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INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO
DE LISBOA
LICENCIATURA EM GESTÃO
MATEMÁTICA II
APOIO ÀS AULAS DE SUCESSÕES
2015/
Manuel Martins Carla Martinho Ana Jorge^1
18-05-2016 (^2)
SUCESSÕES
Define-se sucessão de números reais a toda a aplicação de IN em ℝ.
Aos elementos do contradomínio chamam-se termos da sucessão.
Uma sucessão pode ser descrita pelos seus termos (descrição
impossível pela infinidade de termos) ou por um termo genérico ᡳぁ a
que se dá o nome de termo geral da sucessão.
Exemplo:
Definições
1 2 1
u n u ,u ,...,u n ,u n ,...
n n n
18-05-2016 (^3)
SUCESSÕES
Uma sucessão diz-se limitada quando:
M designa-se como majorante dos termos da sucessão;
Se M é um termo da sucessão, designa-se máximo dos termos da sucessão.
Exemplo:
A sucessão −1 ぁ^ ×
ぁ⡸⡰ ぁ
é limitada pois
−
ぁ ×
ᡦ + 2
ᡦ
= 1 +
2
ᡦ
≤ 3, ∀ ᡦ ∈ ℕ
Sucessões Limitadas
18-05-2016 (^4)
SUCESSÕES
Monotonia
- Uma sucessão diz-se monótona crescente se
㊉ 、 ⡨^ ∀ ぁ∈ ℕ
- Uma sucessão diz-se monótona decrescente se
㊉ ⡨^ ∀ ぁ∈ ℕ
- Uma sucessão diz-se estritamente crescente se
㊉ ⦗ ⡨^ ∀ ぁ∈ ℕ
- Uma sucessão diz-se estritamente decrescente se
㊉ ⦖ ⡨^ ∀ ぁ∈ ℕ
18-05-2016 (^7)
SUCESSÕES
Limites
Diz-se que a é limite da sucessão quando n tende para infinito, se
Exemplo : Mostre por definição que
ou seja, para todo o d existe uma ordem, maior ou igual a
⡩⡹⡰ゃ ⡲ゃ
a partir do
qual se verifica a condição, ou seja, todos os termos da sucessão estão
próximo de ½.
→+∞
a Limun se , p IN:n p un a n
2
1
2 1
= n +
n Lim n
( )
( )
δ
δ
δ δ
δ δ δ
δ δ
4
1 2 2
1 4
1 4 2
4 2
1
22 1
2 2 1
2
1
2 1
2
1
2 1
0 2
1
2 1
− ⇔ + > ⇔ > − ⇔ >
< ⇔
< ⇔
− + − < ⇔
− <
= ⇒∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒
n n n
n n
n n
n
n
n
n , p IN:n p n
n Lim n
18-05-2016 (^8)
SUCESSÕES
Limites
A sucessão designa-se como um infinitésimo ou quantidade
evanescente quando o limite da sucessão é 0
Exemplo : Mostre que
ou seja, para todo o ‒ existe uma ordem a partir do qual todos os termos
da sucessão estão próximo de 0.
= n ∀δ > ∃ ∈ ≥ ⇒ n < δ
n
0 Lim u se 0 , p IN:n p u
n
Lim n
1 0
, p IN : n p n
n n n
δ δ
δ δ δ
18-05-2016 (^9)
SUCESSÕES
Limites
A sucessão designa-se como um infinitamente grande quando
o limite da sucessão é ∞, ou seja,
δ
δ
∞ = n ∀ > 0 ∃ ∈ ≥ ⇒ n > n
Limu se , p IN:n p u
18-05-2016 (^10)
SUCESSÕES
Limites
Alguns limites conhecidos ( ditos limites notáveis ):
Exemplo: Calcule
k
U
n
U
e U
k Lim
n
n
=
→ +∞
1 1
1
0
=
−
→ n
U
U (^) U
e Lim
n
n
( )
0
→ n
n
U U
lnU
Lim
n
n
n (^) n
n Lim
2
3
1
−
42 8
3 2 4
33 2 3 3 2
2 2 2
4 1
3
4 1 3
4 1 3
4 1
3
4
3
3
3
3 4
3
1
e e e
n n
Lim n
Lim
n n
n Lim n
n Lim n
n Lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
= =
∞
= +
=
−
+
−
= +
−
= +
=
−
−
− =
−
− + =
−
−+ −
18-05-2016 (^13)
SUCESSÕES
Álgebra de Limites
Sejam ᡳぁ e ᡴぁ sucessões convergentes , então:
( ) ( ) ( (^) n ) n
n n
n n n
Lim u + v = Limu + Lim v
( ) ( ) ( n )
n
n n
n n n
Lim u × v = Limu × Lim v
s e 0 e 0
n n n n n^ n n n n
L i m u u L im , v li m v v L i m v
=^ ≠^ ≠
( ) (^) ( (^ ))
( )
se 0 e e não são ambos nulos
n^ n n
Lim v v n n n n
n n n
Lim u Lim u ,
u limu lim v
18-05-2016 (^14)
SUCESSÕES
Cálculo de Limites
Exemplo : Calcule Lim n n n
1 1 indeterminação n n n
Lim n + − n = Lim n + − Lim n = ∞ − ∞ ,
[ ]
( )( )
( )
( ) ( )
n n
Lim n n
n n Lim
n n
n n n n Lim n n Lim
n n
n n
18-05-2016 (^15)
SUCESSÕES
Teorema das sucessões enquadradas
Seja ᡳぁ, ᡴぁ e ᡵぁ sucessões tais que:
i. Lim v⤤ = lim w⤤ = a
ii. Existe uma ordem p a partir da qual, ᡴぁ ≤ ᡳぁ ≤ ᡵぁ
Então, ᡳぁ diz-se sucessão enquadrada e lim ᡳぁ = ᡓ.
