é uma primitiva de f (g(x)) · g′(x), então:
∫
f (g(x)) · g
′ (x) dx = F (g(x)) + c;
fazendo u = g(x), tem-se du = g′(x) dx; substituindo na expressão anterior:
∫
f (g(x)) · g
′ (x) dx =
f (u) du = F (u) + c
Exemplo 6.4.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
2 x
1 + x^2
dx. Fazendo u = 1 + x^2 , então du = 2x dx. Substituindo na integral:
2 x
1 + x^2
dx =
du
u
= ln(|u|) + c = ln(x
2
[2]
sen^2 (x) cos(x) dx. Fazendo u = sen(x), então du = cos(x) dx. Substituindo na integral:
sen
2 (x) cos(x) dx =
u
2 du =
u^3
3
sen^3 (x)
3
[3]
dx
(3 x + 7)^7
. Fazendo u = 3x + 7, então du = 3 dx ou, equivalentemente,
du
3
= dx. Substi-
tuindo na integral:
∫ dx
(3 x + 7)^7
du
3 u^7
du
u^7
18 u^6
18 (3 x + 7)^6
[4]
sec^2 (
x) √ x
dx. Fazendo u =
x, então du =
dx
2
x
. Substituindo na integral:
sec^2 (
x) √ x
dx = 2
sec
2 (u) du = 2 tg(u) + c = 2 tg(
x) + c.
[5]
ln(x)
x
dx. Fazendo u = ln(x), então du =
dx
x
. Substituindo na integral:
ln(x)
x
dx =
u du =
u^2
2
ln(x)
6.4. INTEGRAIS DE PRODUTOS E POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 237
[4]
dy
y
y^3 − 1
. Fazendo u =
y^3 − 1 , u^2 = y^3 − 1 e y^3 = u^2 + 1. Logo, 2 u du = 3 y^2 dy e
y^2 dy = 23 u du.
dy
y
y^3 − 1
y^2
y^3
y^3 − 1
dy =
du
u^2 + 1
arctg(u) + c =
arctg(
y^3 − 1) + c.
6.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas
Exemplo 6.6.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
sen(α x) sen(β x) dx. Se α 6 = β, utilizamos :
sen(α x) sen(β x) =
cos
(α − β) x) − cos
(α + β) x)
2
então:
∫
sen(α x) sen(β x) dx =
cos
(α − β) x) − cos
(α + β) x)
dx
( (^) sen
(α − β) x)
α − β
sen
(α + β) x)
α + β
Se α = β, utilizamos sen^2 (α x) =
1 − cos(2 α x)
2
; então:
sen
2 (α x) dx =
1 − cos(2 α x)
dx =
x −
sen(2 α x)
2 a
[2]
sen^2 (x) cos^5 (x) dx. Como sen^2 (x) cos^5 (x) = sen^2 (x)
1 − sen^2 (x)
cos(x), fazendo
u = sen(x), temos du = cos(x) dx e:
∫
sen
2 (x) cos
5 (x) dx =
sen
2 (x) (1 − sen
2 (x))
2 cos(x) dx =
u
2 (1 − u
2 )
2 du
(u
2 − 2 u
4
6 ) du =
u^3
3
2 u^5
5
u^7
7
sen^3 (x)
3
2 sen^5 (x)
5
sen^7 (x)
7
[3]
tg^3 (x) dx. Fatorando tg^3 (x) = tg(x) tg^2 (x) = tg(x)
sec^2 (x) − 1
tg
3 (x) dx =
tg(x) sec
2 (x) − tg(x)
dx =
tg
2 (x) + 2 ln
∣cos(x)
[4]
sec(x) dx.
∫
sec(x) dx =
sec(x)
( (^) tg(x) + sec(x)
tg(x) + sec(x)
dx =
sec(x) tg(x) + sec^2 (x)
tg(x) + sec(x)
dx.
238 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Fazendo u = sec(x) + tg(x), temos du = (sec(x)tg(x) + sec^2 (x)) dx. Substituindo na integral:
∫ sec(x)tg(x) + sec^2 (x)
tg(x) + sec(x)
dx =
du
u
= ln(|u|) + c = ln(|sec(x) + tg(x)|) + c.
Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolve
produtos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transfor-
mar a função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usar
alguns dos métodos.
6.5 Método de Integração por Partes
Sejam f e g funções deriváveis no intervalo I. Derivando o produto f · g:
( f (x) g(x)
= f
′ (x) g(x) + f (x) g
′ (x),
ou, equivalentemente, f (x) g′(x) = (f (x) g(x))′^ − f ′(x) g(x). Integrando ambos os lados:
∫
f (x) g
′ (x) dx = f (x) g(x) −
f
′ (x) g(x) dx;
fazendo: u = f (x) e dv = g′(x) dx, temos: du = f ′(x) dx e v = g(x). Logo:
f (x) g
′ (x) dx =
u dv = u v −
v du
Este método de integração nos permite transformar a integração de u dv na integração de v du.
É importante saber “escolher” a substituição u e dv na integral de partida. Devemos escolher
v′^ tal que permita determinar v. As expressões de u′^ e v devem ser mais simples que as de u e
v′, respectivamente.
Exemplo 6.7.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
ln(x) dx. Façamos u = ln(x) e dv = dx; então, du =
dx
x
e v = x; logo:
∫
ln(x) dx =
u dv = u v −
v du = x ln(x) −
dx = x ln(x) − x + c.
[2]
x e
2 x dx. Façamos u = x e dv = e^2 x^ dx; então, du = dx e v =
e^2 x
2
; logo:
∫
x e
2 x dx =
u dv = u v −
v du =
x e^2 x
2
e
2 x dx =
xe^2 x
2
e^2 x
4
[3]
x^2 sen(x) dx. Façamos u = x^2 e dv = sen(x) dx; então, du = 2 x dx e v = −cos(x); logo:
∫
x
2 sen(x) dx =
u dv = u v −
v du = −x
2 cos(x) + 2
x cos(x) dx.
Calculemos agora
x cos(x) dx, novamente por partes. Fazendo u = x e dv = cos(x) dx, temos
du = dx e v = sen(x); logo:
240 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
x
3 e
x^2 dx =
t e
t dt.
Integrando por partes: fazemos u = t e dv = et^ dt; então, du = dt e v = et:
x^3 ex
2 dx =
t etdt =
u dv =
u v −
v du
t et^ −
et^ dt
(t e
t − e
t ) =
ex
2
(x
2 − 1) + c.
[7]
x^3 sen(2x^2 ) dx. Aqui usamos, novamente, os dois métodos:
Substituição: seja t = 2x^2 ; então, dt = 4x dx ou
dt
4
= x dx e x^2 =
t
2
x
3 sen(2x
2 ) dx =
t sen(t)dt.
Integrando por partes: fazemos u = t e dv = sen(t) dt; então, du = dt e v = −cos(t):
x
3 sen(2x
2 ) dx =
t sen(t) dt =
u dv =
u v −
v du
(sen(2 x^2 ) − 2 x^2 cos(2 x^2 )) + c.
6.6 Método de Substituição Trigonométrica
Este método é usado quando a expressão a integrar envolve alguns dos seguintes tipos de
radicais:
a^2 − u^2 ,
a^2 + u^2 ,
u^2 − a^2 ,
onde a > 0.
Caso 1:
a^2 − u^2
Para −
π
2
≤ θ ≤
π
2
, seja u = a sen(θ); então, du = a cos(θ) dθ. Logo
a^2 − u^2 = a cos(θ).
Denotando por c =
a^2 − u^2 :
θ
a u
c
Figura 6.2: Caso 1
6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 241
Caso 2:
a^2 + u^2
Para −
π
2
< θ <
π
2
, seja u = a tg(θ); então, du = a sec^2 (θ) dθ. Logo
a^2 + u^2 = a sec(θ).
Denotando por d =
a^2 + u^2 :
θ a
d u
Figura 6.3: Caso 2
Caso 3:
u^2 − a^2
Para 0 ≤ θ <
π
2
ou π ≤ θ <
3 π
2
, seja u = a sec(θ); então, du = a sec(θ) tg(θ) dθ. Logo √ u^2 − a^2 = a tg(θ). Denotando por e =
u^2 − a^2 :
θ a
u e
Figura 6.4: Caso 3.
