Limites de Sucessões, Resumos de Matemática

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Limites de Sucessões

Vamos calcular alguns termos desta sucessão = 1 , 5 = 1 ,333 … = 1 , 25 = 1 , 05

Intuitivamente já vimos que

Para todo o valor de p, com 𝑝 ≥ 1 𝛿 , tem − se que

Isto é, lim 𝒖𝒏 = 𝟏

Prova, por definição de limite, que lim 𝑛→+∞ 9𝑛+ 5 3𝑛+ 1

Exercício Sugestão de resolução: 9𝑛+ 5 3𝑛+ 1

9𝑛+ 5 − 9 𝑛− 3 3𝑛+ 1

2 3𝑛+ 1

Para qualquer número real 𝛿 > 0 , se considerarmos um número natural 𝑝 superior a 2 −𝛿 3𝛿 , tem-se 9𝑛+ 5 3𝑛+ 1 − 3 < 𝛿, desde que 𝑛 ≥ 𝑝. Seja 𝛿 > 0 um número real. ⇔ 2 3𝑛+ 1

2 𝛿

2 𝛿

2 3 𝛿

1 3

2 −𝛿 3 𝛿 Provamos assim que lim 𝑛→+∞ 9𝑛+ 5 3𝑛+ 1

Dada uma sucessão (𝑢𝑛) com limite 𝑙 ∈ ℝ, qualquer sucessão (𝑣𝑛) que possa ser obtida de (𝑢𝑛) alterando apenas um número finito de termos tem o mesmo limite. Exemplo:

Teoremas Teorema Uma sucessão (𝑢𝑛) convergente é sempre limitada.