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Algebra Linear - 2019.1
Lista 5 - Transforma¸c˜oes Lineares
1) Quais das transforma¸c˜oes abaixo s˜ao lineares?
(a) T:R3−→ R3, T (x, y, z)=(z, 2y,2z).
(b) T:R3−→ R3, T (x, y, z) = (3x, 2,5z).
(c) T:R4−→ R3, T (x, y, z, w )=(x−w, y −w, x +z).
(d) T:Mn×n(R)−→ Rn, T (A)=(A11 , A22, ..., Ann ).
(e) T:C2(R)−→ C(R), T (f) = 3f00 −2f0+ 1.
(f) T:M2×2(R)−→ R,T (A) = A11 A22 −A21A12 .
(g) T:C([a, b],R)−→ R, T (f) =
b
R
a
f(x)dx
(h) T:R2−→ R2, T (x, y)=(|x|,2x+ 2y).
(i) T:P3(R)−→ R2, T (a0+a1t+a2t2+a3t3) =
(a3+a2−a1, a0).
(j) T:M2×2(R)−→ R2, T (A) = (A11 −A12, A11 +
A12).
(k) T:M2×2(R)−→ R3, T (A) = (A11 −A12, A21 +
A22,2A11 −A21)
(l) T:R2−→ R2, T (x, y)=(x+y , x −y)
(m) T:M2×2(R)−→ R, T (A) = det(A),
(n) T:M2×2(R)−→ M2×2(R), T (A) =
1 1
0 1 A2 0
1 1
(o) T:R2−→ R, T (x, y) = xy.
(p) T:P2−→ P3, T (ax2+bx +c) = ax3+bx2+c.
(q) T:R2−→ M2×2, T (x, y) = x y
y−x.
2) Dados os vetores u1= (2,−1), u2= (1,1), u3=
(−1,−4), v1= (1,3), v2= (2,3), v3= (−5,−6) decida
se existe ou n˜ao uma transforma¸c˜ao linear T:R2−→
R2, T (ui) = vi, i = 1,2,3.
3) Determine T:V−→ Wconhecendo os valores de Tna
base de V.
(a) T:R3−→ R4,tal que T(1,3,−1) =
(1,1,−1,0), T (2,0,1) = (0,0,1,−1) e
T(0,−1,1) = (1,0,−1,0)
(b) T:R2−→ R2, tal que T(2,1) = (1,0) e T(0,1) =
(1,−1).
(c) T:P1(R)−→ R2, tal que T(2t) = (1,1) e
T(−1) = (0,3).
(d) T:M2x2(R)−→ R2, tal que
T 1−1
0 0 != (1,0), T 0 1
1 2 != (2,1),
T 2 0
0 1 != (0,1), T 1 0
0 1 != (−1,1).
4) (a) Encontre T:R3−→ R3,tal que Im(T) =
[(1,0,−1),(1,2,2)] .
(b) Encontre T:R3−→ R2,tal que N(T) =
[(1,0,−1)] .
5) Seja T:V−→ Wuma transforma¸c˜ao linear
(a) Mostre que se T(v1), ..., T (vn)∈Ws˜ao L.I. ent˜ao
v1, ..., vns˜ao L.I
(b) Mostre que se V=We os vetores T(v1), ..., T (vn)
geram Vent˜ao os vetores v1, ..., vn∈Vgeram V.
6) Seja T:V−→ Vuma transforma¸c˜ao linear. Mostre
que se u∈Ker(T) e v∈Im(T) ent˜ao T(u)∈K er(T)
eT(v)∈Im(T).
7) Defina uma transforma¸c˜ao linear T:R2−→ R2cujo
n´ucleo seja a reta y=xe cuja imagem seja a reta
y= 2x.
8) Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transforma¸c˜ao linear T:V−→ W´e so-
brejetora se e somente se dimN(T) = dim(V)−
dim(W).
(b) Dada a transforma¸c˜ao linear T:V−→ W,
para todo w∈Wfixado, o conjunto G=
{v∈V:T(v) = w}´e um subespao de V.
(c) Toda transforma¸c˜ao linear T:C(R,R)−→
C(R,R) injetora ´e tamb´em sobrejetora.
(d) O n´ucleo de toda transforma¸c˜ao linear T:R5−→
R3tem dimens˜ao maior ou igual a 3.
9) Seja T:Pn(R)−→ Pn(R) a transforma¸c˜ao linear defi-
nida por T(p) = 5p−4p0+p00 . Mostre que se n´ucleo ´e
{0}e conclua que para todo polinˆomio b(x) existe um
polinˆomio p(x) tal que b(x)=5p(x)−4p0(x) + p00(x).
10) Seja T:V−→ Vuma transforma¸c˜ao linear. Mostre
que T2= 0 se e somente se T(V)⊂Ker(T).
11) Seja θ∈REncontre o n´ucleo da transforma¸c˜ao li-
near T:R2−→ R2dada por T(x, y)=(xcos(θ)−
ysin(θ), xsin(θ) + ycos(θ))
12) Seja T:R2−→ R2uma transforma¸c˜ao linear bijetora.
Mostre que T leva retas em retas.
13) Existe uma transforma¸c˜ao linear injetora T:
M2×2(R)−→ P2(R)?.