Exemplo 6.8.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
a^2 − x^2 dx.
Seja x = a sen(θ); então, dx = a cos(θ) dθ;
π
2
≤ θ ≤
π
2
e
a^2 − x^2 = a cos(θ).
a^2 − x^2 dx = a
2
cos
2 (θ) dθ = a
2
cos(2θ)
2
dθ =
a^2
2
θ +
sen(2θ)
2
a^2
2
θ + sen(θ)cos(θ)
x = a sen(θ) e −
π
2
≤ θ ≤
π
2
; então, θ = arcsen(
x
a
); estamos no caso 1:
θ
a x
c ; onde
c =
a^2 − x^2 ; logo, sen(θ) =
x
a
e cos(θ) =
a^2 − x^2
a
. Substituindo no resultado da integral:
∫ (^) √
a^2 − x^2 dx =
a^2
2
arcsen
( (^) x
a
x
a^2
a^2 − x^2
[2]
dx √ (x^2 + 3)^3
6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 243
Seja x = 4 sec(θ); então, dx = 4 sec(θ) tg(θ) dθ;
0 < θ <
π
2
ou π < θ <
3 π
2
. Neste caso √ x^2 − 16 = 4 tg(θ) e:
∫ dx
x^3
x^2 − 16
dθ
sec^2 (θ)
θ + sen(θ)cos(θ)
Estamos no caso 3: θ
x
4
e
; onde e =
x^2 − 16 ; logo, sen(θ)cos(θ) =
x^2 − 16
x^2
. Para
calcular θ, devemos ter cuidado, pois
x^2 − 16 é definida para x > 4 e x < − 4.
Se x > 4 , então sec(θ) =
x
4
> 1 e θ = arcsec
( (^) x
4
, onde 0 < θ <
π
2
Se x < − 4 , então sec(θ) =
x
4
< − 1 e θ = arcsec
( (^) x
4
, onde
π
2
< θ < π.
Mas π < θ <
3 π
2
e sec(2 π − θ) = sec(θ); logo, para x < − 4 , θ = 2 π − arcsec
( (^) x
4
, onde
π < θ <
3 π
2
; substituindo no resultado da integral:
i) x > 4 :
dx
x^3
x^2 − 16
arcsec
( (^) x
4
x^2 − 16
x^2
ii) x < − 4 :
dx
x^3
x^2 − 16
− arcsec
( (^) x
4
x^2 − 16
x^2
π
64
[6]
dx
(5 − 4 x − x^2 )
3 2
Primeiramente completamos os quadrados: 5 − 4 x − x^2 = 9 − (x + 2)^2 ; fazendo u = x + 2,
temos du = dx. Substituindo na integral:
∫ dx
(5 − 4 x − x^2 )
3 2
du
(9 − u^2 )
3 2
Seja u = 3 sen(θ); então du = 3 cos(θ) dθ;
( (^) −π
2
< θ <
π
2
e (9 − u
2 )
3 (^2) = 27 cos^3 (θ).
∫ dx
(5 − 4 x − x^2 )
3 2
sec
2 (θ) dθ =
tg(θ)
9
Estamos no caso 1: tg(θ) =
u √ 9 − u^2
x + 2 √ 5 − 4 x − x^2
. Substituindo no resultado da integral:
∫ dx
(5 − 4 x − x^2 )
3 2
x + 2
9
5 − 4 x − x^2
[7]
x √ 4 x^2 + 8 x + 5
dx.
Completando os quadrados: 4 x^2 + 8x + 5 = 4(x + 1)^2 + 1; fazendo u = x + 1, temos du = dx.
Substituindo na integral:
∫ x √ 4 x^2 + 8 x + 5
dx =
(u − 1) √ 4 u^2 + 1
du.
