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Lista de exercícios: Modelagem matemática
Otimização Combinatória
Nas questões abaixo:
i) Formule e apresente o modelo matemático. Caso não esteja, coloque na forma padrão.
ii) Especi car as variáveis, número de váriáveis e número de restrições (desconsiderar as restrições triviais x ∈ R+).
Questão 1:
Certa empresa fabrica 2 produtos P 1 e P 2. O lucro por unidade de P 1 é de 100 reais e o lucro unitário de P 2 é de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P 1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P 2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P 1 e P 2 não devem ultrapassar 40 unidades de P 1 e 30 unidades de P 2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. (Assumir que as quantidades podem ser fracionárias) Resposta: Variáveis: x 1 = Quantidade do produto P 1 produzido por mês. x 2 = Quantidade do produto P 2 produzido por mês.
max 100 x 1 + 150x 2 s.a. 2 x 1 + 3x 2 ≤ 120 x 1 ≤ 40 x 2 ≤ 30 x 1 , x 2 ∈ R+
No^ de variáveis: 2 No^ de Restrições: 3
Questão 2:
Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00. Formule o modelo matemático das quantidade que deverão ser compradas de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo? Resposta: Variáveis: xa = Quantidade do produto A em kg. xb = Quantidade do produto B em kg.
min 2 xa + 3xb s.a. 3 xa + 6xb ≥ 15 10 xa + 5xb ≥ 20 xa, xb ∈ R+
Na forma padrão:
max − 2 xa − 3 xb s.a. − 3 xa − 6 xb ≤ − 15 − 10 xa − 5 xb ≤ − 20 xa, xb ∈ R+
No^ de variáveis: 2 No^ de Restrições: 2
Questão 3:
Uma empresa de aço tem um rede de distribuição conforme a Figura 1. Duas minas M 1 e M 2 produzem 40t e 60t de mineral de ferro, respectivamente, que são distribuídos para dois estoques intermediários S 1 e S 2. A planta de produção P tem uma demanda de 100t de mineral de ferro. As vias de transporte têm limites de toneladas de mineral de ferro que podem ser transportadas e custos de transporte por toneladas de mineral de ferro (veja gura). A direção da empresa quer determinar a transportação que minimiza os custos.
Fig. 1: Rede de distribuição de uma empresa de aço.
Resposta: Variáveis: xij = Quantidade transportada da mina i para o depósito j. y 1 = Quantidade do depósito j para a planta de produção P. *quantidade em toneladas.
min 2000 x 11 + 1700x 12 + 1600x 21 + 1100x 22 + 400y 1 + 800y 2 s.a. x 11 + x 12 = 40 x 21 + x 22 = 60 x 11 ≤ 30 x 12 ≤ 30 x 21 ≤ 50 x 22 ≤ 50 y 1 ≤ 70 y 2 ≤ 70 x 11 + x 21 − y 1 = 0 x 12 + x 22 − y 2 = 0 y 1 + y 2 = 100 x 11 , x 12 , x 21 , x 22 , y 1 , y 2 ∈ R+
Na forma padrão:
max − 15 xs − 20 xm − 8 xc s.a. 0 , 2 xs + xm + 3xc ≤ 1 , 2 − 0 , 2 xs − xm − 3 xc ≤ − 0 , 8 − 50 xs − 9 xm ≤ − 22 0 , 8 xs + 2xm + 2xc ≤ 20 xs, xm, xc ∈ R+
No^ de variáveis: 3 No^ de Restrições: 4
Questão 5:
Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: a) Arrendamento - Destinar certa quantidade de alqueires Para a plantação de cana de açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$ 300,00 por alqueire por ano; b) Pecuária - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/alqueire) e irrigação(100.000 litros de água/alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$400,00 por alqueire por ano. c) Plantio de Soja - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de água por alqueire para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$500,00 por alqueire por ano. A disponibilidade de recursos por ano é de 12.750.000 litros de água,14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão. Resposta: Variáveis: xA = Área destinada ao arrendamento. xP = Área destinada a pecuária. xS = Área destinada ao plantio de soja. *Área de plantio em alqueires.
