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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A PROFESSORES: Glória Márcia, Enaldo Vergasta 1 a^ LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão da matriz X, nos itens abaixo: a) ABt^ X = C b) AB + CX = I c) (CB)-1^ AX = I d) (AB)t^ XC = I 2) Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com
[ 1 1 ¿ ] ¿
. 3) Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A^2 = A a) Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes. b) Mostre que [ 2 -2 -4 ¿] [-1 3 4 ¿ ] ¿ ¿ ¿ ¿ é idempotente. 4) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes: A = ( 1 4 0 0 ¿) ( 2 2 1 0 ¿ ) ¿ ¿ ¿ ¿ ; B = ( 1 -1 0 ¿) ( -2 2 0 ¿) ¿ ¿ ¿ ¿ ; C =
; D = ( 0 1 3 ¿ ) ( 2 1 -4 ¿ ) ¿ ¿ ¿ ¿ ; E = ( 3 0 ¿ ) ( 0 0 ¿) ¿ ¿ ¿ ¿ 5) Descreva todas as possíveis matrizes 2 ¿^ 2 que estão na forma LRFE. 6) Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: A = ( 1 4 0 ¿) ( 0 0 1 ¿ ) ¿ ¿ ¿ ¿ ; B =
; C =
; D = ( 1 0 ¿ ) ( 0 1 ¿) ( 0 0 ¿) ¿ ¿ ¿ ¿ ; E = ( 1 0 0 ¿) ( 0 1 0 ¿) ( 0 0 1 ¿) ¿ ¿ ¿ ¿ . 7) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A. a) B 2 ¿^3 , p(B) = 2 ; b) D 2 ¿^4 , p(D) = 3 ; c) C 3 ¿^2 , p(C) = 3; d) F 2 ¿^3 , N(F) = 2; e) G 4 ¿^3 , N(G) = 0 ; f) H 3 , N(H) = 0; g) J 3 , p(J) = 2. 8) Resolva os seguintes sistemas:
a)
{ x + 2y−2z=− 6 ¿ {3x +2y−2z=− 2 ¿ ¿ ¿ ¿
b)
{ x − y +2z= 4 ¿ {3x + y +4z= 6 ¿ ¿ ¿ ¿
c)
{ x − y − z = 4 ¿ ¿ ¿ ¿
d)
{ x + 2y-3z= 0 ¿ { 2x+ 4y-2z= 2 ¿ ¿ ¿ ¿
. 9) Determine a solução do sistema
2x +( i − 1 ) y+ w = 0 3y − 2 i z+5w= (^0) , considerando o conjunto dos números complexos. 10) Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a Tabela abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Bactéria I Bactéria II Bactéria III Alimento A 2 2 4 Alimento B 1 2 0 Alimento C 1 3 1 11) Discuta em função de k os seguintes sistemas: a)
{−4x +3y= 2 ¿ {5x−4y= 0 ¿ ¿¿ ¿
b)
{ x + y −kz= 0 ¿ ¿ ¿ ¿
c)
{ 2x−2y+ kz= 2 ¿ {2x− y + kz= 3 ¿ ¿ ¿ ¿
d)
{ x +kz=− 2 ¿ { x − y −2z= k ¿ ¿ ¿ ¿
. 12) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e determinado
{ 3x−7y= a ¿ { x + y = b ¿ {5x +3y=5a +2b ¿ ¿ ¿ ¿
. 13) Considere as seguintes matrizes inversíveis A =
0 1 2 )^
B=
0 0 1 )^
C=
1 1 1 )^.
a) Encontre a expressão de X tal que BAX = C. b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a.
