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a
Lista
- Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens, 4 × 3 , 4 × 5 , 3 × 5 , 2 × 5 e 3 × 5.
Determine quais das seguintes express˜oes matriciais s˜ao poss´ıveis e determine a respectiva ordem.
(a)AE + B
T ; (b)C(D
T
T (CB).
- Determine a ordem das matrizes A, B, C, D e E, sabendo-se que AB T tem ordem 5 × 3 , (C T + D)B
tem ordem 4 × 6 e E T C tem ordem 5 × 4.
- Seja a matriz A =
. Determine:
(a) A ordem de A;
(b) Os elementos a 23 , a 35 e a 43.
- Sejam as matrizes A, B, C, D e E que verificam ABCDE = EDCBA. Sabendo que C ´e uma matriz
de ordem 3 × 2 , quais s˜ao as ordens das outras quatro matrizes?
- Sejam as matrizes A =
, B^ =
, C = A.B e D = B.A.
Determine os elementos c 32 e d 43.
- Determine a matriz quadrada A = (aij ), de ordem 4 cujos elementos s˜ao dados por:
aij =
2 i − 3 j, se i < j
i 2
− 3 i + 4j, se i > j
- Seja a matriz A =
[
]
. Determine:
(a)A 2 ; (b)A 3 ; (c)A 31 ; (d)A 42 .
- Determine n´umeros reais x e y tais que
[
x
3 y
2
y
2 x
2
]
[
−x 3 y
4 y 2 x
]
[
]
- Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z n´umeros reais tais que a matriz A seja sim´etrica.
(a)A =
[
− 2 x
]
, (b)B =
8 x + 3 − 10
y − 2 2 z 9
,^ C^ =
8 x 2
y + x z + 3x 11
- Considere as matrizes:
A =
, B^ =
[
]
, C =
[
]
, D =
, E^ =
Quando poss´ıvel, calcule o que se pede.
(a)4E − 2 D; (b)2A
T
T − 3 D
T )
T ; (d)(BA
T − 2 C)
T .
- Diz-se que uma matriz B ´e uma ra´ız quadrada de uma matriz B se B
2 = A.
(a) Encontre duas ra´ızes quadradas de A =
[
]
(b) Existem quantas ra´ızes quadradas distintas de A =
[
]
? Justifique.
(c) Na sua opini˜ao qualquer matriz 2 × 2 tem pelo menos uma ra´ız quadrada? Justifique.
- Sejam A, B matrizes em Mn(IR). Se AB = BA, mostre que:
(a)(A ± B)
2 = A
2 ± 2 AB + B
2 ; (b)(A − B)(A + B) = A
2 − B
2 ;
(c)(A − B)(A
2
2 ) = A
3 − B
3 .
- Seja A matriz em Mn(IR). Mostre que:
(a) As matrizes A.A T e
(A + A
T ) 2 s˜ao sim´etricas,
(b) A matriz
(A − A
T ) ´e anti-sim´etrica,
(c) Toda matriz quadrada ´e a soma de uma matriz sim´etrica com uma matriz anti-sim´etrica.
- Dizemos que uma matriz A ´e ortogonal se, e somente se, A.A T = I. Determine:
(a) Os poss´ıveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 s˜ao simultaneamente anti-sim´etricas e ortogonais.
- Determine o n´umero real m de modo que a matriz M =
[
0 m
]
seja ortogonal.
- Verifique quais das matrizes abaixo ´e ortogonal.
A =
[
]
, B =
[
]
, C =
[
1 3
2
√ 2 3 2
√ 2 3
1 3
]
, D =
√ 3 3
√ 3 3
√ 3 3
−
√ 6 3
√ 6 6
√ 6 6
0 −
√ 2 2
√ 2 2
- Dado um n´umero real α, considere a matriz Tα =
[
cos α − sin α
sin α cos α
]
(a) Dados α e β em IR, mostre que Tα.Tβ = Tα+β.
(a) ( )Se a primeira coluna de A for constitu´ıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira
coluna de qualquer produto AB.
(b) ( )Se a primeira linha de A for constitu´ıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira
linha de qualquer produto AB.
(c) ( )Se a soma de matrizes AB +BA estiver definida, ent˜ao A e B devem ser matrizes quadradas.
(d) ( )Se A ´e uma matriz quadrada com duas linhas idˆenticas, ent˜ao A 2 tem duas linhas idˆenticas.
(e) ( )Se A ´e uma matriz quadrada e A
2 tem uma coluna constitu´ıda somente de zeros, ent˜ao
necessariamente A tem uma coluna constitu´ıda somente de zeros.
(f) ( )Se AA
T ´e uma matriz singular(n˜ao-invers´ıvel), ent˜ao A n˜ao ´e invers´ıvel.
(g) ( )Se A ´e invers´ıvel e AB = 0, ent˜ao necessariamente B ´e a matriz nula.
(h) ( )A soma de duas matrizes invers´ıveis ´e sempre uma matriz invers´ıvel.