max 300 xA + 400xP + 500xS s.a. 100 xP + 200xS ≤ 14. 000
- 000 xP + 200. 000 xS ≤ 12. 750. 000 xA + xP + xS ≤ 100 xA, xP , xS ∈ R+
No^ de variáveis: 3 No^ de Restrições: 3
Questão 6:
Uma fábrica produz dois artigos A e B, que devem passar por duas máquinas diferentes M 1 e M 2. M 1 tem 12 horas de capacidade diária disponível e M 2 tem 5 horas. Cada unidade de produto A requer 2 horas em ambas as máquinas. Cada unidade de produto B requer 3 horas em M 1 e 1 hora em M 2. O lucro líquido de A é de R$ 60,00 por unidade e o de B, R$ 70,00 por unidade. Formular o modelo matemático de modo a determinar a quantidade a ser produzida de A e B a m de se ter um lucro máximo. (Assumir que as quantidades podem ser fracionárias) Resposta: Variáveis: xA = Quantidade do artigo A. xB = Quantidade do artigo B.
max 60 xA + 70xB s.a. 2 xA + 3xB ≤ 12 2 xA + xB ≤ 5 xA, xB ∈ R+
No^ de variáveis: 2 No^ de Restrições: 2
Questão 7:
Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informações obtidas nos órgãos governamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz e milho serão as mais rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas desejadas é a constante na tabela abaixo. Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000 m^2. Para atender as demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400 m^2 de trigo, 800 m^2 de arroz e 10.000 m^2 de milho.
Cultura Produtividade em kg/m^2 Lucro/kg de produção Trigo 0,2 10,8 centavos Arroz 0,3 4,2 centavos Milho 0,4 2,03 centavos
Formule o modelo matemático de modo a maximizar o lucro obtido na produção do próximo ano. Resposta: Variáveis: xT = Produção em kg de Trigo. xA = Produção em kg de Arroz. xM = Produção em kg de Milho.
max 10 , 8 xT + 4, 2 xA + 2, 03 xM s.a. xT / 0 , 2 + xA/ 0 , 3 + xM / 0 , 4 ≤ 200. 000 xT + xA + xM ≤ 60. 000 xT / 0 , 2 ≥ 400 xA/ 0 , 3 ≥ 800 xM / 0 , 4 ≥ 10. 000 xT , xA, xM ∈ R+
Colocando na forma padrão:
max 10 , 8 xT + 4, 2 xA + 2, 03 xM s.a. xT / 0 , 2 + xA/ 0 , 3 + xM / 0 , 4 ≤ 200. 000 xT + xA + xM ≤ 60. 000 −xT ≤ − 80 −xA ≤ − 240 −xM ≤ − 4. 000 xT , xA, xM ∈ R+
No^ de variáveis: 3 No^ de Restrições: 5
Questão 8:
Uma empresa mineradora possui duas jazidas diferentes que produzem um dado tipo de minério. Depois do minério ser triturado ele é classi cado em três classes: superior, médio e inferior. Existe uma certa demanda
No^ de variáveis: 2 No^ de Restrições: 3
Questão 10:
Um estudante, na véspera de seus exames nais, dispõe de 100 horas de estudo para dedicar às disciplinas A, B e C. Cada um dos 3 exames é formado por 100 questões cada uma valendo 1 ponto, e ele (aluno) espera acertar, alternativamente, uma questão em A, duas em B ou três em C, por cada hora de estudo. Suas notas nas provas anteriores foram 6, 7 e 10 respectivamente, e sua aprovação depende de atingir uma média mínima de 5 pontos em cada disciplina. O aluno deseja distribuir seu tempo de forma a ser aprovado com a maior soma total de notas. Resposta: Variáveis: xa = Tempo dedicado para a disciplina A. xb = Tempo dedicado para a disciplina B. xc = Tempo dedicado para a disciplina C. *tempo em horas.