Seja u =
tg(θ)
2
; então du =
sec^2 (θ) dθ e
4 u^2 + 1 = sec(θ):
244 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
(u − 1) √ 4 u^2 + 1
du =
tg(θ) sec(θ) − 2 sec(θ)
dθ =
sec(θ) −
ln
|sec(θ) + tg(θ)|
Estamos no caso 2: tg(θ) = 2 u = 2 (x + 1) e sec(θ) =
4 x^2 + 8 x + 5. Substituindo no resultado
da integral:
∫ x √ 4 x^2 + 8 x + 5
dx =
4 x^2 + 8 x + 5 −
ln
4 x^2 + 8 x + 5 + 2 (x + 1)|
6.7 Método para Integração de Funções Racionais
Um polinômio P (x) de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores
lineares e/ou quadráticos. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau
de P (x).
i) P (x) = (x − a 1 ) (x − a 2 )..........(x − an) ou
ii) P (x) = (x − a)r^ (x − b 1 )........(x − bs) ou
iii) P (x) = (a x^2 + bx + c) (x − d 1 )......(x − dl) ou
iv) P (x) = (a x^2 + bx + c)r^ (x − d 1 )......(x − dl).
Exemplo 6.9.
[1] P (x) = x^2 − 3 x + 2 = (x − 2) (x − 1).
[2] P (x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = (x + 1)^2 (x + 2).
[3] P (x) = x^3 − x^2 + x − 1 = (x^2 + 1) (x − 1).
[4] P (x) = x^8 + x^7 − 9 x^6 + 3x^5 − 33 x^4 + 3x^3 − 35 x^2 + x − 12 = (x^2 + 1)^5 (x − 3) (x + 4).
Seja uma função racional
P (x)
Q(x)
. A decomposição de uma função racional em frações mais
simples, depende do modo em que o polinômio Q(x) se decompõe em fatores lineares e/ou
quadráticos. Se numa função racional o grau de P (x) é maior ou igual ao grau de Q(x), então
podemos dividir os polinômios. De fato, se grau(P (x)) ≥ grau(Q(x)) então
P (x) = Q(x) A(x) + R(x),
onde grau(R(x)) < grau(Q(x)); então,
P (x)
Q(x)
= A(x) +
R(x)
Q(x)
. Logo, basta estudar o caso em
que:
grau(P (x)) < grau(Q(x)),
pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.
Caso 1: Q(x) se decompõe em fatores lineares distintos.
Então:
Q(x) = (x − a 1 )(x − a 2 )......(x − an)
onde ai ∈ R são distintos dois a dois; então
f (x) =
P (x)
Q(x)
A 1
(x − a 1 )
A 2
(x − a 2 )
An
(x − an)
246 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Então:
5 x^3 − 6 x^2 − 68 x − 16
x^3 − 2 x^2 − 8 x
4 x^2 − 28 x − 16
x^3 − 2 x^2 − 8 x
I =
5 dx +
4 x^2 − 28 x − 16
x^3 − 2 x^2 − 8 x
dx = 5 x +
4 x^2 − 28 x − 16
x^3 − 2 x^2 − 8 x
dx.
Aplicando o método à última parcela da direita, calculemos II =
4 x^2 − 28 x − 16
x^3 − 2 x^2 − 8 x
dx.
Primeiro observemos que x^3 − 2 x^2 − 8 x = x (x − 4) (x + 2):
4 x^2 − 28 x − 16
x^3 − 2 x^2 − 8 x
A 1
x
A 2
x − 4
A 3
x + 2
A 1 (x − 4) (x + 2) + A 2 x (x + 2) + A 3 x (x − 4)
x^3 − 2 x^2 − 8 x
Comparando os numeradores:
4 x^2 − 28 x − 16 = A 1 (x + 2) (x − 4) + A 2 x (x + 2) + A 3 x (x − 4);
as raízes do polinômio Q(x) são x = 0, x = 4 e x = − 2 ; agora substituimos cada raiz na última
expressão.
Se x = 0, então, A 1 = 2; se x = 4 então, A 2 = −
e se x = − 2 , então, A 3 =
. A fração inicial
pode ser decomposta em:
4 x^2 − 28 x − 16
x^3 − 2 x^2 − 8 x
x
3 (x − 4)
3 (x + 2)
Pelo Caso 1, temos: II = 2 ln(|x|) − 83 ln(|x − 4 |) + 143 ln(|x + 2|) + c. A integral procurada é:
I = 5 x + 2 ln(|x|) −
ln(|x − 4 |) +
ln(|x + 2|) + c.