Exemplo: Calcule
3
3 5 7 2 1
n
... n Lim n
Para enquadrar a expressão é necessário contar o número de parcelas
no numerador. Como as parcelas andam de 2 em dois, a contagem faz-
se do seguinte modo:
n n ... n
18-05-2016 (^16)
SUCESSÕES
Teorema das sucessões enquadradas
Exemplo (continuação):
agora é possível enquadrar entre o menor e o maior valor vezes o número
de parcelas, calculando depois o limite de cada uma
Pelo Teorema das Sucessões enquadradas o limite é igual a
3 3 3
1 3 3 5 7 2 1 1 2 1
n
n n
n
... n
n
n − × − ≤
− ×
( )
( )( ) 0 1
0
1
1 2 1 2 3 1
0 1
0
1
1 3 3 3
2 3
2 3
3
3
3 3
2 3 1
3
2
3
3 3 3 3
3 3
= =
− +
− +
− −
= =
−
−
−
− ×
n n n
n n n
n n n n
n
n n
n
n n n
Lim n
n n Lim n
n n Lim
Lim Lim n
n Lim n
n Lim
3
n
... n Lim n
18-05-2016 (^19)
SUCESSÕES
Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 2:
Se ᡳぁ → ᡓ então
えㄗ⡸えㄘ⡸,,,⡸ え㊉
ぁ
Exemplo : Calcule n
Lim
n n
1 3
1 2
1 1 + + + +
( )
1 1 (^1 2 )
1 1 1 2 3
1 então
0 logo
n (^) n
n n n
n n
u ,u ,...,u
Lim u Lim , n
... Lim n
18-05-2016 (^20)
SUCESSÕES
Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 3:
Se ∀ ᡦ ∈ ℕ, ᡳぁ > 0 ᡗ
え㊉ㄦㄗ
え㊉
→ ᡓ ᡗᡦᡲãᡧ ᡳぁ
㊉
n n n
n Lim 3
3
Exemplo : Calcule
( )
( ) ( )
3
1 3
3
3
3
1 1
1
3
1
3
3
1
3
^ =
×
n
n Lim n
n Lim Lim u
u Lim
n u
n u
n
n
n n
n
n n
n
n n
n
n
n n n n
n
n
18-05-2016 (^21)
SUCESSÕES
Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 4:
Se ∀ ↖ ∈ ℕ, ∃↖ > ❷ ↇ ∃↖ → Ↄ ↇ↖∂ã↗ ↖^ ∃❸ × ∃❹ × ⋯ × ∃↖→ Ↄ
Exemplo : Calcule n n (^) n
n Lim ... 4 1
× × × ×
( ) 1 ... 1 1
3 1
2 2
1
3 1
2 2 2
1 1
= ⇒ × × × =
n n
n
n n n
n n
n
n n
Lim n
Lim n
n Limu Lim
u u u
18-05-2016 (^22)
SUCESSÕES
Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 5:
Se ∀ ᡦ ∈ ℕ, ᡴぁ → ∞ ᡗ é ᡕᡰᡗᡱᡕᡗᡦᡲᡗ ᡗ
え㊉ㄦㄗ⡹え㊉
ぉ㊉ㄦㄗ⡹ぉ㊉
→ ᡓ ᡗᡦᡲãᡧ
え㊉
ぉ㊉
→ ᡓ
Exemplo : Calcule
Aplicando novamente o teorema
Então o limite
n^ n
n Lim 2
2
2 n^ → ∞ e é crescente
n n n n n n n n n
n n n
n n
n n n n
n Lim
n n n Lim
n n Lim v v
u u Lim
u n u n ;v v
2
2 1
2 2 1
2 1
2 2
1
1 2 2
2 2
1
(^22)
1
1
1 1
2 1
2
= −
−
= ⇒ = + = ⇒ =
0 2
2
2 2 1
2
2 2
2 3 2 1
2 1 2 3 2 2
1 1
1
1 1 1
= = −
= −
−
= + ⇒ = + = ⇒ =
n n n n n n^ n n n
n n n
n n
n n n n
Lim Lim
n n Lim v v
u u Lim
u n u n ;v v
2 2 1 0 e 0 2 2 n n^ n n
n n Lim Lim
