Introdução à Algebra Linear: Lista de Exercícios 1, Notas de estudo de Álgebra

Baixe Introdução à Algebra Linear: Lista de Exercícios 1 e outras Notas de estudo em PDF para Álgebra, somente na Docsity! Introdução à Álgebra Linear - 1a lista de exerćıcios Prof. - Juliana Coelho 1 - Ache uma forma escalonada para cada matriz abaixo. (Lembre que a forma escalonada não é única, então você pode obter uma resposta diferente do gabarito!) N = ( 2 1 0 −1 3 7 ) T =   3 1 0 2 1 −1   P = ( 2 −1 8 −4 ) W =   2 2 0 2 0 1 1 2 2 8 0 0 2 3 11   Z =   0 3 2 2 3 3 −1 2 0 7 3 1 2 −1 2 0 1 −8 1 1 2 −7 1 6 0 6 4 2 −1 −2   2 - Ache as soluções dos sistemas lineares abaixo. (a) { 2x + y = 0 −x + 3y = 7 (b)    2x +2y +2w = 0 x +y +2z +2w = 0 2z +3w = 11 (c)    x −y +3z = 4 2x +y −z = 0 3x +2z = 5 (d)    6x +3y −z = −1 −4x −y +z = 3 x −2y = 1 3x +3y −z = −4 (e)    3y +2z +2w +3v = 3 −x +2y +7w +3v = 1 2x −y +2z +v = −8 x +y +2z −7w +v = 6 6y +4z +2w −v = −2 (f)    x + 2y + z = 0 −x + 4y + 3z + 2w = 0 3y + 2z + w = 0 2x + y − w = 0 1 3 - Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede: M =   1 0 1 0 1 0 0 0 1   N = ( 2 1 0 −1 3 7 ) O = ( 0 1 1 0 ) T =   3 1 0 2 1 −1   P = ( 2 −1 8 −4 ) Q = ( 0 1 0 2 ) R = ( 1 1 0 2 ) S =   0 1 0 0 0 1 1 0 0   (a) Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas? (b) Ache a transposta de N e de T ; (c) Calcule P + Q; (d) Calcule N ·M, P ·Q, P · (Q + 2O), T ·N, N · T, M ·N t. (e) Uma potência da matriz M é um produto da forma M · M · . . . · M . Calcule as seguintes potências: M2, M3 e M4. (f) Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua transposta é igual a sua inversa, isto é, se A·At = I, onde I é a matriz identidade. Quais das matrizes acima são ortogonais? (g) Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O. 4 - Considere a matriz A =   0 2 a− b a + b 0 0 0 0 0   . (a) Encontre a e b para que a matriz A seja simétrica; (b) Encontre a e b para que a matriz A seja anti-simétrica. 5 - No que segue considere matrizes de ordem 2× 2. Mostre que: (a) A soma M + M t é uma matriz simétrica; (b) A diferença M −M t é uma matriz anti-simétrica; (Obs.: Os mesmos resultados valem para matrizes de ordem superior.) 6 - Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais são inverśıveis. M =   1 0 1 0 1 0 0 0 1   P = ( 2 −1 8 −4 ) U =   1 0 2 0 2 1 1 0 −3   V =   0 4 0 2 1 −1 0 3 0 2 1 2 0 3 3 0   2 2 - (a) x = −1 e y = 2. (b) x = −t− 11 2 , y = t, z = −11 4 e w = 11 2 . (c) Não existe soluções. (d) x = 1, y = 0 e z = 7. (e) x = −16t− 55 12 , y = 1− 2t 3 , x = t, x = −5 4 e x = 3 2 . (f) x = s + 2t 3 , y = −2s− t 3 z = s e w = t 3 - (a) A matriz O é simétrica. Nenhuma delas é anti-simétrica. (b) N t =   2 −1 1 3 0 7   e T t = ( 3 0 1 1 2 −1 ) . (c) P + Q = ( 2 0 8 −2 ) . (d) N ·M = ( 2 1 2 −1 3 6 ) e P ·Q = ( 0 0 0 0 ) e P · (Q + 2O) = ( −2 4 −8 16 ) T ·N =   