Nos exemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes é equivalente a resolver um
sistema de equações. Consideremos o exemplo [2]:
4 x
2 − 28 x − 16 = A 1 (x + 2) (x − 4) + A 2 x (x + 2) + A 3 x (x − 4).
Ordenando o segundo membro em potências de x, temos:
4 x^2 − 28 x − 16 = (A 1 + A 2 + A 3 ) x^2 + + (− 2 A 1 + 2 A 2 − 4 A 3 ) x − 8 A 1.
Comparando os polinômios e sabendo que dois polinômios são iguais se e somente se os coe-
ficientes dos termos do mesmo grau são iguais, temos que resolver o seguinte sistema:
A 1 + A 2 + A 3 = 4
2 A 1 − 2 A 2 + 4 A 3 = 28
8 A 1 = 16,
que tem como solução: A 1 = 2, A 2 = −
e A 3 =
[3]
du
u^2 − a^2
, a 6 = 0.
grau(P (u)) < grau(Q(u)); e u^2 − a^2 = (u − a) (u + a); aplicando o método:
u^2 − a^2
A 1
u − a
A 2
u + a
A 1 (u + a) + A 2 (u − a)
u^2 − a^2
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 247
Comparando os numeradores: 1 = A 1 (u + a) + A 2 (u − a); as raízes do polinômio Q(u) são
u = a e u = −a; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se u = a, então, A 1 =
2 a
e
se u = −a, então, A 2 = −
2 a
. A fração inicial pode ser decomposta em:
u^2 − a^2
2 a (u − a)
2 a (u + a)
Pelo Caso 1, temos:
∫ du
u^2 − a^2
2 a
ln(|u − a|) − ln(|u + a|)
2 a
ln
∣ u^ −^ a u + a
Aplicamos esta última fórmula para completamento de quadrados.
Exemplo 6.11.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
dx
x^2 − 4 x
Como x^2 − 4 x = (x − 2)^2 − 4 :
dx
x^2 − 4 x
dx
(x − 2)^2 − 4
Fazendo u = x − 2 , temos du = dx. Substituindo:
∫ dx
x^2 − 4 x
du
u^2 − 4
ln
u − 2
u + 2
ln
x − 4
x
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
[2]
dx
5 − x^2 − 4 x
Completando os quadrados 5 − x^2 − 4 x = 9 − (x + 2)^2 e fazendo u = x + 2, temos du = dx.
Substituindo:
∫ dx
5 − x^2 − 4 x
du
u^2 − 9
ln
∣ u^ −^3 u + 3
ln
∣ x^ −^1 x + 5
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
Caso 2: Q(x) se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.
Seja x − ai o fator linear de Q(x) de multiplicidade r e r a maior potência da fatoração. Então,
a cada fator linear repetido associamos uma expressão do tipo:
B 1
(x − ai)
B 2
(x − ai)^2
Br
(x − ai)r
onde B 1 , B 2 , .......Br são constantes a determinar. Em tal caso, integrando esta expressão obte-
mos:
B 1 ln(|x − ai|) −
B 2
x − ai
Br
(1 − r)(x − ai)r−^1
Os fatores lineares não repetidos são tratados como no caso 1.
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 249
logo: ∫ x^3 + 3 x − 1
x^4 − 4 x^2
dx =
ln
∣x − 2
ln
∣x + 2
ln
∣x
4 x
Caso 3: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis,
sendo que os fatores quadráticos não se repetem
A cada fator quadrático ax^2 + bx + c de Q(x) associamos uma expressão do tipo:
Cx + D
a x^2 + b x + c
onde C, D são constantes a determinar. Os fatores lineares são tratados como no caso 1 e 2.
Exemplo 6.13.
Calcule as seguintes integrais:
[1] Calcule I =
8 x^2 + 3 x + 20
x^3 + x^2 + 4 x + 4
dx.
Primeiramente observamos que grau(P (x)) < grau(Q(x)). Fatorando x^3 + x^2 + 4 x + 4 =
= (x + 1) (x^2 + 4). O único fator quadrático irredutível é x^2 + 4; o fator x + 1 é como no caso 1.
