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Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear - 1´ a^ lista de exerc´ıcios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Ache uma forma escalonada para cada matriz abaixo. (Lembre que a forma escalonada n˜ao ´e ´unica, ent˜ao vocˆe pode obter uma resposta diferente do gabarito!)
N =
T =
P =
W =
Z =
2 - Ache as solu¸c˜oes dos sistemas lineares abaixo.
(a)
2 x + y = 0 −x + 3y = 7
(b)
2 x +2y +2w = 0 x +y +2z +2w = 0 2 z +3w = 11
(c)
x −y +3z = 4 2 x +y −z = 0 3 x +2z = 5
(d)
6 x +3y −z = − 1 − 4 x −y +z = 3 x − 2 y = 1 3 x +3y −z = − 4
(e)
3 y +2z +2w +3v = 3 −x +2y +7w +3v = 1 2 x −y +2z +v = − 8 x +y +2z − 7 w +v = 6 6 y +4z +2w −v = − 2
(f)
x + 2y + z = 0 −x + 4y + 3z + 2w = 0 3 y + 2z + w = 0 2 x + y − w = 0
3 - Considere as matrizes abaixo e fa¸ca o que se pede:
M =
N =
O =
T =
P =
Q =
R =
S =
(a) Determine quais destas matrizes s˜ao sim´etricas. E antisim´etricas?
(b) Ache a transposta de N e de T ;
(c) Calcule P + Q;
(d) Calcule N · M, P · Q, P · (Q + 2O), T · N, N · T, M · N t.
(e) Uma potˆencia da matriz M ´e um produto da forma M · M ·... · M. Calcule as seguintes potˆencias: M 2 , M 3 e M 4.
(f) Uma matriz quadrada A ´e dita ortogonal se sua transposta ´e igual a sua inversa, isto ´e, se A·At^ = I, onde I ´e a matriz identidade. Quais das matrizes acima s˜ao ortogonais?
(g) Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O.
4 - Considere a matriz
A =
0 2 a − b a + b 0 0 0 0 0
(a) Encontre a e b para que a matriz A seja sim´etrica;
(b) Encontre a e b para que a matriz A seja anti-sim´etrica.
5 - No que segue considere matrizes de ordem 2 × 2. Mostre que: (a) A soma M + M t^ ´e uma matriz sim´etrica;
(b) A diferen¸ca M − M t^ ´e uma matriz anti-sim´etrica;
(Obs.: Os mesmos resultados valem para matrizes de ordem superior.)
6 - Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais s˜ao invers´ıveis.
M =
P =
U =
V =
11 - Determine os valores de a, b ∈ R para os quais o sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e resolva este sistema. (^)
3 x − 7 y = a x + y = b 5 x +3y = 5a + 2b x + y = a + b − 1
12 - Determine os valores de k para os quais cada sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e deter- minado; poss´ıvel e indeterminado e imposs´ıvel.
(a)
x + y +kz = 2 3 x +4y +2z = k 2 x +3y − z = 1
(b)
x + y − z = 1 2 x +3y +kz = 3 x +ky +3z = 2
Gabarito:
1 - Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 2 → L 2 + 2L 1 temos N ′^ =
Fazendo L 1 ↔ L 3 e L 3 → L 3 − 3 L 1 e L 3 → L 3 − 2 L 2 temos T ′^ =
Fazendo L 2 → L 2 − 4 L 1 temos P ′^ =
Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 2 → L 2 − 2 L 1 e L 2 →
−L 2
e L 3 → L 3 − L 2 temos
W ′^ =
Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 3 → L 3 + 2L 1 e L 4 → L 4 + L 1 e L 3 → L 3 − L 2 e L 4 → L 4 − L 2 e L 5 → L 5 − 2 L 2 e L 3 ↔ L 4 e L 4 → L 4 + 6L 3 e L 5 → L 5 − L 3 e L 4 →
L 4
e L 5 → L 5 + 4L 4
temos Z′^ =
2 - (a) x = −1 e y = 2. (b) x = −t −
, y = t, z =
e w =
(c) N˜ao existe solu¸c˜oes. (d) x = 1, y = 0 e z = 7. (e) x =
− 16 t − 55 12
, y =
1 − 2 t 3
, x = t, x = −
e x =
(f) x =
s + 2t 3
, y =
− 2 s − t 3
z = s e w = t
3 - (a) A matriz O ´e sim´etrica. Nenhuma delas ´e anti-sim´etrica.