5 6 7 −2 6 14 3 −2 −7   e N · T = ( 6 4 4 −2 ) e M ·N t =   2 5 1 3 0 7   (e) M2 =   1 0 2 0 1 0 0 0 1   e M3 =   1 0 3 0 1 0 0 0 1   e M4 =   1 0 4 0 1 0 0 0 1   (f) O e S são ortogonais. (g) R−1 = 1 2 ( 2 −1 0 1 ) = ( 1 −1/2 0 1/2 ) P não é inverśıvel pois det(P ) = 0 e O−1 = O = ( 0 1 1 0 ) 4 - (a) A matriz é simétrica se M = M t, o que nos dá o sistema { a + b = 2 a− b = 0 que tem como única solução a = b = 1. (b) A matriz é anti-simétrica se M = −M t, o que nos dá o sistema { a + b = −2 a− b = 0 que tem como única solução a = b = −1. 5 - (a) Sendo M = ( a b c d ) 5 temos M + M t = ( a b c d ) + ( a c b d ) = ( 2a b + c b + c 2d ) , que é claramente uma matriz simétrica. (b) Sendo M = ( a b c d ) temos M −M t = ( a b c d ) − ( a c b d ) = ( 0 b− c c− b 0 ) , que é claramente uma matriz anti-simétrica. 6 - det(M) = 1, det(P ) = 0, det(U) = −10, det(V ) = 18. Assim, M , U e V são inverśıveis. 7 - Temos det(A) = 0, det(B) = 6, det(C) = 1, det(D) = 0, det(E) = 18, det(F ) = −72. Assim, apenas as matrizes B, C, E e F são inverśıveis, com inversas B−1 =   7/6 −1/2 −1/6 1/6 1/2 −1/6 −1/3 0 1/3   = 1 6   7 −3 −1 1 3 −1 −2 0 2   C−1 =   1 0 0 0 1 0 −1 0 1   E−1 =   5/6 1 −7/3 7/9 1/3 0 −1/3 1/9 −1/3 0 1/3 2/9 −1/6 0 2/3 −2/9   = 1 18   15 18 −42 14 6 0 −6 2 −6 0 6 4 −3 0 12 −4   F−1 =   1/3 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1/4 0 0 0 0 1/6   = 1 12   4 0 0 0 0 −12 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2   8 - Como o sistema é homogêneo, ele possui ao menos a solução trivial x = y = z = w = 0. Mais ainda, como a matriz D não é inverśıvel, temos que o sistema tem na verdade um número infinito de soluções. Assim o sistema é posśıvel e indeterminado. 9 - (a) Como a matriz M = ( 4 3 6 5 ) é inverśıvel com inversa M−1 = 1 2 ( 5 −3 −6 4 ) , 6 então temos X = M−1 · ( 5 3 ) = 1 2 ( 16 −18 ) = ( 8 −9 ) . Assim x = 8 e y = −9. (b) Como a matriz B =   1 1 1 0 2 1 1 1 4   é inverśıvel com inversa B−1 =   7/6 −1/2 −1/6 1/6 1/2 −1/6 −1/3 0 1/3   , então temos X = B−1 ·   1 4 1   =   −1 2 0   . Assim x = −1, y = 2 e z = 0. (c) Como a matriz E =   0 4 0 2 1 −1 0 3 0 2 1 2 0 3 3 0   é inverśıvel com inversa E−1 =   5/6 1 −7/3 7/9 1/3 0 −1/3 1/9 −1/3 0 1/3 2/9 −1/6 0 2/3 −2/9   , então temos X = E−1 ·   6 1 1 3   =   6 2 −1 −1   . Assim x = 6, y = 2, z = −1 e w = −1. 10 - (a) Suponha que Li é igual a k ·Lj para algum k ∈ R. Fazendo a operação elementar Li → Li − k · Lj, obteremos uma linha nula, e portanto A não será inverśıvel. (b) Fazendo as operações Li → Li − Lj e Li → Li − Lk, obtemos uma linha nula e portanto A não é inverśıvel. (c) Sim. Se A é desta forma então sua transposta AT é como em (a) ou como em (b) e portanto AT não é inverśıvel. Mas então A não pode ser inverśıvel pois vimos que se uma matriz é inverśıvel, então sua transposta também é. Assim A não é inverśıvel. 7