Baixe Exercícios de Transformações Lineares em Álgebra Linear e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Álgebra Linear - 2019.1 Lista 5 - Transformações Lineares 1) Quais das transformações abaixo são lineares? (a) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (z, 2y, 2z). (b) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (3x, 2, 5z). (c) T : R4 −→ R3, T (x, y, z, w) = (x−w, y−w, x+z). (d) T : Mn×n(R) −→ Rn, T (A) = (A11, A22, ..., Ann). (e) T : C2(R) −→ C(R), T (f) = 3f ′′ − 2f ′ + 1. (f) T : M2×2(R) −→ R, T (A) = A11A22 −A21A12. (g) T : C([a, b],R) −→ R, T (f) = b∫ a f(x)dx (h) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (|x| , 2x+ 2y). (i) T : P3(R) −→ R2, T (a0 + a1t + a2t 2 + a3t 3) = (a3 + a2 − a1, a0). (j) T : M2×2(R) −→ R2, T (A) = (A11 − A12, A11 + A12). (k) T : M2×2(R) −→ R3, T (A) = (A11 − A12, A21 + A22, 2A11 −A21) (l) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x+ y, x− y) (m) T : M2×2(R) −→ R, T (A) = det(A), (n) T : M2×2(R) −→ M2×2(R), T (A) =[ 1 1 0 1 ] A [ 2 0 1 1 ] (o) T : R2 −→ R, T (x, y) = xy. (p) T : P2 −→ P3, T (ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + c. (q) T : R2 −→M2×2, T (x, y) = [ x y y −x ] . 2) Dados os vetores u1 = (2,−1), u2 = (1, 1), u3 = (−1,−4), v1 = (1, 3), v2 = (2, 3), v3 = (−5,−6) decida se existe ou não uma transformação linear T : R2 −→ R2, T (ui) = vi, i = 1, 2, 3. 3) Determine T : V −→W conhecendo os valores de T na base de V . (a) T : R3 −→ R4, tal que T (1, 3,−1) = (1, 1,−1, 0), T (2, 0, 1) = (0, 0, 1,−1) e T (0,−1, 1) = (1, 0,−1, 0) (b) T : R2 −→ R2, tal que T (2, 1) = (1, 0) e T (0, 1) = (1,−1). (c) T : P1(R) −→ R2, tal que T (2t) = (1, 1) e T (−1) = (0, 3). (d) T : M2x2(R) −→ R2, tal que T (( 1 −1 0 0 )) = (1, 0), T (( 0 1 1 2 )) = (2, 1), T (( 2 0 0 1 )) = (0, 1), T (( 1 0 0 1 )) = (−1, 1). 4) (a) Encontre T : R3 −→ R3, tal que Im(T ) = [(1, 0,−1), (1, 2, 2)] . (b) Encontre T : R3 −→ R2,tal que N(T ) = [(1, 0,−1)] . 5) Seja T : V −→W uma transformação linear (a) Mostre que se T (v1), ..., T (vn) ∈ W são L.I. então v1, ..., vn são L.I (b) Mostre que se V = W e os vetores T (v1), ..., T (vn) geram V então os vetores v1, ..., vn ∈ V geram V . 6) Seja T : V −→ V uma transformação linear. Mostre que se u ∈ Ker(T ) e v ∈ Im(T ) então T (u) ∈ Ker(T ) e T (v) ∈ Im(T ). 7) Defina uma transformação linear T : R2 −→ R2 cujo núcleo seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y = 2x. 8) Assinale Verdadeiro ou Falso: (a) Uma transformação linear T : V −→ W é so- brejetora se e somente se dimN(T ) = dim(V ) − dim(W ). (b) Dada a transformação linear T : V −→ W , para todo w ∈ W fixado, o conjunto G = {v ∈ V : T (v) = w} é um subespao de V . (c) Toda transformação linear T : C(R,R) −→ C(R,R) injetora é também sobrejetora. (d) O núcleo de toda transformação linear T : R5 −→ R3 tem dimensão maior ou igual a 3. 9) Seja T : Pn(R) −→ Pn(R) a transformação linear defi- nida por T (p) = 5p− 4p ′ + p ′′ . Mostre que se núcleo é {0} e conclua que para todo polinômio b(x) existe um polinômio p(x) tal que b(x) = 5p(x)− 4p ′ (x) + p ′′ (x). 10) Seja T : V −→ V uma transformação linear. Mostre que T 2 = 0 se e somente se T (V ) ⊂ Ker(T ). 11) Seja θ ∈ R Encontre o núcleo da transformação li- near T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) = (xcos(θ) − ysin(θ), xsin(θ) + ycos(θ)) 12) Seja T : R2 −→ R2 uma transformação linear bijetora. Mostre que T leva retas em retas. 13) Existe uma transformação linear injetora T : M2×2(R) −→ P2(R)?.
