Interpolação, Notas de estudo de Engenharia Agrícola

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INTERPOLAÇÃO

UNIVATES – CENTRO UNIVERSITÁRIO

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

INTERPOLAÇÃO

Acadêmica: Celene de Souza Martinez. Disciplina: Métodos Numéricos. Professor: Dr.Claus Haetinger. LAJEADO, 24 DE NOVEMBRO DE 2006

Outra aplicação da interpolação é aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja muito complicada para avaliar de forma eficiente. Podemos então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolar estes dados para construir uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro.

INTERPOLAÇÃO LINEAR

A interpolação linear é uma linha que se ajusta a dois pontos. A interpolação linear mostrada na Figura 1:

Onde ξ é dependente de x em algum lugar entre a e b. O método fundamental para encontrar uma função que passa por vários pontos de dados (ajustamento de curva) usa um polinômio. O polinômio de n − ésima ordem que passa por n + 1 pontos é único. Isso significa, sem considerar a fórmula de interpolação, que todas as interpolações ajustadas para os mesmos pontos são matematicamente idênticos.

INTERPOLAÇÃO POR LAGRANGE

A função V 0 é um polinômio de n − ésima ordem de x, e torna-se zero em x = x 1 , x 2 ,..., x n

Dividindo V 0 (x ) por V 0 (x 0 ), resulta na função:

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

Diz-se Interpolação polinomial quando a função interpoladora é um polinômio. Chama-se de interpolação o processo de avaliar: Substituindo a função f(x) por uma função F(x), da qual se conhecem os valores nos pontos de abscissas.

É o polinômio interpolador na forma de Newton se: Os coeficientes a k podem ser obtidos a partir dessas igualdades:

Denomina-se diferença dividida de primeira ordem, e introduzindo essa definição nas fórmulas acima, podemos obter os a k 's apenas com manipulações algébricas de x k 's e f(x k )'s. Se nós escolhermos a i tal que todas as coordenadas f i dos n+ pontos sejam iguais a P(xi), chegaremos à conclusão de que os ai serão determinados pelo que chamaremos de diferenças divididas. O principal problema dos polinômios interpoladores nas formas de Newton e Lagrange é o erro que aumenta significativamente próximo dos extremos. Estamos considerando o erro definido por: EA(xi)=f(x i ) – p(x i

A seguir temos o exemplo de uma função em que a aproximação, por interpolação polinomial,pode conduzir a maus resultados. Se considerarmos a função f (x) = (1 + 25 x2 )-1, e pensarmos em interpolá-la no intervalo [-1, 1], usando nós igualmente espaçados. Ao aumentarmos o número de nós, em vez de obtermos uma melhor aproximação, vamos obter uma aproximação cada vez pior, nas extremidades do intervalo!

Exemplo de Runge: f(x) = (1 + 25 x2 )- usando 11 nós de interpolação igualmente espaçados.