(i) ( )Se A ´e uma matriz quadrada tal que A
4 = 0, ent˜ao
(I − A)
− 1 = I + A + A
2
3 .
- Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante ´e igual a − 3 , pede-se:
(a) O determinante da matriz P dada por P = 4A − 1 A T .
(b) Decidir se P ´e ou n˜ao invers´ıvel.
(c) O determinante da matriz B obtida de A ap´os serem realizadas as seguintes opera¸c˜oes:
L 3 ←→ L 2 ; L 1 −→ L 1 + 2L 5 ; L 4 −→ − 3 L 4.
(d) Decidir se a matriz Q = AA T ´e ou n˜ao invers´ıvel.
- Calcule o determinante da matriz A =
(a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores).
(b) Pelo processo de triangulariza¸c˜ao (usando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz).
- Dadas as matrizes A =
e B =
, determine:
(a) det(AB); (b)A − 1 ; (c)B − 1 ; (d)(AB) − 1 ; (e) det(C), onde CA T = 2BC 2 .
- Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que det Q 6 = 0 e Q 3
- 2Q 2 = 0. Determine o valor de
det Q.
- Dada a matriz A =
, determine:
(a) det A utilizando as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de A;
(b) det A
T ; (c) det(A
2 ); (d)A
− 1 ; (e) det(−A); (f )3AA
T .
- Seja a matriz A =
(a) Determine o polinˆomio p(x) = det(xI 3 −A), onde I 3 ´e a matriz identidade de ordem 3 e x ∈ IR.
(b) Verifique que p(A) = 0, onde 0 ´e a matriz nula de ordem 3.
(c) Use o ´ıtem anterior para calcular a inversa de A.
- Calcule os seguintes determinantes:
(a)
; (b)
1 + a b c
a 1 + b c
a b 1 + c
; (c)
c − 4 3
2 1 c
2
4 c − 1 2
(d)
; (e)
; (f )
- Resolva as seguintes equa¸c˜oes:
(a)
x 5 7
0 x + 1 6
0 0 2 x − 1
= 0; (b)
2 x − 2 3
2 x + 3 x − 1 4
= 16; (c)
x − 1
3 1 − x
2 x − 6
1 3 x − 5
- Calcule o determinante da matriz
A =
0 0 0 a 14
0 0 a 23 a 24
0 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
Generalize o resultado para uma matriz A = (aij )n×n na qual aij = 0 sempre que i + j ≤ n.
- Diz-se que uma matriz A ´e semelhante `a matriz B quando existe uma matriz invers´ıvel P tal que
B = P AP
− 1 .
(a) Mostre que se A ´e uma matriz semelhante a B, ent˜ao B ´e semelhante a A.
(b) ( )det(I + A) = 1 + det(A).
(c) ( )N˜ao existe matriz real quadrada A tal que det(AA T ) = − 1.
(d) ( )Se det(AA T ) = 4, ent˜ao det(A) = 2.
(e) ( )det(A + B) = det(A) + det(B).
(f) ( )Se det(A) 6 = 0 e AB = 0, ent˜ao B ´e invers´ıvel.
(g) ( )Se A ∈ Mn(IR) e n ´e par, ent˜ao det(A) = det(−A).
(h) ( )Se A
100 ´e invers´ıvel, ent˜ao 3A tamb´em o ´e.
(i) ( )Se AB = 0 e B ´e invers´ıvel, ent˜ao A = 0.
- A tiragem di´aria na cidade de Mimosa dos jornais: Dia a Dia, Nossa Hora, Acontece e Urgente,
durante o ano de 2002 est´a representada na seguinte tabela:
Dia a Dia Nossa Hora Acontece Urgente
Dias
Uteis 400 600 450 650
Feriados 350 550 500 600
S´abados 350 600 500 650
Domingos 450 500 400 700
Determine:
(a) A tiragem de cada jornal em Mimosa em 2002, sabendo-se que 2002 tivemos 52 s´abados, 52
domingos, 12 feriados e 249 dias ´uteis.
(b) A estimativa de tiragem total de cada jornal em Mimosa para o ano de 2005, sabendo-se que
a previs˜ao ´e que at´e o final deste ano(2005) a tiragem tenha um aumento de 60% em rela¸c˜ao
`a 2002.
- Uma construtora est´a fazendo o or¸camento de 65 estabelecimentos rurais sendo estes dvididos em:
20 de alvenaria, 30 mistos e 15 de madeira. A tabela abaixo descreve a quantidade de material
utilizado em cada tipo de constru¸c˜ao.
Tipo de constru¸c˜ao/ T´abuas Tijolos Telhas Tinta M˜ao-de-obra
Material (unidade) (mil) (mil) (litros) (dias)
Alvenaria 50 15 6 70 25
Madeira 500 1 5 20 30
Misto 200 8 7 50 40
Pede-se:
(a) Determinar, utilizando o produto de matrizes, a matriz A que descreve quantas unidades de
cada componente ser˜ao necess´arias para cumprir o or¸camento.
