Exercícios de Álgebra Linear I, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A PROFESSORES: Glória Márcia, Enaldo Vergasta 1a LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão da matriz X, nos itens abaixo: a) ABt X = C b) AB + CX = I c) (CB)-1 AX = I d) (AB)t XC = I 2) Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com [ 1 1 ¿ ]¿ ¿ ¿¿ . 3) Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A2 = A a) Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes. b) Mostre que [ 2 -2 -4 ¿ ] [-1 3 4 ¿ ]¿ ¿ ¿¿ é idempotente. 4) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes: A = (1 4 0 0 ¿ ) (2 2 1 0¿ )¿ ¿ ¿¿ ; B = (1 -1 0 ¿ ) (-2 2 0 ¿) ¿ ¿ ¿¿ ; C = (1 -3 2 -1 ¿ ) ¿ ¿ ¿¿ ; D = (0 1 3 ¿ ) (2 1 -4 ¿ )¿ ¿ ¿¿ ; E = (3 0 ¿ ) (0 0 ¿ ) ¿ ¿ ¿¿ 5) Descreva todas as possíveis matrizes 2 ¿ 2 que estão na forma LRFE. 6) Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: A = (1 4 0 ¿ ) (0 0 1¿ )¿ ¿ ¿¿ ; B = ( 0 1 0 0 ¿ )¿ ¿ ¿¿ ; C = ( 1 -4 ¿ ) ¿ ¿ ¿¿ ; D = (1 0 ¿ ) ( 0 1 ¿) (0 0 ¿) ¿ ¿ ¿¿ ; E = (1 0 0 ¿ ) (0 1 0 ¿ ) (0 0 1 ¿ ) ¿ ¿ ¿ ¿ . 7) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A. a) B2 ¿ 3 , p(B) = 2 ; b) D2 ¿ 4 , p(D) = 3 ; c) C3 ¿ 2 , p(C) = 3; d) F2 ¿ 3 , N(F) = 2; e) G4 ¿ 3 , N(G) = 0 ; f) H3, N(H) = 0; g) J3, p(J) = 2. 8) Resolva os seguintes sistemas: a) {x+2y−2z=−6 ¿ {3x+2y−2z=−2 ¿¿¿¿ b) {x− y+2z=4 ¿ {3x+ y+4z=6 ¿ ¿ ¿¿ c) {x− y−z=4 ¿ ¿¿¿ d) {x + 2y-3z=0 ¿ {2x+4y-2z=2 ¿¿¿¿ . 9) Determine a solução do sistema {2x +( i − 1 ) y+w=0 3y − 2 i z+5w=0 , considerando o conjunto dos números complexos. 10) Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a Tabela abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Bactéria I Bactéria II Bactéria III Alimento A 2 2 4 Alimento B 1 2 0 Alimento C 1 3 1 11) Discuta em função de k os seguintes sistemas: a) {−4x +3y=2 ¿ {5x−4y=0 ¿ ¿¿¿ b) {x+ y−kz=0 ¿ ¿¿¿ c) {2x−2y+kz=2¿ {2x− y+kz=3¿ ¿¿¿ d) {x+kz=−2 ¿ {x− y−2z=k ¿¿¿¿ . 12) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e determinado {3x−7y=a ¿ {x+ y=b ¿ {5x+3y=5a+2b ¿¿¿¿ . 13) Considere as seguintes matrizes inversíveis A=( 1 1 1 1 −1 1 0 1 2 ) B=( 1 −1 0 0 1 0 0 0 1 ) C=( 1 2 1 0 1 2 1 1 1 ) . a) Encontre a expressão de X tal que BAX = C. b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a. ( c ) V=M 2 (R ) , U=¿¿ ( d ) V=R3 , U= {( x , y , z )∈R3 ; x− y=z } e W= [(1 ,−1 ,−1 )] ( e ) V=M 2 (R ) , U=¿¿ RESPOSTAS 1) a) X = ( Bt )-1 A-1C ; b) X = C-1( I – AB ) ; c) X = A-1CB ; d) X = [(ABt]-1 C-1 2) [ a b ¿ ]¿ ¿ ¿¿ , a, b ∈ R. 4) [ 1 0 2/3 0 ¿ ] [ 0 1 -1/6 0 ¿ ]¿ ¿ ¿¿ ; [ 1 0 0¿ ] [ 0 1 0¿ ]¿ ¿ ¿¿ ; [ 1 0 4/5 -1 ¿ ]¿ ¿ ¿¿ ; [ 1 0 0 ¿ ] [ 0 1 0 ¿ ] ¿ ¿ ¿¿ ; [1 0 ¿ ] [0 1 ¿ ]¿ ¿ ¿ ¿ 5) (0 0 0 0 ); (0 1 0 0 ); (1 0 0 1 ) e (1 k 0 0 ); k ∈ R ; 6) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; p ( D ) = 2 e N( D ) = 0; p( E ) = 3 e N( E ) = 0. 7) a) B = (1 0 0 0 1 0 ) ; b) impossível; c) impossível; d) F= (1 0 0 0 0 0 ) ; e) G = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) ; f) H = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ; g) J = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) 8) a) S = { ( 2, 1, 3 ) }; b) S={( x, y, z )∈R3 ; x= 5−3 z 2 e y= z −3 2 } ; c) S = { ( x, y, z )  R3; x = y + 3 e z =  1 } ; d) Impossível. 9) S={( 1+i 3 z+ 8−5i 3 , 2 3 iz+ 5 3 , z), z ∈C } 10) O biólogo deve colocar, no tubo de ensaio, 100 bactérias da espécie I e 350 de cada uma das espécies II e III para que todo o alimento seja consumido. 11) a) Se k = 6, então o sistema é possível determinado; neste caso, o conjunto solução é S = { (8, 10)}. Se k  6, o sistema é impossível. b) Se k  1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é impossível. c) Se k  2, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1, 2 ) }. Se k = 2, o sistema é indeterminado e S = { ( x, 1, 2-x ); x R }. d) Se k 1 e k  4 então o sistema é possível e determinado. Se k = 4, o sistema é impossível. Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z) R3; x = z2 e y = 3z3 ) }. 12) a = 2 e b = 4. 13) a) X = A-1B-1C; b) X−1=( −1/2 1 5/2 0 1 −2 1/2 −1 3/2 ) 14) a) N=( 1 0 0 −4 0 1 0 3 0 0 1 2 ) e M= ( −1 1 0 1 −2/3 1/3 1 −1/3 −1/3 ) ; b) N=(1 1− i 2 0 0 0 1 ) e M=( 1 2 0 3+2i 26 −5+ i 26 ) . 15) a) (−1 1 1 −1/2 ) ; b) Não é invertível; c) 1 9 ( −2 7 2 −1 −3 −3 3 3 7 −2 2 −1 2 2 −2 1 ) 16) a) a  1; b ) a≠4 e a≠−2 . 17) a) não é espaço vetorial (a propriedade associativa não é válida para a operção +). b) não é espaço vetorial (( a+b ).v≠a .v+b . v ) . 18) I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) ∉ W. b) " . " " : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0) ∉ W. c)Sim. d)Não. Contra-exemplo: .(1,2,3) ∉ . e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) ∉ W. f) " . " " : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) ∉ W. II. a) Sim. b) Não. Contra-exemplo: (10¿ )¿ ¿ ¿¿ . c) Não. Contra-exemplo: (1 0¿ )¿ ¿ ¿¿ . d) Não. Contra-exemplo: A=¿ (1 0 ¿ ) ¿ ¿ ¿¿ , mas 2 A=¿ (2 0 ¿ ) ¿ ¿ ¿¿ . III. a) Sim b) Sim. IV) Não. Contra-exemplo: ( x+ iy) . A ∉ W, para x e y ∈ R, com y ¿ 0. V) Sim. VI) Sim. 19) Os itens a, d, e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam formam sistemas lineares homogêneos. Já os itens b e c, não são subespaços, porque as equações que caracterizam os subespaços formam sistemas lineares não homogêneos. 20) a)W = [(1,1/2,-1)] b) W = [(-2,1,0),(3,0,1)] c)W = ¿¿ d) W= [ t2+ t ,1 ] 21) I. a) V 1∩V 2= V 2 b) V 1∩V 3={( x , y , z )∈R3 ; x= y e z=0} II. a) Como V 2 ⊂V 1 ,então V 1∪V 2=V 1 , logo V 1∪V 2 é subespaço de R3 b) Observe que V 1∪V 3= {( x , y , z )∈R3 ;x= y ou x=y-z } . Sejam u =(1,1,3) e v =(2,3,1); então u ,v∈V 1∪V 3 , porém u+v=(3 , 4 , 4 )∉V 1∪V 3 . 22) ( a ) U+W={( x , y , z ,w)∈R4 ; w=z } , U∩W=[ (−1,1,0,0 )] ,assim U+W não é soma direta e U+W≠R4 ( b ) U+W=P2(R ), U∩W=[ t2+t ] , daí U+W não é soma direta. ( c ) U+W=¿¿ , daí U+W não é soma direta pois U+W≠M 2(R) . ( d ) U+W=R3 , U∩W={(0,0,0 )} , daí U ⊕ W = R3 . ( e ) U+W=M2(R) , U∩W=¿¿ , daí U+W não é direta.