max xa + 2xb + 3xc s.a. xa + xb + xc ≤ 100 (xa/10 + 6)/ 2 ≥ 5 (2xb/10 + 7)/ 2 ≥ 5 (3xc/10 + 10)/ 2 ≥ 5 xa, xb, xc ∈ R+
Colocando na forma padrão:
max xa + 2xb + 3xc s.a. xa + xb + xc ≤ 100 −xa ≤ 40 −xb ≤ 15 −xc ≤ 0 xa, xb, xc ∈ R+
No^ de variáveis: 3 No^ de Restrições: 4
Questão 11:
Um fundo de investimento tem até R$300.000,00 para aplicar nas ações de duas empresas. A empresa D tem 40% do seu capital aplicado em produção de cerveja e o restante aplicado em refrigerantes. Espera-se que a empresa D distribua boni cações de 12%. A empresa N tem todo o seu capital aplicado apenas na produção de cerveja. Espera-se que a empresa N distribua boni cações de 20%. Para o investimento considerado, a legislação impõe as seguintes restrições: a) O investimento na empresa D pode atingir R$270.000,00, dada a sua diversi cação de capital aplicado. b) O investimento na empresa N pode atingir R$150.000,00, dada a sua condição de empresa com capital concentrado em apenas um produto. c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00. Para as condições do problema, qual deve ser o investimento que maximiza o lucro? Resposta: Variáveis: D = valor investido na empresa D. N = valor investido na empresa N.
max 0 , 12 D + 0, 2 N s.a. D ≤ 270. 000 N ≤ 150. 000
- 4 D + N ≤ 180. 000
- 6 D ≤ 180. 000 D, N ∈ R+
No^ de variáveis: 2 No^ de Restrições: 4
Questão 13:
Uma empresa siderúrgica possui 3 usinas e cada uma delas requer uma quantidade mensal mínima de minério para operar. A empresa compra minério de 2 minas diferentes. Cada uma das minas tem uma capacidade máxima de produção mensal estabelecida. O custo do minério para a empresa é variável de acordo com a distância entre as minas e usinas (cada par mina/usina tem um custo diferente). Os dados referentes à capacidade máxima de produção das minas, requisições mínimas de minério para as usinas e custos de transporte entre minas e usinas são mostrados na tabela 1. Por questões técnicas, a usina 1 deve comprar no mínimo 20% de minério da mina 1, a usina 2 deve comprar no mínimo 30% da mina 2 e a usina 3 deve comprar no mínimo 35% da mina 1. Posto isso, construir um modelo de otimização para determinar a quantidade de minério a ser comprada de cada mina e levada a cada usina de forma a minimizar o custo total de compra de minério.
Mina/Usina Usina 1 Usina 2 Usina 3 Cap. da mina (t/mês) Mina1 8 9 15 30000 Mina2 7 16 23 25000 Req. das usinas (t/mês) 15000 17000 19000
Resposta: Variáveis: xij = quantidade de minério da mina i para a usina j
min 8 x 11 + 7x 21 + 9x 12 + 16x 22 + 15x 13 + 23x 23 s.a. x 11 + x 12 + x 13 ≤ 30. 000 x 21 + x 22 + x 23 ≤ 25. 000 x 11 + x 21 ≥ 15. 000 x 12 + x 22 ≥ 17. 000 x 13 + x 23 ≥ 19. 000 x 11 ≥ +0, 2 x 11 + 0, 2 x 21 x 22 ≥ +0, 3 x 12 + 0, 3 x 22 x 13 ≥ +0, 35 x 13 + 0, 35 x 23 xij > 0 ∀i = { 1 , 2 }, j = { 1 , 2 , 3 }.
Colocando na forma padrão:
max − 8 x 11 − 7 x 21 − 9 x 12 − 16 x 22 − 15 x 13 − 23 x 23 s.a. x 11 + x 12 + x 13 ≤ 30. 000 x 21 + x 22 + x 23 ≤ 25. 000 −x 11 − x 21 ≤ − 15. 000 −x 12 − x 22 ≤ − 17. 000 −x 13 − x 23 ≤ 19. 000 − 0 , 8 x 11 + 0, 2 x 21 ≤ 0 0 , 3 x 12 − 0 , 7 x 22 ≤ 0 − 0 , 65 x 13 + 0, 35 x 23 ≤ 0 xij > 0 ∀i = { 1 , 2 }, ∀j = { 1 , 2 , 3 }.
Colocando na forma padrão:
max −
∑^ m
i=
∑^ n
j=
qij xij
s.a.
∑^ m
i=
xij ≤ Dj , ∀j ∈ N
∑^ n
j=
xij ≤ Qi, ∀i ∈ M
∑^ n
j=
xij ≤ −Qi, ∀i ∈ M
xij ≥ 0 , ∀i ∈ N, ∀j ∈ M.
No^ de variáveis: n ∗ m=3*4= No^ de Restrições: n + m=3+4+4=