V. V^ = Mn^ (^ C^ ), n≥2, sobre o corpo R^.
W = {A ∈^ V; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, A =^ A
t }. VI. V = C^2 sobre R. W = {(a + bi, c + di) ∈^ C^2 ; a – 2c = 0 e b + d = 0}. 19) Verifique se Wi é um subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir. (Sugestão: use o fato que o conjunto soluções do sistema de equações lineares é um subespaço vetorial de M^ n^ x^1 ( R^ )^ se, e somente se, o sistema é homogêneo) a) V^^1 = R (^3) , W
1 ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ )∈^ R
3 ; x − y + z = 0 }
b) V^^2 = R (^3) , W
2 ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ )∈^ R
3 ; x − y − 1 = 0 e y + z = 0 }
c) V 3 = M 2 ( R ) , W 3 =¿ ¿ d) V 4 = M 2 ( R ) , W 4 =¿ ¿ e) V^^5 = P^3 (^ R^ )^ ,^ W^^5 ={ xt^ (^3) + yt (^2) + zt + w ∈ V 5 ;^ x −^ y − z =^0 } f) V (^) 6 = P 2 ( R ) , W (^) 6 ={ xt^2 + yt + z ∈ V (^) 6 ; x − z = (^0) } 20) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) W^^1 ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ )^ ∈^ R
3 ; x + z = 0 e x − 2 y = 0 }
b) W^^2 ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ )∈^ R
3 ; x + 2 y − 3 z = 0 }
c) W 3 =¿ ¿ d) W^^4 ={ xt (^3) + yt (^2) + zt + w ∈ P 3 (^ R )^ ;^ y = z^ e^ x =^0 } e) W 1 ¿^ W 2 21) Considere os subespaços de : V (^) 1 ={( x , y , z )∈ R^3 ; x = y } (^) ; V (^) 2 ={( x , y , z ) ∈ R^3 ; x = y = z } (^) e V (^) 3 ={( x , y , z ) ∈ R^3 ; x=y-z} I. Determine: a) V^^1 ∩ V^^2 b) V^^1 ∩ V^^3 II. Verifique que: a) V^^1 ∪ V^^2 é subespaço de R 3 b) V^^1 ∪ V^^3 não é subespaço de R 3 22) Em cada item a seguir,determine U+W e verifique se a soma é uma soma direta. ( a ) V^ = R 4 , U ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ ,^ w^ )∈^ R 4 ; x + y = w − z = 0 } (^) e W ={( x , y , z , w ) ∈ R 4 ; z = 0 = w } ( b ) V^ = P^2 (^ R )^ , U ={ xt^2 + yt + z ∈ P 2 ( R ) ; x − y = (^0) } e W =[^ t^2 − 1 , t + 1 ]
( c ) V^ = M^^2 ( R^ )^ ,
U =¿¿
( d ) V^ = R 3 , U ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ )∈^ R 3 ; x − y = z } e W =[( 1 , − 1 , − 1 )] ( e ) V^ = M^^2 ( R^ )^ ,
U = ¿¿
RESPOSTAS
1) a) X = ( Bt^ )-1^ A-1C ; b) X = C-1( I – AB ) ; c) X = A-1CB ; d) X = [(ABt]-1^ C- 2)
[ a b ¿ ] ¿
, a, b ∈^ R. 4)
[ 1 0 2/3 0 ¿ ] [ 0 1 -1/6 0 ¿ ] ¿
;
[ 1 0 0 ¿ ] [ 0 1 0 ¿ ] ¿
;
[ 1 0 4/5 -1 ¿ ] ¿
;
[ 1 0 0 ¿] [ 0 1 0 ¿] ¿
;
[ 1 0 ¿] [ 0 1 ¿] ¿
5)
0 1 )^
e (
1 k
; k ∈ R ; 6) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; p ( D ) = 2 e N( D ) = 0; p( E ) = 3 e N( E ) = 0. 7) a) B =
0 1 0 )^ ; b) impossível; c) impossível; d) F= (
0 0 0 )^ ;
e) G =
; f) H =
; g) J =
8) a) S = { ( 2, 1, 3 ) }; b)
S ={( x, y, z ) ∈ R^3 ; x=
5 − 3 z 2 e y= z − 3
2 }^ ;
c) S = { ( x, y, z ) R^3 ; x = y + 3 e z = 1 } ; d) Impossível. 9)
S ={(
1 + i 3 z + 8 −5i 3
iz+
, z), z ∈ C }
10) O biólogo deve colocar, no tubo de ensaio, 100 bactérias da espécie I e 350 de cada uma das espécies II e III para que todo o alimento seja consumido.
19) Os itens a , d , e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam formam sistemas lineares homogêneos. Já os itens b e c , não são subespaços, porque as equações que caracterizam os subespaços formam sistemas lineares não homogêneos. 20) a)W = [(1,1/2,-1)] b) W = [(-2,1,0),(3,0,1)] c)W = ¿^ ¿^ d) W^ =[^ t 2
- t , 1 ] 21) I. a) V^^1 ∩ V^^2 =^
V 2
b) V^^1 ∩ V^^3 ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ )∈^ R 3 ; x = y e z = 0 } II. a) Como V^^2 ⊂ V^^1 ,então V^^1 ∪ V^^2 = V^^1 , logo V^^1 ∪ V^^2 é subespaço de R 3
b) Observe que V^^1 ∪ V^^3 ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ )∈^ R
3 ; x = y ou x=y-z }
. Sejam u =(1,1,3) e v =(2,3,1); então u , v ∈ V (^) 1 ∪ V (^) 3 , porém u +^ v =(^3 ,^^4 ,^^4 )∉ V^^1 ∪ V^^3. 22) ( a ) U^ + W^ ={(^ x^ ,^ y^ ,^ z^ ,^ w )^ ∈^ R (^4) ; w = z } , U ∩ W =
[ (−1,1,0,0^ )] ,assim U + W não é soma direta e U + W ≠ R^4
( b ) U^ + W^ = P^2 (^ R^ ),^ U ∩ W^ =[^ t
2
+ t ]^ , daí U + W não é soma direta.
( c ) U + W =¿ ¿ (^) , daí U^ + W^ não é soma direta pois U^ + W^ ≠ M^^2 (^ R )^.
( d ) U^ + W^ = R
3
, U ∩ W ={(0,0,0 )} , daí U ⊕ W = R^3.
( e ) U + W = M 2 ( R ) , U ∩ W =¿ ¿ , daí U^ + W^ não é direta.