(b) Dar o significado do produto de matrizes AB, sendo A a matriz o btida no ´ıtem (a) e B ´a a
matriz obtida pela tabela abaixo.
Valor da Compra Transporte
(a unidade em reais) (a unidade em reias)
T´abuas 12 0,
Tijolos 100 20
Telhas 300 10
Tinta 3 0,
M˜ao-de-obra 40 1,
- Considere os adubos I,II,III e IV com caracter´ısticas e pre¸cos descritos nas tabelas abaixo:
Substˆancia F´osforo Nitrato Pot´assio
po kg
Adubo I 25g 15g 70g
Adubo II 30kg 25g 40g
Adubo III 60g 10g 55g
Adubo IV 15g 30g 60g
Adubos I II III IV
Pre¸co por Kg R$7,50 R$5,00 R$4,50 R$6,
Um agricultor necessita de uma mistura com a seguinte especifica¸c˜ao: 6 kg do adubo I, 7 kg do
adubo II, 5 kg do adubo III e 8 kg do adubo IV. Usando o produto de matrizes, determine a
quantidade de cada substˆancia na mistura descrita acima e o pre¸co desta mistura.
- Um fabricante de farinha produz trˆes tipos de farinha: de mandioca, de milho e de trigo. Para
produzir cada um dos tipos de farinha o produto bruto passa por trˆes processos: sele¸c˜ao, proces-
samento e embalagem. O tempo necess´ario (em horas), em cada processo, para produzir uma saca
de farinha, ´e dado na tabela abaixo:
Processos/ Sele¸c˜ao Processamento Embalagem
Tipos de Farinha
Mandioca 1 3 1
Milho 2 5 1
Trigo 1,5 4 1
O fabricante produz as farinhas em duas usinas uma em Cacha Pregos (BA) e outra em Cacimba de
Dentro (PB), as taxas por hora para cada um dos processos s˜ao dadas (em reais) na tabela abaixo:
(f) ( )Se A, B ∈ Mn(IR) s˜ao tais que A.B = 0(matriz nula), ent˜ao A = 0 ou B = 0.
(g) ( )A soma de duas matrizes sim´etricas de mesma ordem ´e uma matriz sim´etrica.
(h) ( )O produto de duas matrizes sim´etricas de mesma ordem ´e uma matriz sim´etrica.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C s˜ao matrizes de ordens apropriadas para as opera¸c˜oes indi-
cadas.
(i) ( )Se A.C = B.C e C ´e invers´ıvel, ent˜ao A = B.
(j) ( )Se A.B = 0 e B ´e invers´ıvel, ent˜ao A = 0.
(k) ( )Se A.B = C e duas das matrizes s˜ao invers´ıveis, ent˜ao a terceira tamb´em ´e.
(l) ( )Se A.B = C e duas das matrizes s˜ao singulares(n˜ao-invers´ıveis), ent˜ao a terceira tamb´em ´e.
GABARITO
- a)N˜ao, b)N˜ao, c)Sim, ordem 4x5, d)N˜ao
- a)A 5 × 6 , b)B 3 × 6 , c) C 3 × 4 , d) D 4 × 3 , e)E 3 × 5
- a)A 4 × 5 , b)a 23 = 11, a 35 = 3, a 43 = − 4.
4. A 3 × 2 , B 2 × 3 , C 3 × 2 , D 2 × 3 , E 3 × 2
- c 32 = 18, d 43 = 23.
6. A =
- a)A
2 = I, b)A
3 = A, c)A
31 = A, d)A
42 = I
- x = − 1 , y = 1
- a)x = 4, b)x = 12, y = − 8 , z = − 4 , c)
x = 2, y = − 7 , z = − 2
x = − 2 , y = − 3 , z = 10
- a)
,^ b)
[
]
, c)A =
,^ d)
- a)
[
]
[
]
b)4 matrizes:
[ √
]
[
]
[ √
]
[
]
c) N˜ao, A =
[
]
- a)± 1 , b)
[
]
e
[
]
- m = ± 1
- Ortogonais: A, C e D.
N˜ao ortogonais: B.
d)(AB)
− 1
e)det C = 0 ou det C = 1 16
- det Q = (−2) n
- a)58, b)58, c)3364 d)A
− 1
e)131, f)3.
- p(x) = x 3 − 2 x 2 − x + 1 e A − 1 = −
(A
2 − 2 A − I).
- a)-123, b)1 + a + b + c, c)−c 4
- c 3 − 16 c 2 + 8c − 2 , d)-5 e)120, f)-
- a)x = 0, − 1 , 1 / 2 , b)x = 40/ 11 , c)x =
- det(A) = a 41 a 32 a 23 a 14.
- a)A
− 1
b)A − 1 =
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
c)A
− 1
d)A − 1 =
- a)A
− 1
b)A
− 1
c)A − 1 =
d)A
− 1