(b) N t^ =
(^) e T t^ =
(c) P + Q =
(d) N · M =
e P · Q =
e P · (Q + 2O) =
T · N =
(^) e N · T =
e M · N t^ =
(e) M 2 =
(^) e M 3 =
(^) e M 4 =
(f) O e S s˜ao ortogonais. (g) R−^1 =
P n˜ao ´e invers´ıvel pois det(P ) = 0 e O−^1 = O =
4 - (a) A matriz ´e sim´etrica se M = M t, o que nos d´a o sistema { a + b = 2 a − b = 0
que tem como ´unica solu¸c˜ao a = b = 1. (b) A matriz ´e anti-sim´etrica se M = −M t, o que nos d´a o sistema { a + b = − 2 a − b = 0
que tem como ´unica solu¸c˜ao a = b = −1.
5 - (a) Sendo M =
a b c d
ent˜ao temos
X = M −^1 ·
Assim x = 8 e y = − 9. (b) Como a matriz
B =
´e invers´ıvel com inversa
B−^1 =
ent˜ao temos
X = B−^1 ·
Assim x = −1, y = 2 e z = 0. (c) Como a matriz
E =
´e invers´ıvel com inversa
E−^1 =
ent˜ao temos
X = E−^1 ·
Assim x = 6, y = 2, z = −1 e w = −1.
10 - (a) Suponha que Li ´e igual a k·Lj para algum k ∈ R. Fazendo a opera¸c˜ao elementar Li → Li − k · Lj , obteremos uma linha nula, e portanto A n˜ao ser´a invers´ıvel. (b) Fazendo as opera¸c˜oes Li → Li − Lj e Li → Li − Lk, obtemos uma linha nula e portanto A n˜ao ´e invers´ıvel. (c) Sim. Se A ´e desta forma ent˜ao sua transposta AT^ ´e como em (a) ou como em (b) e portanto AT^ n˜ao ´e invers´ıvel. Mas ent˜ao A n˜ao pode ser invers´ıvel pois vimos que se uma matriz ´e invers´ıvel, ent˜ao sua transposta tamb´em ´e. Assim A n˜ao ´e invers´ıvel.
11 - Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:
M =
3 − 7 a 1 1 b 5 3 5 a + 2b 1 1 a + b − 1
1 1 b 0 1 (3b − a)/ 10 0 0 (24a − 12 b)/ 5 0 0 a − 1
=^ M^
′
onde realizamos as opera¸c˜oes L 1 ↔ L 2 , L 2 → L 2 − 3 L 1 , L 3 → L 3 − 5 L 1 , L 4 → L 4 − L 1 , L 2 → −L 2 /10 e L 3 → L 3 + 2L 2. Assim, o sistema ser´a poss´ıvel se
a − 1 = 0 e
24 a − 12 b 5
o que nos d´a a = 1 e b = 2. Substituindo estes valores na matriz escalonada, obtemos
M ′^ =
que ´e a matriz estendida do sistema
x + y = 2 y = 1 / 2 0 = 0 0 = 0
que tem como ´unica solu¸c˜ao x = 3/2 e y = 1/2.
12 - (a) Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:
M =
1 1 k 2 3 4 2 k 2 3 − 1 1
1 1 k 2 0 1 2 − 3 k k − 6 0 0 k − 3 3 − k
= M ′
onde realizamos as opera¸c˜oes L 2 → L 2 − 3 L 1 , L 3 → L 3 − 2 L 1 e L 3 → L 3 − L 2. Logo o sistema ser´a:
- poss´ıvel e determinado se k − 3 6 = 0, ou seja, k 6 = 3;
- poss´ıvel e indeterminado se k − 3 = 0 e 3 − k = 0, ou seja, k = 3;
- imposs´ıvel se k − 3 = 0 e 3 − k 6 = 0, o que nunca ocorre. (b) Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:
M =
2 3 k 3 1 k 3 2
0 1 k + 2 1 0 0 6 − k^2 − k 2 − k
= M ′
onde realizamos as opera¸c˜oes L 2 → L 2 − 2 L 1 , L 3 → L 3 − L 1 e L 3 → L 3 − (k − 1)L 2. Logo o sistema ser´a:
