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Trabalho desenvolvido por mim e colegas da universidade!
Tipologia: Notas de aula
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Não perca as partes importantes!
Para a introdução do tema “Juros Simples e Compostos”, faz-se necessário, num primeiro momento fazer uma sondagem sobre os conhecimentos prévios dos alunos sobre a Matemática Financeira, para, em seguida, passar do senso comum para o conhecimento científico. Para isso, deve haver uma interação do aluno na construção dos conceitos.
A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa em diferentes momentos. Além disso, o conhecimento sobre matemática financeira é essencial nesse mundo capitalista que vivemos.
A matemática financeira fornece instrumentos para o estudo e avaliação das diversas formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamento de empréstimos, financiamentos descontos e taxa de juros. Por esses motivos é importante o seu estudo, pois o consumidor poderá exercer plenamente sua cidadania.
Fonte: Luiz Roberto Dante, Matemática: contexto e aplicações, 2008.
Após a leitura será exposto para os alunos um exemplo, lembrando que os alunos já teriam trabalhado com juros simples, com o objetivo que mostrar por que o cartão de crédito pode se tornar um grande inimigo do nosso bolso. Será enfatizado que isso está ligado ao fato de o cálculo de juros ser feito com juros composto. Observação: os alunos serão questionados durante toda a resolução do exemplo, bem como durante o decorrer da aula.
Exemplo: Imagine que uma pessoa pegue um empréstimo de R$ 1.000,00 para pagar em três meses, com taxa de juros de 15% ao mês. Se o empréstimo for pago em um mês os juros serão simples, assim: 15% de 1.000 = 0,15 x 1.000 = R$ 150,00 (juros produzidos em um mês) Logo, se o empréstimo for pago em um mês, devemos pagar R$ 1.000,00 do capital emprestado e mais R$ 150,00 de juros. No total: R$ 1.150,00.
Nos três meses, temos: 150 x 3 = R$ 450,00 (juros produzidos em 3 meses) 1.000 + 450 = R$ 1.450,00 (montante ao final de 3 meses) Portanto, se o empréstimo for pago em três meses, devemos pagar R$ 1.000, do capital emprestado e mais R$ 450,00 de juros. No total: R$ 1.450,00.
E, no sistema de juros compostos: O que muda? Ou seja, se não conseguirmos pagar este valor no final do mês? E se conseguirmos pagá-lo somente no final do terceiro mês?
No primeiro mês: 15% de 1.000 = R$ 150,00 (juros produzidos no 1º mês) 1.000 + 150 = R$ 1.150,00 (montante no fim do 1º mês)
No segundo mês: 15% de 1.150 = R$ 172,75 (juros produzidos no 2º mês) 1.150 + 172,75 = R$ 1.322,50 (montante no fim do 2º mês)
viver da criação de novo crédito. Ele consome um crédito para pagar outro e vice-versa. Há quem chegue a acumular 3 e 4 cartões de crédito, todos eles no limite. Outro grave problema sucede quando se utiliza o cartão de crédito como salvação. Há uma despesa extra neste mês ou ficou desempregado, e o cartão de crédito tem crédito suficiente para aguentar o barco algum tempo, antes de ele ir ao fundo. Cuidado com essa estratégia!
Voltando ao exemplo trabalhado no início da aula: É possível perceber que esse processo usado na resolução do problema (calculo mês a mês) não é conveniente para um prazo longo. Assim, podemos determinar um processo mais prático de resolução.
Neste momento da aula será feira a construção as formulas de juros compostos junto com os alunos, para que os mesmos saibam de onde elas surgiram.
Para calcularmos, no sistema de juros compostos, o montante ( M ) produzido por um capital ( C ), aplicado à taxa i ao período, no fim de t períodos, temos:
INÍCIO JUROS MONTANTE (JUROS SIMPLES)
1º período C i x C M 1 = C+IC M 1 = C(1+it)
M 1 = C+iC M 1 = C(1+i)
2º período M 1 i x M 1 M 2 = C(1+it 2 ) M 2 = M 1 + iM 1 = M 1 (1+i) = C(1+i) (1+i)
M 2 = C(1+i)^2
3º período M 2 i x M 2 M 3 = C(1+it 3 ) M 3 = M 2 + iM 2 = M 2 (1+i) = C(1+i)^2 (1+i) M 3 = C(1+i)^3 ...
Podemos escrever então que, no sistema de juros compostos, o capital C , aplicado à taxa i ao período, produz juros j e gera um montante M no fim de t períodos:
j = M – C e M = C (1 + i)t
Agora, usando as fórmulas, como fica o exemplo dado? Temos: Capital C: R$ 1.000, Taxa i: 15% ao mês, ou seja, 0,15 ao mês Período t: 3 meses
Aplicando na fórmula do montante: M = C (1 + i)t M = 1.000 (1 + 0,15)^3 M = 1.000 x 1, M = 1.520, Portanto, o montante no fim de 3 meses é de R$ 1.520,
E, para sabermos o juro produzido: j = M – C j = 1.520,88 – 1. j = 520, Portanto, o juro produzido nos 3 meses é de R$ 520,88.
Como os alunos já teriam feito o estudo de progressões poderia ser feito um link entre os dois conteúdos. Vamos comparar a tabela acima: podemos perceber que o montante aplicado a juros compostos cresce mais “rápido” do que o aplicado a juro simples. Assim os juros simples têm um montante crescendo em qual progressão? E o montante dos juros compostos? O montante dos juros simples cresce numa progressão aritmética, sendo que a razão são os juros de um mês para outro. Nos juros compostos a progressão é geométrica, e a razão é (1 + i). Além disso, temos como o primeiro termo da progressão o C, e o termo geral sendo o montante. Mas será que não existe um tempo t para que C(1 + i)t^ seja menos ou igual a C(
Juros e funções:
Para iniciar esse assunto, será apresentado para os alunos um exemplo e a partir desta situação será explicado o conteúdo. Observação: os alunos serão questionados durante toda a resolução do problema, bem como durante o decorrer da aula.
Suponhamos o capital de R$ 800,00 aplicado à taxa de 40% ao ano. 1º) No sistema de juros simples, os juros serão obtidos em função do tempo de aplicação, através da equação 𝑗 = 800 ∙ 0,4𝑡 ou 𝑗 = 320𝑡 Essa função tem uma equação do tipo da função linear. Construir o gráfico dessa função.
2º) Ainda no sistema de juros simples, o montante será obtido em função do tempo e a equação dessa função é 𝑀 = 800 + 320𝑡 ou 𝑀 = 320𝑡 + 800 que é do tipo da função afim. Construir o gráfico dessa função. 3º) Já no sistema de juros compostos, o montante é obtido em função do tempo por meio da equação: 𝑀 = 800 ∙ 1,4𝑡^ , que envolve uma variação do tipo exponencial Construir o gráfico dessa função
Atividade para fechamento do conteúdo: Serão apresentados para os alunos os seguintes panfletos de lojas:
Em seguida serão propostos alguns problemas que serão posteriormente avaliados.
Segundo os PCN’s, a avaliação deve ser vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico, um instrumento para repensar e reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias de ensino. O professor deve considerar a avaliação como processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de que participam. Com base nisso devemos pensar em instrumentos justos para que possamos avaliar, não apenas uma resposta certa ou errada na prova, mas como foi à construção de conhecimento por parte de nosso aluno. Considerando essas ideias propomos a seguinte avaliação para aplicar sobre esse estudo de volume de esferas. Participação do aluno nas diversas atividades desenvolvidas em sala de aula, juntamente com a resolução e discussão das tarefas de aprendizagem propostas como estudo. Observação de cada passo construído e alcançado por cada aluno, juntamente com o esforço e dedicação dos mesmos. Resolução da atividade de fechamento do conteúdo.
Referências
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. Volume único. 3 ed. São Pasulo: Moderna, 2003
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e Aplicações. Volume Único. 2 ed. São Paulo: Ática, 2004.