8 x^2 + 3x + 20
x^3 + x^2 + 4x + 4
A 1
x + 1
Cx + D
x^2 + 4
Comparando os numeradores:
8 x^2 + 3 x + 20 = A 1 (x^2 + 4) + (Cx + D) (x + 1) = (A 1 + C) x^2 + (C + D) x + 4 A 1 + D. A raiz
real do polinômio Q(x) é x = − 1 ; agora substituimos esta raiz na última expressão. Se x = − 1 ,
então A 1 = 5. Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos
polinômios: A 1 + C = 8, logo C = 3 e C + D = 3 implica em D = 0.
8 x^2 + 3 x + 20
x^3 + x^2 + 4 x + 4
x + 1
3 x
x^2 + 4
Portanto:
I = 5 ln(|x + 1|) + 3
x
x^2 + 4
dx = ln(|(x + 1)
5
(x^2 + 4)^3 |) + c,
onde a última integral é resolvida usando substituição simples.
[2] Calcule I =
2 x^2 + 5 x + 4
x^3 + x^2 + x − 3
dx.
Primeiramente observamos que grau(P (x)) < grau(Q(x)). Fatorando x^3 + x^2 + x − 3 =
= (x − 1) (x^2 + 2 x + 3). O único fator quadrático irredutível é x^2 + 2 x + 3. O fator x − 1 é como
no caso 1.
2 x^2 + 5 x + 4
x^3 + x^2 + x − 3
A 1
x − 1
Cx + D
x^2 + 2 x + 3
Comparando os numeradores:
2 x^2 + 5 x + 4 = A 1 (x^2 + 2 x + 3) + (Cx + D) (x − 1) = (A 1 + C) x^2 + (2 A 1 − C + D) x + 3 A 1 − D;
a raiz real do polinômio Q(x) é x = 1; substituindo esta raiz na última expressão: Se x = 1,
250 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
então A 1 =
. Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos
polinômios: A 1 + C = 2; logo C =
e 3 A 1 − D = 4; logo D =
. Então:
2 x^2 + 5 x + 4
x^3 + x^2 + x − 3
6 (x − 1)
( (^) x + 9
x^2 + 2 x + 3
logo:
I =
ln
∣x − 1
x + 9
x^2 + 2 x + 3
dx,
onde a última integral é resolvida usando substituições; de fato: x^2 + 2 x + 3 = (x + 1)^2 + 2.
Então, considere u = x + 1; logo du = dx e:
∫ x + 9
x^2 + 2 x + 3
dx =
u + 8
u^2 + 2
du =
u
u^2 + 2
du +
u^2 + 2
du.
A segunda integral é imediata, pois:
∫ 8
u^2 + 2
du =
arctg
( (^) u √ 2
arctg
( (^) x + 1 √ 2
Na primeira integral fazemos t = u^2 + 2; logo
dt
2
= u du:
∫ u
u^2 + 2
du =
dt
t
ln(|t|) + c 2 =
ln(|x^2 + 2 x + 3|) + c 2
e:
I =
ln
∣x − 1
ln
∣x^2 + 2x + 3
arctg
( (^) x + 1 √ 2
[3] Calcule I =
3 x^3 + 11 x − 16
(x^2 + 1)(x^2 + 4 x + 13)
dx.
Observemos que grau(P (x)) < grau(Q(x)); x^2 + 1 e x^2 + 4 x + 13 são fatores quadráticos
irredutíveis. Temos:
3 x^3 + 11 x − 16
(x^2 + 1) (x^2 + 4x + 13)
C 1 x + D 1
x^2 + 1
C 2 x + D 2
x^2 + 4 x + 13
Comparando os numeradores:
3 x^3 + 11 x − 16 = (C 1 + C 2 ) x^3 + (4 C 1 + D 1 + D 2 ) x^2 + (13 C 1 + 4 D 1 + C 2 ) x + (13 D 1 + D 2 ).
Formando o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios:
C 1 + C 2 = 3
4 C 1 + D 1 + D 2 = 0
13 C 1 + 4 D 1 + C 2 = 11
13 D 1 + D 2 = − 16
Resolvendo o sistema: C 1 = 1, D 1 = − 1 , C 2 = 2 e D 2 = − 3 ; logo:
3 x^3 + 11 x − 16
(x^2 + 1) (x^2 + 4 x + 13)
x − 1
x^2 + 1
2 x − 3
x^2 + 4 x + 13
